抽象思維成就奇才

馮　洋

數學奇才

1826年9月17日，黎曼出生在德國漢諾威的一個叫布雷斯倫茨的小村莊，父親是當地的牧師。

年幼的黎曼天資聰明，深得父母的喜愛。5歲時，他對歷史表現出了強烈的興趣，常常沉迷于古代戰爭故事而難以自拔。一年之后，他的興趣逐漸轉移，開始學習算術，算術給這個敏感的孩子提供了一些不太困難的東西去細想。從此，他天生的數學才能開始表現出來，不但解決了別人留給他的所有題目，而且還常出一些困難的題目去考別人。

黎曼中學時的數學老師回憶說：“黎曼在16歲時曾經向我借數學書看，并且很謙虛地說希望有一本不太容易看懂的書。我對他說只要你喜歡，書架上的書任你挑選，結果他選了法國數學家勒讓德的《數論》。這是一本長達859頁、難度非常大的大四開本書。我對黎曼說：‘試試，看你能讀懂里面多少東西。6天后，他把書送回來了。我問他讀懂了多少?他竟回答說：‘這本書寫得非常好，我已全懂了。數論對他是那樣有特別的吸引力，后來，黎曼又讀了勒讓德寫的幾何書，并從幾何書中選了許多題目來做。這說明，還在中學時代，黎曼就已顯示出他是一個數學天才了，他具有很強的數學直觀能力及抽象思維能力?！?/p>

1846年，黎曼進入哥廷根大學研讀哲學和神學，這是因為他想盡快得到一個有報酬的工作，以便在經濟上支援家庭。然而，他的心思仍然撲在數學上，最終還是選擇了數學專業。

哥廷根大學的教育方法較為落后，在讀了一年后，黎曼轉到柏林大學，師從于著名教授雅可比、狄利克雷·施特涅爾，從此開始進入嶄新的、充滿活力的數學境界。他從老師那里學到了很多東西。如從雅可比那里學到了高等力學和高等代數，從狄利克雷那里學到了數論和分析，從施特涅爾那里學到了現代幾何，而從比他年長3歲的艾森斯坦那里不僅學到了橢圓函數，而且學到了一個人為何堅持“自信”，因為他和這位年輕的大師兄對數學理論應該如何發展，有著根本的、最激勵人的不同觀點。

此后不久，黎曼便成為數學史上最具獨創精神的數學家之一，他的著作不多，但卻異常深刻，極富創造與想象。在其短暫的一生中，黎曼為數學的眾多領域作了許多奠基性、創造性的工作，為世界數學建立了豐功偉績。

復變函數論的奠基人

19世紀數學最獨特的創造是復變函數理論的創立，它是18世紀人們對復數及復函數理論研究的延續。

1851年，黎曼在高斯的指導下完成題為《單復變函數的一般理論的基礎》的博士論文，后來又在《數學雜志》上發表了4篇重要文章，對其博士論文做了進一步的闡述，一方面總結前人關于單值解析函數的成果，并用新的工具予以處理，同時創立多值解析函數的理論基礎，并由此為幾個不同方向的進展鋪平了道路。

柯西、黎曼和維爾斯特拉斯是公認的復變函數論的主要奠基人，而且后來證明在處理復函數理論的方法上黎曼的方法是本質的。

在黎曼對多值函數的處理中，最關鍵的是他引入了被后人稱為“黎曼面”的概念。通過黎曼面給多值函數以幾何直觀，且在黎曼面上表示的多值函數是單值的。他在黎曼面上引入支點、橫剖線、定義連通性，開展對函數性質的研究獲得一系列成果。

經黎曼處理的復函數，單值函數是多值函數的待例，他把單值函數的一些已知結論推廣到多值函數中，尤其他按連通性對函數分類的方法，極大地推動了拓撲學的初期發展。他研究了阿貝爾函數和阿貝爾積分及阿貝爾積分的反演，得到著名的黎曼一羅赫定理，首創的雙有理變換構成19世紀后期發展起來的代數幾何的主要內容。

黎曼將高斯在1825年關于平面到平面的保形映射的結論推廣到任意黎曼面上，并給出著名的黎曼映射定理。

黎曼幾何的創始人

黎曼開創的高維抽象幾何的研究，處理幾何問題的方法和手段是幾何史上一場深刻的革命，他建立了一種全新的后來以其名字命名的幾何體系，對現代幾何乃至數學和科學各分支的發展都產生了巨大的影響。

1854年，黎曼為了取得哥廷根大學編外講師的資格，對全體教員作了一次演講，該演講在其逝世兩年后以《關于作為幾何學基礎的假設》為題出版。演講中，他對所有己知的幾何，包括剛剛誕生的非歐幾何之一的雙曲幾何作了縱貫古今的概要，并提出一種新的幾何體系，后人稱為黎曼幾何。

為競爭巴黎科學院的獎金，黎曼在1861年寫了一篇關于熱傳導的文章，這篇文章后來被稱為他的“巴黎之作”。文中對他1854年的文章作了技術性的加工，進一步闡明其幾何思想。該文在他死后收集在1876年他的《文集》中。

黎曼主要研究幾何空間的局部性質，他采用的是微分幾何的途徑，這同在歐幾里得幾何中或者在高斯、波爾約和羅巴切夫斯基的非歐幾何中把空間作為一個整體進行考慮是對立的。黎曼擺脫高斯等前人把幾何對象局限在三維歐幾里得空間的曲線和曲面的束縛，從維度出發，建立了更一般的抽象幾何空間。

黎曼引入流形和微分流形的概念，把維空間稱為一個流形，維流形中的一個點可以用可變參數的一組特定值來表示，而所有這些點的全體構成流形本身，這個可變參數稱為流形的坐標，而且是可微分的，當坐標連續變化時，對應的點就遍歷這個流形。

黎曼仿照傳統的微分幾何定義流形上兩點之間的距離、流形上的曲線、曲線之間的夾角。并以這些概念為基礎，展開對維流形幾何性質的研究。在維流形上他也定義類似于高斯在研究一般曲面時刻劃曲面彎曲程度的曲率。他證明他在維流形上維數等于三時，歐幾里得空間的情形與高斯等人得到的結果是一致的，因而黎曼幾何是傳統微分幾何的推廣。

黎曼發展了高斯關于一張曲面本身就是一個空間的幾何思想，開展對維流形內蘊性質的研究。黎曼的研究導致另一種非歐幾何——橢圓幾何學的誕生。

在黎曼看來，有三種不同的幾何學。它們的差別在于通過給定一點做關于定直線所作平行線的條數。如果只能作一條平行線，即為熟知的歐幾里得幾何學；如果一條都不能作，則為橢圓幾何學；如果存在一組平行線，就得到第三種幾何學，即羅巴切夫斯基幾何學。黎曼因此繼羅巴切夫斯基以后發展了空間的理論，使得1000多年來關于歐幾里得平行公理的討論宣告結束。他斷言，客觀空間是一種特殊的流形，預見具有某種特定性質的流形的存在性，這些逐漸被后人證實。

愛因斯坦就是成功地以黎曼幾何為工具，才將廣義相對論幾何化?，F在，黎曼幾何已成為現代理論物理必備的數學基礎。

微積分理論的貢獻

18世紀末到19世紀初，數

學界開始關心數學最龐大的分支——微積分在概念和證明中表現出的不嚴密性。黎曼對微積分理論有其獨到的見解。

1854年，黎曼為取得哥延根大學編外講師的資格，完成了名為《關于利用三角級數表示一個函數的可能性》的文章，這篇文章對完善分析理論產生深遠的影響。

柯西曾證明連續函數必定是可積的，黎曼指出可積函數不一定是連續的。關于連續與可微性的關系上，柯西和他那個時代的幾乎所有的數學家都相信，而且在后來50年中許多教科書都“證明”連續函數一定是可微的。黎曼給出了一個連續而不可微的著名反例，最終講清連續與可微的關系。

黎曼建立了如現在微積分教科書所講的黎曼積分的概念，給出了這種積分存在的必要充分條件。

解析數論跨世紀成果

19世紀數論中的一個重要發展是由狄利克萊開創的解析方法和解析成果的導入，而黎曼開創了用復數解析函數研究數論問題的先例，取得跨世紀的成果。

1859年，黎曼發表了《在給定大小之下的素數個數》的論文，將素數分布的問題歸結為函數的問題，現在稱為黎曼函數。

在黎曼死后的100多年中，世界上許多優秀的數學家盡了最大的努力想證明他的這些斷言，并在作出這些努力的過程中為分析創立了內容豐富的新分支。如今，除了他的一個斷言外，其余都按黎曼所期望的那樣得到了解決。

那個未解決的問題現稱為“黎曼猜想”，即在帶形區域中的一切零點都位于實部等于l／2的直線上，這個問題迄今沒有人證明。對于某些其他的域，布爾巴基學派的成員已證明相應的黎曼猜想。數論中很多問題的解決有賴于這個猜想的解決。黎曼的這一工作既是對解析數論理論的貢獻，也極大地豐富了復變函數論的內容。

英年早逝

不過，黎曼的創造性工作當時未能得到數學界的一致公認，一方面由于他的思想過于深邃，當時人們難以理解，如無自由移動概念非常曲率的黎曼空間就很難為人接受，直到廣義相對論出現才平息了指責；另一方面也由于他的部分工作不夠嚴謹，如在論證黎曼映射定理和黎曼一羅赫定理時，濫用了狄利克雷原理，曾經引起了很大的爭議。

由于長時間的辛苦工作，黎曼的健康每況愈下。1863年，他的病情變得嚴重，不得不放下手中的工作去養病。他最后的日子是在驕利湖畔塞拉斯卡的一棟別墅中度過的。

傳記作家是如此講述黎曼怎樣離開人間的：“他的力氣迅速衰退，他感到自己的終點近了。去世的前一天，他坐在一棵無花果樹下工作，在環繞著他的燦爛的風景中，他的心靈充滿了愉悅……他的生命緩緩地衰竭，沒有斗爭或死亡的痛苦，看起來他仿佛很有興趣地注視著靈魂脫離軀體……”這時正是1866年7月20日，黎曼轟轟烈烈的一生卻在悄無聲息中告別了人間，享年僅39歲。

黎曼像流星一樣出現，然后消失，他在數學領域活躍的時間只不過15年，但他的思想對現代函數論發展的影響是巨大的，直接影響了19世紀后半期的數學發展，許多杰出的數學家重新論證黎曼斷言過的定理，在黎曼思想的影響下數學許多分支取得了輝煌成就。