八年級數學（上冊）思想聚焦

侯國興

《數學課程標準》在課程目標中明確指出：“通過義務教育階段的數學學習，學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識以及基本的數學思想方法和必要的應用技能.”由此可知，《數學課程標準》已把基本的數學思想方法作為同學們必須掌握的基礎知識來要求.數學思想方法是數學的靈魂，數學思想指導著數學問題的解決，并具體地體現在解決問題的不同方法中，掌握一定的數學思想和方法遠比掌握一般的數學知識有用得多.通過八年級數學（上冊）的學習，同學們應進一步理解和感受以下幾種數學思想方法.

一、數形結合思想

數學是研究數量關系和空間形式的一門科學，每個幾何圖形中都蘊藏著一定的數量關系，而數量關系常?？梢酝ㄟ^圖形的直觀性作出形象的描述.數形結合思想即是把代數、幾何知識相互轉化、相互利用的一種解題思想. 數學家華羅庚說得好：數形結合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數統一體，永遠聯系莫分離.可見數形結合之重要.

在《整式的乘除》中，多項式與多項式相乘的法則與乘法公式的推導，都配有直觀的圖形來詮釋說明，這就是數形結合思想的體現.

例1圖1所示是一口直徑AB為4 m，深BC為2 m的圓柱形養蛙池，小青蛙經常坐在池底中心O觀賞月亮，則小青蛙能看見月亮的最大視角是多大？

分析： 小青蛙能看見月亮的最大視角即是∠COD的大小，可根據條件先分別求出∠AOD、∠BOC的大小，再求∠COD的大小，也可直接求∠COD的大小.

解：在Rt△BOC中，OB=AB=×4=2，BC=2.

由勾股定理，得OC2=OB2+BC2=22+22=8.同理可求得OD2=8.

而在△OCD中，因為OC2+OD2=8+8=16，CD2=42=16，

所以OC2+OD2=CD2，所以∠COD=90°.

故小青蛙能看見月亮的最大視角為90°.

評注：這里以形助數，數形結合，運用勾股定理及其逆定理，使得答案一目了然.

二、方程思想

所謂方程思想就是從分析問題的數量關系入手，適當設定未知數，把已知量與未知量之間的數量關系轉化為方程（組）模型，從而使問題得到解決的思維方法.方程知識是初中數學的核心內容.理解方程思想并應用于解題當中十分重要.對方程思想的考查主要有兩個方面：一是列方程（組）解應用題；二是列方程（組）解決代數問題或幾何問題.

在《勾股定理》與《平行四邊形的認識》中，常常通過勾股定理列方程求某一線段的長.

例2如圖2，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，將△ADC沿AC翻折到△AEC，AE與BC相交于點G，求GC的長.

分析： 抓住折疊圖形互相重合的部分是全等圖形，以及全等圖形的性質可知CE=CD=AB=6，AE=AD=8，∠E=∠D=90°.又由條件知CG=AG，若設CG=x，則EG可用含x的代數式表示，于是，在Rt△CGE中，可由勾股定理建立方程，從而求得問題的答案.

解：由圖形的翻折可知AE=AD=8，CE=CD=AB=6.

因為∠DAC=∠EAC=∠ACB，所以CG=AG.

設CG=AG=x，則EG=AE-AG=8-x.

在Rt△CGE中，CG2=CE2+GE2， 所以x2 =62+（8-x）2.

解得x=，即GC= .

評注：本題利用方程思想，將所求的量（線段CG的長）用一個字母來表示，根據勾股定理列出方程x2=62+（8-x）2，通過解這個方程使問題得到圓滿解決.

三、轉化思想

轉化是解數學問題的一種重要的思維方法.轉化思想是分析問題和解決問題的一種重要的基本思想，就解題的本質而言，解題就意味著轉化，即是把“新知識”轉化為“舊知識”，把“未知”轉化為“已知”，把“復雜”轉化為“簡單”，把“陌生”轉化為“熟悉”，把“抽象”轉化為“具體”，把“一般”轉化為“特殊”，把“高次”轉化為“低次”，把一個綜合問題轉化為幾個基本問題，把順向思維轉化為逆向思維等.

轉化思想的應用最典型莫過于“梯形的性質”一節，凡涉及梯形的有關問題，大多是通過作輔助線將其轉化為三角形或平行四邊形問題予以解決的.

例3如圖3，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=10，BC=21，∠C=70°，∠B=55°，求CD的長.

分析：此題乍看無處著手，仔細觀察已知條件與未知的關系知道上、下底之長以及同一底上兩角的大小，而求的是一腰長，若過頂點D作DE∥AB，則易知EC、∠1與∠2的大小，進而可知△CDE是等腰三角形，于是，所求問題的答案唾手可得.

解：過點D作DE∥AB交BC于點E，

則∠1=∠B=55°.

因為∠C=70°，所以∠2=180°-∠1-∠C=55°.

所以 CD=CE=BC-BE.

又AD∥BC，DE∥AB ，所以BE=AD=10.

因此CD=21-10=11.

評注：過梯形一頂點作一腰的平行線，把梯形轉化 （分割）成一個平行四邊形和一個三角形是解決梯形問題中最常用的輔助線作法.

四、分類討論思想

分類討論思想就是要針對數學對象的共性與差異性，將其區分為不同種類，從而克服思維的片面性，有效地考查同學們思維的全面性與嚴謹性. 這種處理問題的思維方法稱之為分類思想.要做到成功分類，必須注意以下兩點：一是每次分類要按同一標準進行，善于從問題的情境中抓住分類對象；二是找出科學合理的分類標準，滿足不重復、不遺漏的原則.

在《勾股定理》一章中，已知直角三角形的兩邊之長，且較大的邊長未告知是直角邊還是斜邊，在求第三邊時，就需要用到分類思想求解.

例4在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12.求△ABC的周長.

分析： 這里沒有圖形，也未告知△ABC的高AD是在△ABC內，還是在△ABC外，因此，應分兩種情形解答.

解：（1）當高AD在△ABC的內部時，如圖4，

在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理，得

BD2=AB2-AD2=152-122=81，CD2=AC2-AD2=132-122=25.

所以，BD==9，CD==5.

所以，BC=BD+DC=9+5=14.

因此， △ABC的周長為AB+BC+AC=15+14+13=42.

（2）當高AD在△ABC的外部時，如圖5.

同前可求得BD=9，CD=5，而此時BC=BD-CD=9-5=4.

△ABC的周長為AB+BC+AC=15+4+13=32.

因此， △ABC的周長為42或32.

評注：已知三角形的兩邊及第三邊上的高求第三邊時，慎解無附圖題.

五、整體思想

研究某些數學問題時，往往不是以問題的某個組成部分為著眼點，而是有意識放大考查問題的視角，將要解決的問題看做一個整體，通過研究其整體形式、整體結構或作整體處理后，達到簡捷地解決問題的目的，這就是整體思想.

例5已知a-b=1，a2+b2=25，求ab的值.

分析： 這是課本第45頁B組第15題，這里有兩個未知數（a、b），兩個條件方程，若試想由條件先求出a、b的值，再代入ab中，也是可以的，不過，對于八年級的同學而言，這又是不現實的，因為這是一個二元二次方程組，起碼得學習了后面一元二次方程的知識后才能求出a、b的值.但如果我們視所求的問題“ab”為一個整體，利用乘法公式的變形式，那么此問題就可以得到整體解答.

解： 因為a-b=1，所以（a-b）2=12，即a2-2ab+b2=1.

把a2+b2=25代入上式，得25-2ab=1.

所以2ab=25-1=24，所以ab=12.

評注：通過本例我們不難看出，新的課標實驗教材已密切注意到數學思想的適時滲透.

六、用字母表示數的思想

用字母表示數的思想也叫代數思想.在《整式的乘除》一章中，冪的四條運算法則的推導大多是從具體的數開始，然后用字母表示數，得出更一般性的結論.這種用字母表示數的思想在解決某些數學問題時，常能起到化難為易的作用.

例6已知P=-，Q=-，R=

-，則P、Q、R的大小順序是.

分析： 這是一道數學競賽試題，現在同學們若利用計算器，也會很快計算出答案.但若要求你直接用筆算，或許就不那么容易了.下面我們用字母表示數的思想來解答，相信同學們定會眼前為之一亮.

解：設a=12 345，那么12 346=a+1，12 344=a-1，于是P=

-=-，Q=-=-，R=-=

-.

因為a=12 345，所以a2+a>a2-1>a2-a.

所以->->-， 即P>Q>R.

評注：用字母表示數的思想對于解決大數字問題，常常能收到事半功倍的效果.

七、對稱思想

我們知道平行四邊形是中心對稱圖形，等腰梯形是軸對稱圖形，矩形、菱形、正方形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.利用對稱思想，同學們可較簡單地進行圖案設計并能解決一些有關對稱的數學問題.生活中存在著大量的對稱現象，大到宇宙空間的星體，小到微觀世界的原子，精致的藝術珍寶，尖端科學中的基因工程，都可以找到圖形對稱的素材.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”。