深水鋼懸鏈線立管順流向非線性動力分析

孟 丹，郭海燕

（中國海洋大學 工程學院，山東 青島 266100）

1 引 言

隨著開采水深的增加，近年來發展起來的新型立管系統—鋼懸鏈線立管（Steel Catenary Riser）—在技術上和經濟上比傳統的柔性立管和頂張力立管系統有了長足的進步，成為深海油氣資源開發的首選立管形式。1994年安裝了世界上第一條鋼懸鏈線立管，引起了工程界和學術界的極大關注[1-5]。鋼懸鏈線立管作為輸送油氣資源的管道連接于海底和上部浮體之間，在波浪和流的作用下，不僅上部浮體產生的復雜動力響應會作用于深水海洋立管[6]，立管本身也承受著強度相當大的波浪和流的作用力。準確地預報出實際海況中鋼懸鏈線立管的動力響應問題，對于逐漸向深海發展的海洋開采事業具有重大的意義[7]。

以往對深水海洋立管這種細長的柔性結構多采用大位移小應變的分析方法，而實際上即使對于伸展性不明顯的立管結構，大應變的影響都不可忽視[8]。而且在以往的分析中，都是將外部流體的非線性作用力進行線性化，甚至忽略流體阻尼的影響，不能反映外部流體對立管振動的實際影響。因此，本文考慮深水鋼懸鏈線立管大應變的特性以及內流的影響，采用具有彎曲剛度的細長梁模型模擬鋼懸鏈線立管，利用Hamilton原理和拉格朗日應變理論建立了立管的二維動力學模型。通過Hermite插值函數對動力學方程進行有限元離散。由于系統的多重非線性，系統方程的求解采用時域的逐步積分法，積分格式選用Newmark-β法。探討了在外部流體非線性作用力的影響下立管的動力響應。

圖1 深水鋼懸鏈線立管大變形示意圖Fig.1 Schematics of large deformations of deepwater steel catenary riser

2 動力學模型的建立

圖1給出了典型的上部連接于浮體的自由懸掛鋼懸鏈線立管的構型圖，水深為xH，頂部的靜止偏移為yV。立管頂端作用有初始的拉力Tt以保持立管的初始構型。立管上每一點的坐標都通過笛卡爾坐標系確定。圖中定義了立管的三種狀態分別為初始態、平衡態以及動態。立管在初始狀態下，由于其自重、內流的作用、軸向和彎曲變形達到平衡狀態。同時，平衡狀態被認為是立管動力學計算的初始狀態。在外部荷載的作用下，立管會由平衡態發展到動態，u1、u2和 u3分別為立管微元 ds0從平衡態到動態在X、Y和Z方向上的位移。在本文的研究中，只考慮立管在XOY平面內的運動，即 u3=0。

在立管的平衡狀態微元ds0的長度為

利用拉格朗日應變理論，在立管的初始態和動態微元的長度分別為：

其中ε0為初始的靜應變，則動態立管的總應變為

2.1 能量方法

立管軸向應變能Ua由兩部分組成，一部分由軸向力引起，一部分由流體靜壓力組成：

其中，ST為未變形前立管的總長度，A為動態時立管的橫截面積；初始應力σov=2νσp，ν為泊松比，端部應力[9]σp=（peAoe-piAoi）/Ao，pe、pi分別為立管外部和內部流體對管壁的靜壓力，Ao為平衡位置立管的橫截面積。

軸向應變能的變分表達式為

并且 Ta=EA0ε0+σ0vA0，Tb=EA0-σ0vA0。 且僅當泊松比 ν=0.5 時，Ta=EA0ε0+σpA0即為有效拉力。 忽略高階項并應用二項式近似有

應用（8），（9）式，方程（6）可簡化為

根據Euler-Bernoulli梁理論，忽略剪切變形的影響，在XOY平面內非線性應變曲率和位移的關系可表示為

其中κ*和κ分別為動態和平衡狀態時管道的曲率。

彎曲應變能Ub為

其變分表達式為

因此，立管應變能的變分為

進行立管的動力分析，外力所做的虛功包括有效重力、外部流體以及慣性力所做的虛功[8]，其中由有效重力做的虛功可表示為：

其中

并且ρ為初始位置單位長度管道質量，ρf為平衡初始位置單位長度內部流體質量，ρe為外部流體密度，g為重力加速度。

由外部流體做的虛功δWH可表示為：

其中pn為外部流體作用在立管上的正壓力，根據Morison方程有

pt為外部流體作用在立管上的切向力

并且CDn、CDt分別為法向、切向拖曳力系數；D為管道外徑；Un、Ut分別為外部流體在法向、切向上的流速；CM為慣性系數；CA為附加質量系數。

根據牛頓第二定律，慣性力可表示為

其中V為立管內部流體的流速。因此，外力所做的虛功為

2.2 運動方程

根據虛位移原理

可以得到動力學系統在虛位移δu1和δu2上的Euler’s方程，將立管在平衡位置的初始條件代入Euler’s方程可得系統在平衡位置處的靜力平衡方程。由于平衡位置是系統進行動力分析的初始狀態，所以聯合靜力平衡方程和Euler’s方程便可得到系統的運動方程：

3 求解方法及模型驗證

將運動方程（23）寫成矩陣的形式為

將水深xH分成n個長度為l的單元，則相對應的立管單元內任意一點的位移可表示為

根據Galerkin有限元法，運動方程變為

為了得到立管的動力響應，利用數值積分的方法，即Newmak-β法和Newton-Raphson迭代法對動力學方程進行求解。Newmak-β法積分參數取值為

立管的邊界條件為

立管動力響應的初始條件為

用MATLAB將上述算法編寫程序resp.m，用于計算海洋立管在外部流體以及內流影響下的動力響應。

為了驗證本文建立的模型的正確性，選取參考文獻[11]中的數據進行計算，參考文獻中的深水立管的物理參數列于表1中。首先計算立管的自然頻率，計算結果以及與參考文獻的比較結果列于表2，從計算結果可以看出，本文模型的基頻大小與以往計算結果非常接近；其次，圖2中給出了本文編制的計算程序resp.m和參考文獻[12]立管中點動力響應計算結果，從圖中可以看出，兩種方法的計算結果基本一致。

圖2 海洋立管中點動力響應時程曲線Fig.2 A comparison of displacement responses in the middle of the riser

表1 深水海洋立管的物理參數Tab.1 General material properties of marine risers

表2 基頻比較結果Tab.2 Comparison of fundamental frequencies

4 結果與討論

在外部流體影響的參數分析中，假設外部流體為穩定流，流速沿Y軸正向流動，且速度為U。為了考慮外部流體非線性的影響，定義符號函數

方程（18b）同理，將其代入（26）式計算外部流體的作用力。

為了研究立管的動力響應，我們假設立管頂部受到大小為0.1 kN、頻率為ωs的正弦激勵，并定義頻率比fr=ωs/ωf，并且變化范圍取為0.5-2.0，其中ωf為立管的自振頻率。

4.1 激勵頻率對動力響應的影響

在外部流體作用下不同激勵頻率時，立管的位移響應曲線在圖3中給出。從圖中可以看出，立管的動力響應具有明顯的非線性，而且外部流體的存在減小了立管的動力響應幅值。隨著激勵頻率的增大，動力響應的最大位移也變大，直到fr=1.0時，立管發生共振現象。繼續增加激勵頻率值，立管的響應最大位移減小。

其中 γ=U-u˙2。 則方程（18a）變為

4.2 外部流體流速對共振響應的影響

圖4給出了不同外流流速情況下的深水海洋立管共振響應曲線。從圖中的結果可以看出，隨著流速的增加，管道的共振響應會趨于穩定狀態，響應幅值變小，趨于穩定的時間也變小。不同外部流體流速時管道振動趨于穩定所需的時間及響應幅值見表3。

圖 4 海洋立管共振響應曲線：（a） U=0；（b） U=0.5；（c） U=0.6；（d）U=1.0；（e） U=1.2；（f） U=1.5；（g） U=1.8；（h） U=2.0Fig.4 Resonant responses of marine risers:(a)U=0;(b)U=0.5;(c)U=0.6;(d)U=1.0;(e)U=1.2;(f)U=1.5;(g)U=1.8;(h)U=2.0

4.3 拖曳力系數對共振響應的影響

自Morison方程提出幾十年來，已有不少學者對CD進行了大量的模型試驗和現場觀測工作，但所得數據仍有相當大的離散性。拖曳力系數反映了管道表面的粗糙程度，和雷諾數的大小有關系。本文根據1976年Sarpkaya的實驗數據，假定CD的大小在0到2.0范圍內。U=0.75 m/s時海洋立管第一階模態的共振響應曲線在圖5中給出。從圖中可以看出，拖曳力系數的大小直接影響海洋立管動力響應幅值的大小。由于拖曳力的存在，在開始振動一段時間后，管道的動力響應趨向于一個穩定狀態。并且，拖曳力系數的值越大，動力響應的穩定幅值就越小，具體變化見圖6。

表3 海洋立管動力響應穩定時間Tab.3 Convergence time onto the steady state of

圖 5 海洋立管共振響應曲線：（a） CD=0；（b） CD=0.4；（c） CD=0.8；（d）CD=1.2；（e） CD=1.6；（f） CD=2.0Fig.5 Resonant responses of risers:(a)CD=0;(b)CD=0.4;(c)CD=0.8;(d)CD=1.2;(e)CD=1.6;(f)CD=2.0

5 結 論

本文研究了深水鋼懸鏈線立管在外部流體作用下的動力響應?；谀芰糠椒?，立管的應變能主要由立管伸長和彎曲產生，外力所做虛功則來源于立管的重力、立管和內流產生的慣性力、以及外部流體的作用，建立了深水輸流立管大應變動力學模型。有別于以往的研究，模型的非線性充分體現在大位移大應變理論的應用。從管道的動力響應分析中發現了共振現象，并且，外部流體的非線性作用會影響立管位移響應的幅值以及位移響應趨于穩定的持續時間。

拖曳力系數取值不同，立管的動力響應幅值也不同。在深水海洋立管的設計中，應針對不同的外部海洋環境，通過實驗確定拖曳力系數。

圖6 海洋立管共振響應幅值與拖曳力系數關系曲線Fig.6 Relation between maximum dynamic responses of risers and drag force coefficients

[1]Egil Giertsen,Richard Verley,Knut Schroder.CARISIMA a catenary riser/soil interaction model for global riser analysis[C]//Proceedings of the International Conference on Offshore Mechanics and Arctic Engineering-OMAE.Houston,USA,2004,1:633-640.

[2]Claudio Marcio Silva Dantas,Marcos Queija de Siqueira,Gilberto Bruno Ellwanger,Ana Lucia F.Lima Torres,Marcio Martins Mourelle.A frequency domain approach for random fatigue analysis of steel catenary risers at Brazil’s deep waters[C]//Proceedings of the International Conference on Offshore Mechanics and Arctic Engineering-OMAE.Houston,USA,2004,1:199-209.

[3]金慶煥.深水油氣是當今海洋油氣勘探的主要熱點[J].科學中國人,2006(11):18-19.

[4]李清平.我國海洋深水油氣開發面臨的挑戰[J].中國海上油氣,2006,18(2):130-133.

[5]Mekha B B.New frontiers in the design of steel catenary risers for floating production systems[J].Journal of Offshore Mechanics and Arctic Engineering,2001,123:153-158.

[6]Irani M B,Modi V J,Welf F.Riser dynamics with internal flow and nutation damping[C]//Proceeding 6th International Offshore Mechanics and Arctic Engineering Conference.Houston,USA,1987,3:119-125.

[7]林?；?王言英.波流共同作用下隔水管動力響應非線性分析[J].船舶力學,2009,13(2):189-195.

Lin Haihua,Wang Yanying.Analysis of nonlinear dynamic responses for marine riser induced by waves and currents[J].Journal of Ship Mechanics,2009,13(2):189-195.

[8]Chucheepsakul S,Monprapussorn T,Huang T.Large strain formulation of extensible flexible marine pipes transporting fluid[J].Journal of Fluids and Structures,2003,17:185-224.

[9]Sparks C P.The infuence of tension,pressure and weight on pipe and riser deformations and stresses[J].ASME Journal of Energy Resources Technology,1984,106:46-54.

[10]Huang T.Kinematics of transported mass inside risers and pipes[C]//Proceeding of 3rd International Offshore and Polar Engineers.Singapore,1993,2:331-336.

[11]Chucheepsakul S,Huang T,Monprapussorn T.Influence of transported fluid on behavior of an extensible flexible riser/Pipe[C]//Proceeding of 3rd International Offshore and Polar Engineering.Brest,France,1999,2:286-293.

[12]Leklong J,Chucheepsakul S,Kaewunruen S.Dynamic responses of marine risers/pipes transporting fluid subject to top end excitations[C]//Proceeding of 8th ISOPE Pacific/Asia Offshore Mech Symposium.Bangkok,Thailand,2008:105-112.