區間數指標權重確定的熵值法改進

郭秀英

0 引言

多指標決策問題廣泛存在于經濟、管理、工程和軍事等領域中。而多指標決策中合理確定指標權重是一個非常重要的工作，因為其關系到方案優選或排序的可靠性和準確性[1]。因此，研究多指標決策問題指標權重的確定，具有重要的理論意義和實際應用價值。指標權重的確定方法主要有兩大類[2]：一類是主觀賦權法，另一類是客觀賦權法。主觀賦權法是由專家根據經驗對實際問題主觀判斷合理確定各指標相對重要性程度，并通過數學處理獲得反映指標實際重要程度的近似權重。這類方法已有成熟的研究成果，如：Delphi法、AHP法、最小平方和法、特征向量法等。其顯著的特點是確定的指標權重能反映指標實際重要程度的順序情況，但主觀隨意性大。適用于根據指標本身含義確定權重，或決策者進行多指標決策時定性指標較多且對各指標有偏好的指標權重的確定?？陀^賦權法是根據決策矩陣中某指標下各方案指標值差異的大小來確定其權重，各方案指標值差異越大，該指標權重越大，反之，該指標權重越小。其顯著的特點是確定的指標權重具有絕對的客觀性，無主觀影響，但確定的權重有時與實際相悖，即最不重要的指標可能具有最大的權重，最重要的指標卻不一定具有最大的權重。因為最重要的指標不一定使所有決策方案的指標值具有最大的差異，最不重要的指標卻有可能使所有決策方案的指標值具有最大的差異。實際決策中，各方案指標值無差異的指標不予考慮。因此，該類方法適用于決策者進行多指標決策時定量化指標較多且對各指標無任何偏好的指標權重的確定。多指標決策問題的指標權重客觀確定已引起專家、學者的廣泛關注，取得了一些研究成果。指標值為精確數的指標權重客觀確定方法主要有：（1）離差最大化方法[3]—[6]。文獻[3]依據指標下各方案指標值的極差或均方差的大小確定各指標的權重，不太合理，因為某指標下各方案指標值的極差或均方差大，不一定其各方案指標值間的離差就大；文獻[4]、[5]依據各方案的加權規范化指標值間的偏差最大確定各指標的權重，計算煩瑣，且要求權重滿足單位化約束條件，這有別于人們的習慣用法——權重滿足歸一化約束條件，求得的權重不能充分反映各指標提供信息的重要程度大??；文獻[6]綜合指標值的離差最大化和指標值權重信息熵最大化確定各指標權重，其權重信息熵最大化有悖于多指標決策的思想。因為，權重信息熵越大，權重信息的無序度越高，權重可利用程度越低[7]，而求解多指標決策問題一般期望各指標的權重區分度越高越好，即決策中權重的利用程度越高越好。（2）理想方案偏離法[8]—[10]。依據各方案的加權規范化指標值與理想方案的偏差最小，或與負理想方案的偏差最大確定各指標的權重。不太符合客觀賦權法的基本思想，因為：①未充分利用指標值的客觀信息；②各方案指標值與理想方案指標值的差異不能反映各方案指標值間的差異狀況。因此，求得的指標權重只是反映各方案與正理想方案指標值偏差最小，與負理想方案指標值偏差最大的指標權重，不能反映指標值提供的決策信息的重要程度[11]。（3）熵值法[12]。利用多指標決策問題各指標下各方案指標值提供的信息熵來確定指標權重，是多指標決策的較成熟的一種客觀賦權法。指標值為區間數的指標權重客觀確定方法，借助于指標值為精確數的指標權重客觀確定方法的思想，增加區間數指標值偏差的處理，也主要有三類研究成果：（1）離差最大化方法[13]—[15]。思想同文獻[4]、[5]。但指標值規范化標準不統一。（2）理想方案偏離法[16]—[19]。思想同文獻[8]—[10]。但文獻[17]的理想方案不合理，并要求權重向量滿足單位化條件，不符合人們的習慣用法；[16]、[18]、[19]指標值規范化標準不統一。（3）熵值法[20]。以各方案區間數指標值與理想方案區間數指標值的相離度序列信息熵確定各指標權重。不太符合客觀賦權法的基本思想，因為此相離度序列信息熵，不能充分反映各方案指標值間的偏差程度。另外，此三類方法在區間數指標值偏差處理中，除[13]、[14]外，均存在區間數相離度或距離的定義與精確數相離度或距離的定義不符。綜上分析，離差最大化方法、熵值法符合客觀賦權法的基本思想和原理，是較好的客觀賦權方法論。但離差最大化賦權和區間數指標熵值法賦權存在一定的不足，有必要對其進行進一步的研究，以完善客觀賦權法的理論與方法。本文僅針對區間數指標熵值法賦權的不足進行研究，綜合利用區間數指標值上、下界序列的信息熵，合理衡量各方案區間數指標值間的差異，提出一種新的區間數指標客觀賦權的熵值法。

1 區間數指標權重確定的熵值法原理與算法

定 義1[21]設 非 負 序 列 X={x1,x2,…,xm} ，且。則稱:

為序列X的信息熵。規定：0ln0≡0

可見，信息熵 E≥0；當 x1=x2=…xm=1/m時，E=1。因此，0≤E≤1，E值越大，序列X越趨于常數列，即序列X中的元素偏差程度越??；E值越小，序列X中的元素偏差程度越大。即序列X的信息熵E是反映序列X中元素的偏差程度的。

設多指標決策問題有m個可行方案：A1、A2、…、Am，n個評價指標：G1、G2、…、Gn，可行方案 Ai在評價指標Gj下的指標值為非負區間數，i=1,2,…,m，j=1,2,…,n。決策矩陣為：。評價指標Gj的權重為 wj（ j=1,2,…,n）未知，并且

由客觀賦權法的原理，評價指標Gj下各方案指標值偏差越大，則該評價指標對方案優選或排序的作用越大，該評價指標的權重也應越大；反之，則該評價指標對方案優選或排序的作用越小，該評價指標的權重也應越小。

評價指標Gj下各方案區間數指標值序列的偏差體現在其上界值序列的偏差和下界值序列的偏差。而定義的序列信息熵能準確度量評價指標Gj下各方案區間數指標值的上界值序列偏差程度和下界值序列偏差程度。

評價指標Gj下各方案區間數指標值的下界序列信息熵E-j：

目前，地鐵軌道建設規模已經成為衡量城市水平的一個重要標準，發達的地鐵軌道可以提升人們的出行速度，降低交通壓力，提升城市效率。我國的地鐵軌道建設項目規模不斷增大，其質量安全問題必須得到充分的關注。加強施工中的重點難點分析，并提出科學合理的應對措施對提高地鐵軌道項目的質量至關重要，對延長工程項目的使用壽命、降低工程成本有很大的作用。

其中：

上界序列信息熵E+j：

其中：

因此，評價指標Gj下各方案區間數指標值序列的偏差程度，可以其下界序列信息熵E-j和上界序列信息熵的平均值反映。

稱Ej為評價指標Gj下各方案區間數指標值序列的信息熵。

熵值Ej越大，Gj指標下各方案區間數指標值間的偏差越小，也即Gj對方案優選或排序的重要程度越小，則Gj指標的權重越??；熵值Ej越小，Gj指標下各方案區間數指標值間的偏差越大，也即Gj對方案優選或排序的重要程度越大，則Gj指標的權重越大。

因此，Gj指標對方案優選或排序的重要程度dj為：

區間數指標Gj的權重為：

綜上所述，熵值法確定區間數指標權重的算法：

（3）按式（6）計算各方案區間數指標值序列信息熵Ej（j=1,2,…,n）。

（4）按式（7）計算Gj指標對方案優選或排序的重要程度 dj（ j=1,2,…,n）。

（5）按式（8）計算Gj指標的權重 wj（ j=1,2,…,n）。

2 實例分析

新產品開發投資方案評價問題[15][20]。為開發新產品，擬定了5個投資方案 A1、A2、A3、A4、A5，各方案的4個評價指標值如表1所示。試根據各方案評價指標值信息確定各評價指標的權重。

下面用本文給出的熵值法求4個評價指標的權重。

（1）各方案指標值的下界決策矩陣：

表1 各方案指標值

由式（2）、（3）計算出各方案區間數指標值的下界序列信息熵：

（2）各方案指標值的上界決策矩陣：

由式（4）、（5）計算出各方案區間數指標值的上界序列信息熵：

（3）由式（6）計算各區間數指標值序列信息熵：

（4）由式（7）計算各指標對方案優選或排序的重要程度：

（5）由式（8）計算各評價指標的權重：

此計算結果與文獻[15]的結果相近，并且權重的大小順序完全一致。說明本文的方法是有效可行。

3 結論

針對指標值為區間數的多指標決策中指標權重確定的客觀賦權問題，本文提出了一種基于評價指標下各方案區間數指標值的差異程度確定區間數指標權重的分析方法。該方法中，依據客觀賦權的原理和序列信息熵的含義，利用各指標下各方案區間數指標值的上、下界序列的信息熵，反映各方案指標值的偏差程度，給出了確定各區間數指標權重的一種熵值法。該方法簡捷合理，計算量小，可操作性強。實例分析表明，該方法分析思路清晰，能充分運用多指標決策問題各指標值的信息，合理有效，簡單實用。因此，本文的研究對完善權重信息未知的區間數多指標決策問題的權重客觀確定，有一定的理論意義和實用價值。

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