阿基米德Copula函數的擬合檢驗

李述山

0 引言

Copula函數是連接隨機變量邊緣分布的累積分函數，描述了變量間的相關結構[1][6]。運用Copula技術來分析隨機變量間的相關性有很多優點：一是Copula模型不限制邊緣分布的選擇，而且Copula函數有很多分布族；二是Copula模型可以將隨機變量之間的相關程度和相關模式有機地結合在一起，不僅可以得到度量相關程度的相關參數，還可以得到描述相關模式的Copula函數，因此可以更全面地刻畫隨機變量間的相關關系，如Kendall的τ、上尾相關系數與下尾相關系數等。因此，在金融資產間的相關性分析、金融資產及資產組合的風險評估、可靠性評估等方面得到了廣泛應用。

常用的Copula函數總體可以分為橢圓型copulas和阿基米德copulas，而每一族又分為許多具體的連接函數類。不同的copula有不同的性質，橢圓copula函數族具有對稱的尾部相關性，這與金融數據的厚尾分布相違背。阿基米德copula函數族具有以下特性：構建且計算簡單，多種不同的copula都歸屬于這個函數族中；對數收益率的相關性結構符合阿基米德copula分布[2]。在運用阿基米德Copula研究實際問題的過程中，有一個重要問題就是阿基米德Copula函數的選擇。要選擇能正確描述變量間相關結構的Copula函數，我們就必須對阿基米德Copula函數的擬合度進行評價，即對所選擇的Copula函數進行擬合檢驗。

本文擬介紹阿基米德Copula已有的兩種檢驗方法，并建立新的檢驗方法，通過進行模擬檢驗，說明新檢驗法的優良性。

1 阿基米德Copula函數擬合檢驗的兩種常見檢驗方法

1.1 基于Rosenblatt積分變換的K-S檢驗法

定理1[3]令 X=(X1,X2,…,Xd)為一隨機向量，記T(x)=(T1(x1),T2(x2),…,Td(xd))

其中:

則 T1(X1),T2(X2),…,Td(Xd)相互獨立，皆服從U(0,1)。

推論1[1]設隨機向量(U,V)的邊緣分布皆為(0,1)上的均勻分布，聯合分布函數為阿基米德copulas C(u,v;θ)，生成元為 φ(t;θ)，則 C1(U,V;θ)～U(0,1)，且與U 獨立，其中 C1(u,v;θ)=φ'(u;θ)/φ'(C(u,v;θ);θ)。

由推論 1 可知，假設檢驗問題 H0:(U,V)～C(u,v;θ?)可轉化為假設檢驗問題：

H0:C1(U,V;θ?)～U(0,1) 對 H1:C1(U,V;θ?) 不 服 從U(0,1)

該假設檢驗問題常采用如下的K-S檢驗法：

設(U,V)為二維隨機向量，U,V～U(0,1)，連接函數為 C(u,v;θ)，(ui,vi),i=1,…,n 為來自 (U,V)的樣本（觀 察 值），記 wi=C1(ui,vi;θ?),i=1,…,n ， Fn(x)為wi,i=1,…,n相應的經驗分布函數，取作為檢驗統計量，對檢驗水平α，當Dn＞Dn(α)時拒絕原假設。

稱該檢驗法為基于Rosenblatt積分變換的K-S檢驗法。

1.2 基于copula變換與概率積分變換的K-S檢驗法

定理2[1]設隨機向量(U,V)的邊緣分布皆為(0,1)上的均勻分布，聯合分布函數為阿基米德copulas C(u,v;θ)，生成元為 φ(t;θ)，則（1）C(U,V;θ)的分布函數為 KC(t;θ)=t- φ(t;θ)/φ'(t+;θ)；（2）Kc(C(U,V;θ);θ)～U(0,1)；（3）設 (Ui,Vi),i=1,2,…,n為來自 (U,V)的樣本，記KC(C(Ui,Vi;θ);θ),i=1,2,…,n ，則 Wi,i=1,2,…,n 相互獨立且皆服從(0,1)上的均勻分布。

由定理 2 可知，假設檢驗問題 H0:(U,V)～C(u,v;θ?)可轉化為假設檢驗問題：

H0:Kc(C(U,V;θ?); θ?)～U(0,1) 對 H1:Kc(C(U,V;θ?);θ?)不服從 U(0,1)

該假設檢驗問題常采用如下的K-S檢驗法：

設(U,V)為二維隨機向量，U,V～U(0,1)，連接函數為C(u,v;θ)，(ui,vi),i=1,…,n為來自(U,V)的樣本（ 觀 察 值 ），記 wi=KC(C(ui,vi;θ?); ?θ??),?i=1,2,…,n ，Fn(x)為 wi,i=1,…,n相應的經驗分布函數，取作為檢驗統計量，對檢驗水平α，當Dn＞Dn(α)時拒絕原假設。

稱該檢驗法為基于copula變換與概率積分變換的K-S檢驗法。

2 阿基米德Copula函數擬合檢驗的兩種新方法

2.1 基于一種函數變換的K-S檢驗法

定理3[1]設隨機向量(U,V)的邊緣分布皆為(0,1)上的均勻分布，聯合分布函數為阿基米德copula C(u,v;θ)，生 成 元 為 φ(t;θ) ，記 S=φ(U;θ)/(φ(U;θ)+φ(V;θ)) ，T=C(U,V;θ)，則：

（1）(S,T)的聯合分布函數為：

（2）S～U(0,1)且S與T獨立。

由定理3可以知道，S(θ)=φ(U;θ)/(φ(U;θ)+φ(V;θ))～U(0,1)，因此假設檢驗問題 H0:(U,V)～C(u,v;θ?)可轉化為假設檢驗問題：

H0:S(θ?)～U(0,1) 對 H1:S(θ?)不服從 U(0,1)

該假設檢驗問題可以采用K-S檢驗法，稱為基于一函數變換的K-S檢驗法。

2.2 基于隨機向量變換的χ2擬合優度檢驗法

推論2設隨機向量(U,V)的邊緣分布皆為(0,1)上的均勻分布，聯合分布函數為阿基米德copulas C(u,v;θ)，生成 元 為 φ(t;θ) ，則 S(θ)=φ(U;θ)/(φ(U;θ)+φ(V;θ)) 與W(θ)=KC(C(U,V;θ);θ)獨立，且皆服從 (0,1)上的均勻分布。

由推論 2 知，假設檢驗問題 H0:(U,V)～C(u,v;θ?)可轉化為假設檢驗問題：

H0:(S(θ?),W(θ?)) 服從 (0,1)2上均 勻分 布 對 H1:(S(θ?),W(θ?))不服從 (0,1)2上均勻分布。

對該問題我們采用與文[7]類似的χ2擬合優度檢驗法：設(U,V)為二維隨機向量，U,V～U(0,1)，連接函數為C(u,v;θ)，(ui,vi),i=1,…,n為來自(U,V)的樣本（觀察 值 ） ，記 xi= φ(ui;θ?)/(φ(ui;θ?)+ φ(vi;θ?)),yi=KC(C(ui,vi;θ?);θ?),i=1,2,…,n 。將 (0,1)2均勻分割成 m× m個 單 元 格 G(i,j)，i,j=1,2,…,m ，記 nij為(xi,yi),i=1,2,…,n落入單元格G(i,j)內的頻數，則在原假設H0成立時，統計量漸進服從自由度為 m2-1的 χ2分布。對檢驗水平 α，當M＞χ2α(m2-1)時拒絕原假設。

稱該檢驗法為基于隨機向量變換的χ2擬合優度檢驗法。

3 模擬檢驗與分析

本文選用二元Clayton Copula與二元Gumbel Copula以考察4種檢驗法的檢驗效果。

針對二元Clayton Copula與二元Gumbel Copula（分布函數記為C(u,v;θ)，在參數真值為θ=5下分別隨機產生C(u,v;θ)的2000個樣本，參數估計值為設定的7個值：θ?=4.0,4.5,4.7,5.0,5.3,5.5,6.0 ，采用以上4種檢驗方法分別在檢驗水平0.05、0.01下進行檢驗，檢驗問題為：H0:(U,V)～C(u,v;θ?)對 H1:(U,V)不服從分布 C(u,v;θ?)

共進行模擬檢驗100次，記錄接受原假設的次數，結果見表1、表2。

表2 Gumbel Copula的模擬檢驗結果

4 結論與分析

本文首先介紹了已有的兩種檢驗方法：基于Rosenblatt積分變換的K-S檢驗法與基于copula變換及概率積分變換的K-S檢驗法，進一步建立了兩個新的檢驗方法--基于一種函數變換的K-S檢驗法與基于隨機向量變換的χ2擬合優度檢驗法，并進行了模擬檢驗，從模擬檢驗的過程及結果，可得如下分析及建議。

（1）四種檢驗法只適用于二元阿基米德copulas的檢驗，不能用于多元阿基米德copulas的檢驗。

（2）從表1與表2的檢驗結果可以看出：①基于Rosenblatt積分變換的K-S檢驗法與基于一種函數變換的K-S檢驗法效果相近，但基于一種函數變換的K-S檢驗法更為直接、簡單；②基于隨機向量變換的χ2擬合優度檢驗法最嚴格，且檢驗結果符合實際，原因是該檢驗法利用了樣本的全部信息，不僅對變換后的邊緣分布而且對獨立性進行了檢驗；③基于copula變換與概率積分變換的K-S檢驗法效果較差，究其原因，是因為該檢驗法只是利用了樣本的部分信息。

（3）鑒于如上兩點，我們認為不宜采用基于copula變換與概率積分變換的K-S檢驗法。

[1]Nelsen RB.An Introduction to Copulas[M].New York:Springer,1999.

[2]JOE H.Multivariate Models and Dependence Concepts[M].London:Chapman and Hall,1997.

[3]Rosenblatt M.Remarks on a Multivariate Transformation[J].Annals of Mathematical Statistics,1952,(23）.

[4]Fermanian JD.Goodness-of-fit Tests for Copulas[J].Journal of Multi?variate Analysis,2005,(95).

[5]Genest C,Rivest L.Statistical Inference Procedures for Bivariate Ar?chimedean Copulas[J].Journal of the American Statistical Associa?tion,1993,(88).

[6]張堯庭.連接函數(Copula)技術與金融風險分析[J].統計研究，2002，(4).

[7]李述山.Copula函數擬合檢驗的一種新方法[J].統計與決策，2010,(24).