利用組合理論計算獨立同分布隨機變量和的高階矩

左 路

(湖北大學化學化工學院，湖北 武漢 430062)

利用組合理論計算獨立同分布隨機變量和的高階矩

左 路

(湖北大學化學化工學院，湖北 武漢 430062)

中心極限定理建立了關于獨立同分布的隨機變量和的極限分布，但是并未給出隨機變量和的高階矩的計算方法。將利用組合理論建立獨立同分布且均值為零的隨機變量序列和的高階矩的簡化計算方法，并在該方法的基礎上擴展至一般獨立同分布隨機變量序列和的高階矩。

中心極限定理；組合理論；高階矩

對于一般的非中心化獨立同分布隨機變量序列，雖然根據中心極限定理，其和的極限分布為正態分布，但是計算和的高階矩即使在正態分布環境下仍然很復雜。在獨立性、中心化的環境下，利用隨機變量和的冪運算展開式中變量排列表現出來的組合性質，容易構建隨機變量和的高階矩的簡化計算公式，并可以在此基礎上推廣至一般非中心化獨立同分布的隨機變量序列。

1 中心化隨機變量序列和的高階矩

定理1設{Xi,i∈N}為獨立同分布隨機變量序列，存在：

E(Xi)=0 0

其中下標r(1),…,r(n)為從元素1,…,N中允許重復取得的n個元素。如當N=8,n=6時：

記φπ=φ(Xr(1)…Xr(n))，則式(1)可表達為：

(2)

(3)

于是：

(4)

(5)

根據q和n的關系從3個方面討論式(5)：

(6)

(7)

式(7)中的求和項數為所有雙元素劃分π的數量為(n-1)(n-3)…5·3·1。

當n為奇數時，由于劃分π中的塊不可能都為雙元素塊，至少有一個單元素塊，因此φπ=0。

綜上所述，有：

(8)

2 非中心化隨機變量序列和的高階矩

定理2設{Yi,i∈N}為獨立同分布隨機變量序列，存在：

E(Yi)=μ0

[1]蘇淳. 概率論[M]. 第2版.北京：科學出版社,2010.

[2] Emery M, Nemirovski A，Voiculescu D. Lectures on probability theory and statistics[M].New York:Springer, 2000.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.10.004

O211.4

A

1673-1409(2012)10-N010-03