剪力墻結構的自由網格劃分

段 進

(中國建筑科學研究院軟件所,北京 100013)

1 引言

有限元的基本思想可簡單概括為“先離散后集成”,網格劃分是有限元分析的前提和基礎,網格質量的好壞將直接影響有限元分析結果,也就是說,網格劃分的目的為了保證和提高有限元分析的精度和可靠性。因此,好的網格劃分算法須滿足兩個條件:(1)算法要穩定,要適用于復雜結構模型;(2)網格質量要好,要有利于有限元計算。那么,怎樣的網格質量才算好?或者說,網格質量好壞的判斷標準是什么?關于這一點,國際上主要有兩種準則:Lee＆Lo準則[1]和 Canann準則[2],本文將采用Lee＆Lo準則。當然,從簡化的角度來說,也可根據如下原則粗略判斷:(1)網格形狀越接近正方形其質量越好;(2)網格尺寸分布越均勻其質量越好。

網格劃分從拓撲關系上來說可分為映射網格(結構化網格)和自由網格(非結構化網格)[3]。映射網格[4-5]是指內部結點的拓撲關系一致,也就是說每個內部結點均連接相同數目的單元,該網格的生成方式很簡單,網格劃分速度很快,但它只適用于特殊的幾何邊界,在實際工程中很受限制。自由網格[6-12]是指內部結點的拓撲關系可以任意,也就是說每個內部結點可連接任意數目的結點和單元,該網格的生成方式較為復雜,但理論上適用于任意復雜的幾何邊界,在通用軟件中被大量采用。

為提高剪力墻結構的網格劃分質量、適應復雜結構模型的要求并確保網格劃分的速度,本文提出了一種新的自由網格方案,它以鋪砌法自由網格[7]為核心,并聯合映射網格[4]和幾何拆分法[12],兼顧自由網格的通用性和映射網格的高效性,使得有限元網格滿足如下幾點要求:(1)不限制結構的幾何形狀,方便處理復雜剪力墻和樓板;(2)剪力墻之間以及樓板之間的邊界結點全部協調,使得有限元離散模型更符合實際情況;(3)全部或大多數為四邊形網格,因為四邊形網格的有限元計算精度較三角形更高;(4)網格尺寸分布比較均勻,不同尺寸之間會自動增加過渡網格,避免結構剛度發生突變,有利于提高有限元計算的精度。最后,我們將本文的網格劃分方法應用于新版SATWE軟件,取得良好效果。

2 鋪砌法自由網格

鋪砌法自由網格是本文網格方案的核心部分,它最早由美國 SANDIA國家實驗室的 Blacker和Stephenson[7]提出,之后便廣泛應用于多個商業軟件。鋪砌法的基本思路可歸納如下:首先沿初始邊界生成單元,然后更新幾何邊界,并沿新的幾何邊界繼續生成單元,重復上述過程直至整個域內被單元占滿,因此,鋪砌法又被稱為移動邊界法,其網格劃分如圖1所示,其中,紅色粗線條表示固定邊界(原始邊界),藍色粗線條表示移動邊界,細線條表示域內網格,固定邊界在整個網格劃分過程中均不作修改,而移動邊界和域內網格則在“鋪砌”過程中會進行網格抹平和拓撲優化,以便得到最適合有限元計算的網格質量。

圖1 鋪砌法自由網格示意圖

要使上述的“鋪砌法”能適應于各種復雜邊界以及對各種幾何邊界都能得到良好的網格質量,關鍵是要處理好如下幾個技術難點:

(1)移動邊界處理[7,9]:包括邊界相交、邊界縫合等,通過邊界相交和縫合處理,移動邊界的數量可能任意增加或者減少,如圖2所示,初始的 3條移動邊界在網格劃分過程中可能減少為 2條,之后又增加為 3條;

(2)節點和單元的幾何抹平[2,7]:幾何抹平是指修改節點坐標,而不改變節點及單元間的連接關系。為提高網格抹平的效果,本文聯合采用了四種算法:等參抹平、拉普拉斯抹平、約束抹平、最優化抹平;

(3)節點和單元的拓撲優化[6,10]:拓撲優化是指修改節點及單元之間的連接關系,而不改變節點坐標。在網格鋪砌的過程中,通過適當的拓撲優化和幾何抹平,能大大改善網格的質量,同時還能有效提高鋪砌法的穩定性和效率。

綜合來說,鋪砌法之所以被各大商業軟件廣泛采用,是因為它有如下幾個優點:

(1)鋪砌法優先保證臨近邊界的網格質量,將形狀不好的單元盡量置于區域中心(即遠離邊界),這樣做有利于提高有限元計算的質量,因為通常來說邊界附近的網格對有限元計算最敏感,如果邊界單元質量不好則很容易導致有限元計算結果偏差較大;

(2)在不同尺寸的網格之間,鋪砌法會自動生成過渡單元,如圖3所示,避免網格尺寸突變,提高網格的光滑性,從而提高有限元分析的質量;

(3)鋪砌法理論上適用于任意復雜邊界,它不受幾何形狀的限制,具有很強的通用性。

3 幾何拆分法

幾何拆分法的思路非常簡單,就是將復雜的幾何模型拆分成多個簡單幾何模型的集合[11,12],拆分示例如圖4所示,它僅對幾何模型做拓撲操作,因此也被稱為拓撲拆分,其本身并不涉及網格算法,可看作是網格劃分的前處理。

圖2 網格鋪砌示意圖

圖3 不同尺寸間的過渡網格示意圖

圖4 幾何拆分示意圖

圖5 單片剪力墻拆分示意圖

通常來說,上述幾何拆分是非常很困難的,其困難程度有時候甚至超過網格劃分本身,因此,該方法較少被人采用。但是,建筑結構有一定的規整性,有些情況下很容易拆分,并且先拆分邊界后進行網格劃分顯然能提高網格生成的速度,因此本文采有條件的選擇該方法:(1)對于樓板,因為它的形狀并不固定,可能出現各種復雜的情況,因此不作幾何拆分;(2)對于剪力墻,因為單片剪力墻(墻元)的形狀相對比較固定,通常就是一個四邊形外邊界加一個四邊形洞口,該洞口可能居中,也可能靠邊,大多數情況下它都可進行如圖5所示的幾何邊界拆分,但是,對于帶洞口的坡屋頂墻和帶洞口的梯形墻,則要根據洞口位置進一步判斷能否拆分。概括來說:本文的網格方法設定了多種拆分模式,首先判斷幾何邊界是否滿足這些拆分模式,如果滿足則拆分,不滿足則略過,這樣既提高網格劃分的速度,又不影響網格劃分的通用性。

4 映射網格

映射網格是一種很規整的網格形式[4,5],也是有限元歷史上最早出現的一種網格,它的每個內部結點均連接相同數目的單元,該網格的生成方式很簡單,網格劃分的速度極快,但僅適用于四邊形幾何邊界并要求對邊的結點數目相同,因此在實際工程中很受限制。但如果結合幾何拆分法(見第 3小節),則可大大擴展映射網格在剪力墻結構中的適用性。以圖6的門洞剪力墻為例,經過幾何拆分后可得到 5個四邊形區域,除了左下角需采用鋪砌法自由網格之外,其它 4個區域均可直接采用映射網格,網格劃分結果如圖6所示。這里需特別指出的是:映射網格本身有很強的局限性,它并不能提高本文網格方法對復雜結構的適應性,事實上,映射網格能劃分的幾何圖元均可采用自由網格劃分(見第 2小節),但反之則不然;我們之所以部分采用映射網格,目的是為了提高網格劃分的速度,節省網格劃分的時間,因為通常情況下,映射網格的劃分速度是自由網格的十倍以上。

圖6 單片剪力墻拆分后映射網格示意圖

5 剪力墻結構的網格劃分流程

如前所述,本文的網格劃分方法是以鋪砌法自由網格為核心并聯合映射網格和幾何拆分法,其基本流程如圖7所示,它主要包括四個組成部分:(1)對剪力墻和樓板的邊界線布置邊界結點(本文略),確保剪力墻之間、樓板之間、剪力墻和樓板之間的邊界結點全部協調;(2)有條件地進行幾何邊界拆分,詳見第 3小節;(3)有條件地選擇映射網格劃分,詳見第 4小節;(4)鋪砌法自由網格劃分,詳見第 2小節。

圖7 剪力墻結構的網格劃分流程

6 網格劃分實例

本文提出的網格劃分方案是一種通用網格劃分,它不受結構形式的限制,能夠滿足各種復雜建筑結構的計算要求,網格實例如圖8和9所示,其中,圖8表示剪力墻網格劃分,圖9表示樓板網格劃分。

7 在 SATWE中的應用

我們將本文的網格方案應用于中國建筑科學研究院開發的新版 SATWE軟件,提高了 SATWE軟件對復雜結構模型的適應性,使得 SATWE的有限元離散模型滿足如下幾點要求:

(1)邊界結點全協調:剪力墻與剪力墻之間、樓板之間、剪力墻與樓板之間的邊界結點全部協調,這從剛度上保證了結構的連續性,在一定程度上保證了計算結果的合理性;

(2)不限制邊界結點個數:用戶可根據需要任意加密網格,從而獲得更好的計算精度,因為通常情況下,密網格的單元質量比疏網格要好一些,如圖10所示,其有限元計算結果也更可靠一些;

(3)不限制幾何邊界形式:可處理各種洞口類型的剪力墻(包括梯形墻、坡屋頂墻等特殊形式)以及各種復雜樓板;

圖8 剪力墻網格劃分示意圖

圖9 樓板網格劃分示意圖

圖10 SATWE不同網格尺寸示意圖

(4)良好的單元質量:絕大部分為四邊形網格,且網格尺寸比較均勻,不同尺寸之間會自動增加過渡網格,避免剛度突變,增加有限元計算結果的準確性。

8 結論

本文以鋪砌法自由網格為核心,并聯合映射網格和幾何拆分法,兼顧自由網格的通用性和映射網格的高效性,發展了一種適用于剪力墻結構的自由網格方案,它既能適應復雜結構模型的要求,又能有效提高網格劃分的質量,并同時確保網格劃分的速度。將該方法應用于新版 SATWE中,其有限元計算結果較以前有明顯改進,并且隨著網格的加密其計算結果會逐漸收斂。

[1]C.K.Lee,and S.H.Lo(1994).“A New Scheme for the Generation of a Graded Quadrilateral Mesh”,Computers and Structures,Vol.52 pp.847-857

[2]S.A.Canann,J.R.Tristano,and M.L.Staten(1998).“An Approach to Combined Laplacian and Optimization-Based Smoothing for Triangle,Quadrilateral,and Quad-Dominant Meshes”,Proceedings,7th International Meshing Roundtable

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[4]W.A.Cook,and W.R.Oakes(1982).“Mapping Methods for Generating Three-Dimensional Meshes”,Computers in Mechanical Engineering,pp.67-72

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[6]J.Z.Zhu,O.C.Zienkiewicz,E.Hinton and J.Wu(1991).“A New Approach to the Development of Automatic Quadrilateral Mesh Generation,”,International Journal for Numerical Methods in Engineering,Vol.32 pp.849-866

[7]Ted D.Blacker,and Michael B.Stephenson(1991).“Paving:A New Approach to Automated Quadrilateral Mesh Generation”,International Journal for Numerical Methods in Engineering,Vol 32pp.811-847

[8]Roger J.Cass,Steven E.Benzley,Ray J.Meyers and Ted D.Blacker(1996).“Generalized 3-D Paving:An Automated Quadrilateral Surface Mesh Generation Algorithm”,International Journal for Numerical Methods in Engineering,Vol.39 pp.1475-1489

[9]David R.White and Paul Kinney(1997).“Redesign of the Paving Algorithm:Robustness Enhancements through Element by Element Meshing,”Proceedings,6th International Meshing Roundtable,Sandia National Laboratories,pp.323-335

[10]P.Kinney(1997).Cleanup:Improving quadrilateral finite element meshes.Proc.6th.Int.Meshing Roundtable.

[11]J.A.Talbert,and A.R.Parkinson(1991).“Development of an Automatic,Two Dimensional Finite Element Mesh Generator using Quadrilateral Elements and Bezier Curve Boundary Definitions”,International Journal for Numerical Methods in Engineering,Vol.29 pp.1551-1567

[12]Dietrich,Nowottny(1997).“Quadrilateral Mesh Generation via Geometrically Optimized Domain Decomposition”,Proceedings,6th International Meshing Roundtable,pp.309-320