不等式（組）整數解的討論

李世緒

分解因式是分式約分和通分的基礎．復習這部分知識時，同學們應注意從以下幾點把握．

一、分解因式的概念

把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式．分解因式時要注意以下三點．

1． 分解因式的對象是多項式，即等式左邊必須是多項式．

2． 分解因式的結果，必須是幾個整式的積的形式．例如，2x＋2y＝2x1＋

就不是分解因式．

3． 分解因式與整式乘法是互逆過程．

例1 下面從左到右的變形中是分解因式的是（）．

A． a（a2－b＋2）＝a3－ab＋2aB． a2－a－3＝a（a－1）－3

C． a2－4b2＝（a－2b）（a＋2b）D． a2－4a－7＝（a－2）2－11

解析：分解因式的結果應是幾個整式的積的形式，由此可排除A、B、D，故應選C．

二、提公因式法

如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成整式乘積的形式．這種分解因式的方法叫做提公因式法．

1． 公因式的確定

在多項式中，如果每一項都含有相同的因式，就把這個因式稱為公因式．多項式各項的公因式的確定應該根據以下兩點．

（1） 各項系數為整數時，取多項式各項系數的最大公約數作為公因式的系數；（2） 對于字母，取各項都含有的相同字母，字母的指數取其次數最低的．

2． 提公因式的步驟

確定公因式的方法前面已經說過，提取公因式時可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的另一個因式．

在用提公因式法分解因式時，當多項式第一項的系數是負數時，通常先提出“－”號．提出“－”號后，多項式的各項都要變號．如果多項式中的某一項與公因式相同，提公因式后，括號內的這一項變為1．

例2 （2007年·太原）分解因式：a3＋a2＝ ．

解析：多項式原來有幾項，提公因式后第二個因式就應該有幾項．當多項式的某一項正好是該多項式的公因式時，提出后要用1來補項．在這里，a2是多項式a3＋a2的公因式，所以a3＋a2＝a2（a＋1）．

例3 （2007年·上海）分解因式：2a2－2ab＝ ．

解析：系數的最大公約數為2，對于字母，取各項都含有的字母a，字母的指數取其次數最低的， 所以公因式為2a．所以2a2－2ab＝2a（a－b）．

三、運用公式法

運用公式法分解因式，是利用某些數學公式將多項式分解因式．主要用到的公式有平方差公式（a2－b2＝（a＋b）（a－b））和完全平方公式（a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，a2－2ab＋b2＝（a－b）2）．

例4 （2007年·福州）分解因式：x2－6x＋9＝ ．

解析：經過觀察知，這個多項式可以寫成完全平方式的形式，所以可以直接用公式法分解因式．所以x2－6x＋9＝（x－3）2．

例5 （2007年·寧夏）分解因式：4x2－y2＝ ．

解析：由于4可以寫成22，所以可以先將4x2變換成（2x）2，然后再利用公式法分解因式．所以4x2－y2＝（2x）2－y2＝（2x＋y）（2x－y）．

四、選擇合適的方法分解因式

由于多項式的形式多種多樣，所以分解因式時要選擇恰當的方法．一般可遵循下列步驟進行．

1． 先看各項有無公因式，有公因式的先提取公因式．

2． 再看多項式的項數：（1） 當多項式為兩項時，可以考慮用平方差公式分解因式；（2） 當多項式為三項時，可以考慮用完全平方公式分解因式．

3． 要分解到每個因式都不能再分解為止．

例6 （2007年·北京）把代數式ax2－4ax＋4a分解因式，正確的是（）．

A． a（x－2）2 B． a（x＋2）2 C． a（x－4）2 D． a（x＋2）（x－2）

解析：這個多項式有公因式a，可以先提公因式，再利用完全平方公式分解因式．所以，ax2－4ax＋4a＝a（x2－4x＋4）＝a（x－2）2，故選A．