循環小數的奇妙結構

摘要：本文闡述了被除數為質數時產生的幾種循環小數的多種奇妙現象，進而分析了被除數為合數的相關余數的規則性，揭示了自然界存在的一種數理，并分析了一個偶位數循環節是否有半九律。

關鍵詞： 循環節 余數 互質

1、產生循環節的余數之間的奇妙關系

1.1在a/b中，（a為整數且1≤a＜b，b為不是2或5的質數，本小節條件與此相同)，以b=41為例，把1/41、3/41、4/41化為小數產生的循環節以及依次出現的相關余數如表1：

分子值 出現的循環節上的數值 計算過程中依次出現的余數

1 0 2 4 3 9 1 10 18 16 37

3 0 7 3 1 7 3 30 13 7 29

表1

表1中，a=3與a=1在計算過程中依次出現的余數之間分別有一種3倍的關系：依次為1*3=310*3=3018*3=5416*3=4837*3=111，前兩個數值能直觀地看出是3倍的關系，而111、48、54用41進制來表示，十位數字分別為2、1、1，其個位數分別為29、7、13。在02439*3的計算中，0、2、4、3、9分別乘以3所得為0、6、12、9、27，以此為序，27進2到9后其個位為7，9加進來的2后為11，11進1后其個位為1，12加上進位來的1為13，13進1后其個位為3，6加上進位的1后為7，沒有再進位，所以0不變。三次所進數字2、1、1與以上用41進制表示的三個數的十位數字相同。把進位后的數字依次寫出為07317，與02439*3相同。于是可以得出結論：同一個質數為除數產生的多個循環節中，每個循環節相同位置上的數字之間與產生這些數字的相關余數之間隱含有同樣的比例關系。

1.2在a/b化小數過程中，若A +A =E，（A 、A 皆為從1到b-1當中的任意整數）則A /b產生的循環節加上 A /b產生的循環節是E/b所產生的循環節。若E/b=Z +v ，Z 為整數，v 為小于b的余數，則v /b產生的循環節與E/b所產生的循環節首尾都是一樣的。若E +A =C*b,C為整數，A /b= Z +v ，Z 為整數，v 為小于b的余數，則v + v =b。

1.3如表2所示，a/b化小數中以b=19為例，用表格的形式列出1/19的循環節數字及其相關余數。（表中第一行第j位是第二行第j+1位的個位數，這是b的個位為數字9的原因）。

表格中第一行為循環節，第二行為相關余數

0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1

1 10 5 12 6 3 11 15 17 18 9 14 7 13 16 8 4 2

表2

把表2中其相關余數從1到10到…到2的方向依次編為a 到a 到…到a ，便于直觀，我從a 開始，發現a 是a 的2倍，即2*2=4，同樣，a 也是a 的2倍，再以a 的13和a 的16為例，16*2=32，32用19進制表示其個位為13，依次看下去，a 也是a 的2倍，余數a 都是a 的2倍這種隱含的存在全部成立。結論：在a/b化小數時，其先后出現的余數中，如果a 與a 之間有某種差、和、倍的關系，則a 與a 也有這種差、和、倍的關系。又如：從a 到a 中，a +a +a =a 即a 是成立的：2+4+8=14。那么，a 與a +a +a 也有這種隱含的關系，a +a +a =6+3+11=20，用19進制表示其個位數為1即a。例：表1中a 為a =3時，a =11,3+11=14為a 。再如：a +a +a +a 的個位為0成立，那么a +a +a +a 的個位為0也成立，（這里的0是19進制的0）。等等。以上是以b為19時產生的現象，當b為別的質數時，同樣會有這種類似的或別的關系。結論：在a/b化小數中，產生的任何一個循環節里，如果依次出現的某順序上余數之間存在著某種關系時，只要符合這個順序關系的其它的余數之間也存在同樣的關系。

1.4在十進制中，整數Z是否能被整數b整除，要看Z的個位上的數字乘以10 ，加上十位上的數字乘以（10 /b）的余數，再加上百位上的數字乘以（10 /b）的余數，……再加上n位上的數字乘以（10 /b）的余數，（可將所得的結果按同樣步驟重復計算，直到最后成一個位數與b相同的數），它能被b整除，Z就能被b整除。若Z是一個由9組成的n位數，個位十位百位到10 位都用9去乘以每位上相應可以得到的余數后相加，若能被b整除，則這個數Z也就能被b整除。以b=19為例，其除十進制10 （n為從0到18的整數）每位上所得的數字剛好與1/19化小數過程中所得循環節的各個余數相同，見表2第二行。即：9*（a +a +…+a ），（j≤b-1）的結果是19的倍數才能被19整除，而質數19并不含有9的任何因數，那么只有（a +a +…+a ）的結果為19的整數倍， 19才是j位9組成數的一個因數。當b=19時，j=b-1=18。除質數3以外，所有的質數都不含9的任何因數。當b=3時，無論（a +a +…+a ）的結果是什么，9*（a +a +…+a +…+a ）的結果都能被3整除。所以當b=3時，產生循環節時其相關余數之和可以不是3的整數倍。結論：在a/b（b≠3）化小數中，產生循環節時把相關余數相加之來和為b的整數倍。

1．5在a/b化小數中，所得的任何循環節的相關余數有w個，w為（b-1）的任何一個因數，包括（b-1），若w=q*p成立，則可按其依次出現的順序分成q組p個，那么無論任何分法，每一組的首個余數相加和為b的整數倍，其余相同順序上的余數相加和也為b的整數倍。以1/19為例，用表格分別列出1/19相關余數分3組，每組6個相關余數，如表3

表3表4

表3是1/19所產生的相關余數，表4是根據相關計算得出的與表3有關的數字，即第二行分別是第一行的11倍，第三行分別是第一行的7倍。表4第一列與表3相同，根據整除的理論，由于表3中這些余數都是同一個循環節的相關余數，說明表3中每一行上數字之和不能被19整除，否則就不會有再有其后邊的余數，而表4中，從第一行到第三行的第一列數字分別為：A 、A 、A ，設第一行之和為M，第二行之和為M*A / A ，第三行之和為M*A / A 。表3與表4的第一行數之和相同也為M,由于表4各數之和是表3各數之和加上19的整數倍的結果,而表3是從1加到18的數,為(1+18)*18/2結果是19的倍數,所以表4也是19的整數倍,而表4第二行的和為M*A / A ，第三行的和為M*A / A ，其三行之和為：M+ M* A / A + M* A / A即：M*( A + A + A )/ A。由于1≤A ≤18，不含有質數19的任何因數,由整除理論可知M不可能是19的整數倍，所以M/ A 不含有19的任何因數，只有(A +A +A )之和為19的倍數。而(A +A +A )正好是表3第一列數之和。同理可推，分成五組中的（A +A +A +A +A ）的結果也是19的整數倍。再用表格列出7/31計算過程中循環節及相關余數的關系：

循環的數字 2 2 5 8 0 6 4 5 1 6 1 2 9 0 3

相關余數 7 8 18 25 2 20 14 16 5 19 4 9 28 1 10

表5

若按循環節上的三個數字為一組，分成五組，則每組相關余數的第一位分別為7、25、14、19、28，五數之和為93=31*3；第二位數分別為8、2、16、4、1，這五數之和為31=31*1；第三位分別為18、20、5、9、10，這五數這和為62=31*2。這種現象無論以哪個循環節上的數字為開頭，只要按循環節順序如此計算，每組余數相同順序上的數之和都為31的整數倍。

1.6在a/b化小數中，所得的任何循環節的相關余數有w個，w為（b-1）的任何一個因數，包括（b-1），若w=q*p成立，則可把這個循環節上的數字按循環順序分成q組p個，無論如何分，只要每組的個數相同，那么，把每組數字按原循環順序組成一個p位數后再把q個p位數加起來和為T。相關余數的第一列之和（A + A + A +……+A ）除以b等于 Z，Z必為整數，當Z=1時，T為p位數字9組成的數；當1＜Z≤10時，T是首一位數字加上尾一位數字和為9，中間由p-1位數字9組成的數；當10 +1≤Z≤10 時,T是一個n+1位首尾和為n+1位9,中間由p-n-1位9組成的數；以1/7為例，產生的循環節為142857，共6位，可以分成3組，每組兩個數字，即14、28、57，則14+28+57=99，3組數的首位數字相關余數之和為1+2+4=7*1；或者分成42、85、71，則42+85+71=198，三組首位相關相余數相加為3+6+5=14，Z=14/7=2，2*9=18，首1加尾8即1+8=9；也可分成兩組以上關系也成立的。再以1/31為例，其產生的循環節為032258064516129，共15位，可以分成三組或五組后相加，分別為032+258+064+516+129=999，或03225+80645+16129=99999；再以7/31化小數后的循環節為225806451612903，按以上法則分組后相加分別為225+806+451+612+903=2997，其中，首數2加上尾數7為9；22580+64516+12903=99999；以上現象暫稱為合九律。所以在a/b（b為非2、5的質數）化小數中：⑴若產生的任何循環節位數為偶數時，一定具有半九律，且這個質數產生的循環節的個數可為奇數或為偶數；⑵若產生的循環節個數為奇數時，循環節位數一定為偶數；⑶若產生的循環節位數為奇數時，則循環節的個數一定為偶數。

2、除數為合數產生的循環小數

2.1幾種特殊數的性質。

真分數a/b中b=b *b ，b 為質數。⑴若b =2 時，a/b=（a*5 ）/b /10 ，若（a*5 ）/ b =Z+v,( 1≤v＜b ),那么a/b=（Z+v/b ）/10 ，Z部分不被包含在循環節里；而b =5 時，同理可推。也就是說，b 為2 或5 時，所產生的循環節與a /b [1≤a ≤（b -1）]產生的循環節相同。而a中與b互質的數所產生的循環節全部可以通過相關轉換成以b 為除數所產生的循環節。⑵3是數字動態形式里9的因數，當b =3 時，①若b=b 化a/3 為小數的過程中不會出現余-a的情況；②若n=1，b產生的循環節上數字之和為3的整數倍，且同一個循環節里計算“半九律”的結果為“半六或半三律”；③若n=2，b產生的循環節上的數字和可為任意整數，而在同一個循環節里的計算“合九律”的結果為重復的數字都只為1至8的任可數里的一個數字。④b =3 時，同一個循環節里的任意兩個與3 互質的相關余數之差皆為3的整數倍。

2.2 在a/b中，1≤a＜b,b= b *b ，b 和b 皆非2或5的質數，那么a/b化小數的過程中會產生三部分循環小數，一部分是由從1到（b-1）中有（b -1）個含有b 為因數的數，這些數與b *b 約去b 后成為以a /b 化小數產生的循環節，1≤a ≤（b -1）；同樣地，第二部分與第一部分過程一樣，是由a /b 化小數產生的，1≤a ≤（b -1）；第三部分是以b為除數，從1到（b-1）中與b互質的數為被除數產生的，其能產生（b-1）-（b -1）-（b -1）即（b+1）-（b +b ）個參與這部分循環節的數字。第三部分循環節相關的余數之間也是有一定關系的。從1到b-1中含有b 、2 b 、3 b ……（b -1）b 和b 、2b 、3 b ……（b -1）b ，它們的和為：[1+（b -1）]*（b -1）* b /2 加上[1+（b -1）]*（b -1）* b /2，結果為b * b *（b +b -2）/2，由于b 和b 皆不為2或5的質數，所以（b +b -2）/2是一個整數，那從1到b-1之和是b*（b-1）/2，所以b*（b-1）/2-（b +b -2）/2也為整數。故第三部分的余數之和是b的整數倍，并且它們的排列很有規則。若b是t個數字9組成數的因數，則與由a /b （或a /b ）產生的循環節組成t位數除以b （或b ）的結果是相同的，并且t是b*（b-1）/2-（b +b -2）/2的因數。以b=119、b =7、b =17為例，由（b+1）-（b +b ）=119+1-7-17=96位，但由于48個9組成的數就能被119整除，所以有兩個48位的循環節。當a=1時，余數依次為1、10、100、48、4、40、43、73、16、41、53、54、64、45、93、97、18、61、15、31、72、6、60、5、50、24、2、20、81、96、8、80、86、27、32、82、106、108、9、90、67、75、36、3、30、62、25、12，從以上排列可以看出，a +a =7K ，K 為整數，而a +a =17K ，K 為整數。a 與a 之差為7的整數倍，a 與a 之差為17的整數倍。在119中只含因數7、17僅各一個，用1.5節表3的排列法來分析，48可分解為2*24、3*18、4*12、6*8四種，119的第一行若為6個余數1、10、100、48、4、40，和M為7*29，由a +a =7K ，則第一行之和M含119的因數7，那第一列之和必僅含因數17了，而第一列余數1、43、64、15、50、8、106、36的和17*19不能被119整除；若每行24個，則與每行6個的結果相同，所以都沒有半九律。若第一行排16個相關余數，又由a +a =17K ，同理可知，第一列只含因數7不能被119整除。別的排法，都可達到合九律。結論：在a/b中，1≤a＜b,b= b *b ，b 和b 所得的循環節都為自身數減1位。設（b -1）/2=s, （b -1）/2=r，產生的第三部分余數中，a +a 為b 的整數倍，a 與a 之差為b 的整數倍，而a +a 為b 的整數倍，a 與a 之差為b 的整數倍。第一行排2s（或2r）個相關余數所得的第一列和只是b （或b ）的整數倍，而所得T為以b （或b ）為除數所得的w/2s(或w/2r)個循環節組成。（注：w和T見1.6節里的說明）

2.3在a/b中, b=b ，則產生的循環節有兩部分，一部分由1到（b -1）除以b 產生，另一部分由1到（b-1）中與b互質的數除以b產生。

2.4在a/b中，當b為n個（非2、5）質因數的積，化小數所得的循環節由2 -1個不同的除數產生。

作者簡介姓名：廖敢云出生：1978年10月民族：漢 性別：男

學歷：大學職稱：技術員

注：文章內所有公式及圖表請以PDF形式查看。