截尾分位數回歸及其在生存分析中的應用*

王 娟 王 彤

在傳統的生存分析中，多因素分析常采用Cox比例風險回歸模型和加速失效時間模型，Cox比例風險回歸模型要求資料滿足等比例風險假定和對數線性假定，加速失效時間模型要求資料分布已知。但醫學研究中，某些資料不滿足上述要求，特別當觀察值中有離群點(outliers)，所擬合的回歸方程因“遷就”這個(些)離群點而使整體的擬合結果產生不同程度的偏離，以致影響了穩定性;再者，當總體存在異方差，即y的條件分布中方差不為常數時;或者研究興趣在于分布在尾端區域數據的建模，亦不宜用Cox比例風險回歸模型和加速失效時間模型。本文介紹一種適合于當生存資料不滿足上述條件時的回歸方法——截尾分位數回歸。

原理與方法

所謂截尾分位數回歸(censored regression quantiles，CRQ)，就是根據估計(生存時間的對數形式)的分位數，其模型為:

QY|X(τ，x)=xβ(τ)

與加速失效時間模型不同的是，QY|X(τ，x)表示給定x的條件下，y的第τ分位數的估計值。其中τ的取值范圍為0＜τ＜1，當τ=0.5時，截尾分位數回歸就是中位數回歸(median regression)。截尾分位數回歸中，參數估計一般用加權最小一乘(weighted least absolute，WLA)準則，即使目標函數:

模擬分析

1．滿足參數模型假定的模擬分析

如果生存時間服從指數分布，既能建立加速失效時間模型log(t)=+x+ε，又能建立比例風險回歸模型 h(t，x)=h0(t)exp(x'β)，且兩個模型中回歸參數的相互關系為= － β〔2〕。

模擬方法如下〔3〕:模擬的樣本含量為200，截尾比例為20%、40%、60%。首先產生服從(0，1)均勻分布的隨機數S，令生存函數S(t)=S，同時產生服從N(0，1)的隨機數作為自變量 x。令 β=1，利用 t=產生相應的生存時間t。產生服從B(200，0.2)的隨機數作為截尾指示變量，這時截尾比例為20%。每次得到1000個模擬樣本，分別采用Cox比例風險回歸模型(Cox)、加速失效時間模型(AFT)和截尾分位數回歸模型(CRQ)，最后計算出這1000個樣本的回歸系數的均數和標準差。模擬結果見表1。

表格中出現缺項的原因是因為隨著截尾比例的不斷增加，越來越多的截尾生存時間會隨機地出現在生存時間分布的上游，直到觀察結束時，生存率未降到0，即生存分布不完全，無法估計高分位數水平對應的回歸方程。

模擬結果顯示:對滿足比例風險假定和對數線性假定的數據，Cox比例風險回歸模型和截尾分位數回歸模型擬合的回歸系數與真值1非常接近，估計效率也相似。由于資料中不存在異質問題，所以不同分位數水平對應的回歸系數非常接近。隨著截尾比例的不斷增加，回歸系數可能會偏離真值1，估計的效率逐漸降低。該數據模擬實際上符合指數回歸模型，采用加速失效時間模型估計的回歸系數與真值1最接近，標準差最小，效率最高。

表1 不同截尾比例下回歸系數的模擬分析

2．參數條件下存在離群點的模擬分析

模擬方法如下:模擬的樣本含量為200，模擬的截尾比例分別為20%，40%，60%，模擬的離群點比例為5%，10%，15%，20%。首先產生服從(0.5，1.5)均勻分布的隨機數作為自變量，再產生服從W(1，1)的威布爾分布隨機數作為誤差項，產生服從B(200，0.2)的隨機數作為截尾指示變量，這時截尾比例為20%。如擬定的模型是無離群點模型，利用log t=1+βx+ε(令β=1)便可以得到相應的對數生存時間log t。如擬定的模型是有離群點模型，離群點比例為5%，先從200例中隨機抽取5%的對數生存時間數據，被抽中的對數生存時間數值在原值的基礎上加5，作為離群點的對數生存時間，而原樣本中其他個體的對數生存時間保持不變。由此構造離群點比例為5%的有離群點樣本。每次得到1000個模擬樣本，分別采用Cox比例風險回歸模型(Cox)、加速失效時間模型(AFT)以及截尾分位數回歸模型(CRQ)，最后計算出這1000個樣本的回歸系數的均數和標準差。模擬結果見表2～4。

表2 不同比例離群點下回歸系數的模擬比較(截尾比例=20%)

表3 不同比例離群點下回歸系數的模擬比較(截尾比例=40%)

模擬結果表明，當離群點存在時，Cox比例風險回歸模型擬合的回歸系數明顯偏離真值1，出現了偏性，并且隨著離群點比例不斷增加，偏性越明顯。當截尾比例較低(≤40%)時，截尾分位數回歸模型(τ=0.5)擬合的回歸系數較加速失效時間模型接近真值1，效率也比較高。但是截尾比例繼續增加時，截尾分位數回歸(τ=0.5)擬合的回歸系數偏性比加速失效時間模型大，標準差也偏大，這是因為隨著截尾比例的增加，就容易在生存分布的上游出現一定比例的截尾，從而造成了在較高水平的分位數函數估計有偏，效率也降低，但是在低水平的分位數函數擬合良好。

表4 不同比例離群點下回歸系數的模擬比較(截尾比例=60%)

3．違背比例風險假定的模擬分析

有理論表明〔4〕，在參數加速失效時間模型家族中，只有威布爾回歸模型(包括指數分布)既屬于加速失效時間模型，又屬于比例風險模型。對數正態回歸模型和對數logistic回歸模型不滿足比例風險假定。此次模擬采用對數正態回歸模型來產生數據。

模擬方法如下:模擬的樣本含量為200，模擬的截尾比例分別為20%，40%，60%。首先產生服從(0，1)均勻分布的隨機數作為自變量x，再產生服從N(0，1)正態分布的隨機數作為誤差項ε，產生服從B(200，0.2)的隨機數作為截尾指示變量，這時截尾比例為20%。利用t=exp(1+βx+ε)(令β=1)便可以得到相應的生存時間t。每次得到1000個模擬樣本，分別采用Cox比例風險回歸模型(Cox)、截尾分位數回歸模型(CRQ)，最后計算出這1000個樣本的回歸系數的均數和標準差。模擬結果如下(在模擬結果中，考慮到兩模型中的回歸系數不具有可比性，便將Cox模型中的回歸系數按式QCox(τ|x)=H－10(－log(1－τ)exp(－x'iβ))進行了轉換，表5中列出的就是轉換后的結果)。模擬結果見表5。

模擬結果表明，Cox估計的回歸系數有偏;CRQ擬合的結果接近真值1，且效率相比Cox模型偏高。隨著截尾比例的不斷增加，CRQ估計的效率有下降的趨勢。

實例分析

導尿及留置導尿管是臨床上診斷、治療各種危重病人的常用護理措施之一，但長期留置導尿管的多數病人會不同程度地出現導尿管引流不暢及尿液從導尿管滲漏等問題，且并發癥較多，其中最嚴重的是尿路感染。因此尋找尿管誘發尿路感染的影響因素是我們迫切需要解決的問題，從而為預防感染提供一定的科學依據。

表5 不同截尾比例下回歸系數的模擬分析

某醫院泌尿外科的臨床醫師搜集了76例配備有便攜式透析設備的腎衰病人。記錄了這些病人從開始插入導管到感染的時間(以天計算)，如果直到研究結束仍未出現感染，或因為某些原因(感染除外)中途移除導管的病人，視為截尾。隨訪結束時，共有58例患者出現了感染。此外，還搜集了病人的年齡、性別、疾病類型以及衰弱評分四項指標。這四項指標的賦值情況和基本統計表見表6。利用76例腎衰病人擬合截尾分位數回歸模型，在

表6 76例腎衰病人生存資料預后因素及其基本統計量

α=0.10水平上，利用手動向后篩選變量法，入選的變量為性別(sex)、疾病類型GN(disease GN)、疾病類型

AN(disease AN)、疾病類型PKD(disease PKD)以及衰弱評分(frail)，交互項均無意義。模型擬合結果顯示在不同的分位數函數上不僅表現為影響變量個數的不同，還表現為相同自變量對應的回歸系數值大小不等。這里，只列舉τ=0.1，0.5，0.9三個分位數水平對應的回歸方程。

log t0．1=8.91 －2.73GN －2.273AN+32.183PKD

log t0．5=54.06 －98.35sex －5GN － 69.87AN +15.90PKD－81.61frail

log t0．9=373.24 －96.81GN －141.49AN+156.70PKD－176.82frail

從圖1可以看出性別對log t影響的回歸系數隨著τ的變化而變化(先增加后下降)，疾病類型AN(以other為參考)對log t影響的回歸系數的絕對值隨著τ的增加而增加，衰弱評分對log t影響回歸系數的絕對值隨著τ的增加而增加。即隨著生存時間的增加，說明性別對生存時間的保護作用先逐漸增強后又逐漸減弱，疾病類型AN(以other為參考)和衰弱評分對生存時間的威脅性越來越強。而從Cox模型擬合的效果來看，各回歸系數幾乎不隨τ變化，低估了性別、疾病類型AN和衰弱評分對生存時間的影響作用。從專業角度看，截尾分位數回歸擬合的結果更接近實際情況。

討 論

在生存分析中，截尾分位數回歸模型一般用于如下情況:(1)當數據有離群值，為削弱其對回歸模型的影響;(2)當y的方差不是常數方差，即存在異方差，或者存在其他類型的異質性問題。此時，用中位數回歸模型估計給定x時y的平均水平(中位數)，用其他分位數回歸模型估計相應的容許區間或參考值范圍。截尾分位數回歸模型的特性亦類似于百分位數。如在截尾分位數回歸中，中位數回歸模型較其他百分位數回歸模型穩定，越是接近0%和100%的百分位數回歸模型越易受離群值和截尾值的影響，越是不穩定。因此，在用截尾分位數回歸模型確定y的容許區間時，宜用70%，80%或90%的區間，而不用95%，98%或99%的區間〔5〕。

截尾分位數回歸模型中，回歸系數向量中^β(τ)第j個元素表示的是固定其他協變量時第j個協變量的單位變化引起第τ分位數的平均變化量。如果在線性截尾分位數回歸模型中只表現為截距項的不等，即位置的漂移，而協變量對應的回歸系數不隨著τ變化，說明總體中不存在異質性;如果截尾分位數回歸模型中協變量的回歸系數隨著τ變化，說明總體中存在異質性。因此，分位數回歸模型不只可用來做多因素的統計分析，還能作為一種檢驗異質性的診斷方法。

1．Portnoy S．Censored regression quantiles．J．Amer．Statist．Assoc，2003，98:1001-1012．

2．Mara Tableman，Jong Sung Kim．Survival Analysis Using S:Analysis of Time-to-event Data．New York:Chapman ＆ Hall/CRC，2004．

3．余紅梅．Cox比例風險回歸模型診斷及預測有關問題的研究:〔博士學位論文〕西安:第四軍醫大學衛生統計學教研室，2001．

4．Kalblfeisch JD，Prentice RL．The Statistical Analysis of Failure Time Data．New York:Wiley，1980．

5．季莘，陳峰．百分位數回歸及其應用．中國衛生統計，1998，15(6):9-11．