概率計算中易混淆問題的教法研究

劉建慧

（北京農學院基礎部數學教研室，北京 102206）

概率計算中易混淆問題的教法研究

劉建慧

（北京農學院基礎部數學教研室，北京 102206）

首先從具體實例提出了物品檢驗概率計算中一類易混淆問題.然后從理論上證明了無放回逐次抽取中兩種概率計算方法的合理性，其定理證明過程充分揭示了這類檢驗方法與其它相關抽取方式之間的關系并強調了最根本的分析問題思路.最后，研究了文中所得到的一般性結論的適用范圍，從而使得這類易混淆問題的講解變得清晰條理.

隨機事件；概率；樣本點

1 引 言

從一組物品中隨機抽取一部分，計算滿足各種檢驗條件的隨機事件的概率是非常具有實用背景的問題，廣泛應用于產品抽樣檢驗、彩票中獎率估計等實際問題中.但是，在具體計算概率時，由于涉及對各種事件所包含的樣本點的計數，而這些計數問題往往沒有一個固定的解題模式可遵循，需要敏銳的洞察力、豐富的想象力和必要的技巧，所以如何引導學生對解決問題的思想方法進行探索、對易混淆的事件進行對比分析是每位任課教師所面臨的難點之一.本文就是針對這個問題展開的.

在此類問題中，一般都假設每件物品都是互不相同的或者都是有標識的，這是符合絕大多數產品的生產實際的，原因是：其一，在檢驗之前，不可能有某件產品與其它產品是否相同的結論產生；其二，對于大件產品，肯定有相應的產品標識，例如工業制造業中的較大部件；而對于沒有標識的產品，個體之間在特征形狀方面仍然是有差異的，如水果產品中的水果個體就因其在形狀、色澤等方面的不同而構成區別于其它個體的自身的特異性.至于彩票，顯然都有唯一的標識.因此，在如下的分析中，我們總是默認這種假定.

2 問題的提出

在這類隨機實驗中，按照抽取物品的方式的不同，實驗可以被分為三種類型：1.一次性隨機抽取多件.2.每次隨機抽取一件，檢驗之后將這件物品放回原物品群體；下次再隨機抽取一件，再放回；依此類推.3.每次隨機抽取一件物品，檢驗之后不將這件放回；下次再隨機抽取一件，不放回；依此類推.

對于一次性抽取多件物品的問題，由于不涉及與特定次數相關的事件，所以主要是抽出的物品中滿足條件的物品個數的概率問題，適合用組合數的方法求解，理解上不會帶來任何問題.但對于后面兩種多次抽取問題，由于隨機事件可以和具體次數相關，也可以和總的多次抽取的信息相關，所以事件種類比較多，學生極易混淆.對此，不同的教材在處理方面有不同的側重點，如教材［1］就僅僅對一次性抽取多件物品的問題進行了介紹，而忽略了后兩種易混淆問題，這固然縮短了這部分的篇幅，但也使學生課后接觸到后兩種問題時常感到困惑；為彌補教材［1］的缺憾，教材［2］對三種問題都引入了具體實例，并且為了幫助同學拓展思路，在問題求解時，給出了不止一種方法，如下面的例子.

例1［2］一批產品共80件，其中有10件次品.現不放回地抽取兩件，求“取得一件正品一件次品”的概率.

解法二 由于是不放回抽取，所以也可看作不分先后次序一次抽兩件.從80件中抽取2件共有C種取法，抽到一件正品一件次品有C·C種，所以

解法一和解法二的總樣本點數和事件所包含的樣本點數都不同，但計算結果一致.這樣的結論是否具有一般性？解法二是否在任何無放回的情形下都適用？請看下面兩個分別與一維和二維隨機變量分布相關的概率計算問題（以下兩個例子均為［2］中作業）.

例2［2］一批零件共有12個.其中有9個正品，3個次品.安裝機器時，從這批零件中任取一件，且取出的次品不放回，然后再取一個零件，直到取得正品為止.求在取得正品之前已經取出的次品數的概率分布.

為求解例2，用隨機變量ξ代表“在取得正品之前已經取出的次品數”，則ξ的可能取值為0，1，2，3.取這四個值中的任何一個時，都涉及一個無放回多次抽樣問題.有的學生利用了例1中解法二的啟發，也看作不分先后次序一次抽多件，如“ξ＝1”表示取得正品之前已經取出的次品數為1，則理解為一件次品一件正品，由此直接計算如下：

而按照分次的題目原意，總樣本點數計算為：第一次抽取的可能數乘以第二次抽取的可能數，也即CC；“ξ＝1”表示第一次為次品第二次為正品：即第一次抽取次品的可能數乘以第二次抽取正品的可能數C，也即，由此得

在這個例子中，按照次序與不分先后次序計算的結果是不同的.

例3［2］一個盒子里有12個小球，其中兩個是紅球，今從其中隨機抽取兩次，每次取一球，不放回.若定義兩個變量ξ和η如下：

有的學生仍按照例1解法2的思路，得到

這表明，在解決分次無放回抽樣概率計算中，需要對不同解法的適用范圍進行詳盡討論，還要引導學生掌握最根本的分析方法.因為這種問題不僅僅是局部現象，而是與一維以及多維隨機變量分布密切相關.由于教材中都沒有涉及這方面的專題分析，所以本文下一節就對一般問題進行討論，并根據學生在學習中的問題提出便于理解的證明方法，這種證明方法實際上就是這類問題最根本的分析方法.

3 一般性理論及適應范圍

定理1 從N件產品（其中D件次品，N-D件正品）中每次取1件產品進行檢驗，則有

1.在有放回條件下，檢驗n件產品，恰有k件次品的概率為

2.在無放回條件下，檢驗n件產品，恰有k件次品的概率為

分析 學生在初次接觸這兩個式子時感到非常困惑，因為同樣都是逐次抽取問題，（1）和（2）式形式上具有很大差異.而（2）式恰好就是一次性抽取的概率公式，似乎與逐次抽取的事實不符.其實，兩者都可以從分次的出發點來考慮，下面就給出從分次角度出發的證明.

證有放回和無放回情形都統一用逐次法分析，并用A表示事件“檢驗n件產品，恰有k件次品”.

1.對于有放回情形，由于每次抽取時產品總數都是N，所以每次選擇的可能性均為N，從而抽取n次的樣本點總數為Nn.

事件A所包含的樣本點數的求解可以按照如下思路進行：

（ii）考慮k件次品在n次中的次序位置固定（同時n-k件正品在n次中的次序位置也就隨之固定）時所有可能的抽取數：1）每次抽取到次品的可能性都是D，抽到正品的可能性都是N-D；2）按照乘法原理，n次抽取的可能性數目是各次抽取數的乘積，即k個D和n-k個N-D的乘積，由于乘積是可交換的，所以這個乘積與次品和正品的先后順序無關.

（iii）綜合（1）與（2），就得到在有放回的條件下，事件A所包含的樣本點數為C·Dk·（N-D）k.由于樣本點總數為Nn，從而得到事件A的概率如（1）式所示.

2.對于無放回情形，由于每次抽取時產品總數都是上一次抽取總數減1：第1次N，第2次N-1，第3次N-2，…，第n次N-（n-1），所以抽取n次的樣本點總數為

事件A所包含的樣本點數按照如下思路進行：

ii）考慮k件次品在n次中的次序位置固定（同時n-k件正品在n次中的次序位置也就隨之固定）時所有可能的抽取數：1）每次抽取到次品的可能性都是上一次抽取次品的可能數減1：第1次D，第2次D-1，第3次D-2，…，第k次D-（k-1）；每次抽取到正品的可能性都是上一次抽取正品的可能數減1：第1次N-D，第2次N-D-1，第3次N-D-2，…，第k次N-D-（k-1）；2）按照乘法原理，n次抽取的可能性數目是各次抽取數的乘積，由于乘積是可交換的，所以這個乘積與次品和正品的先后順序無關.

iii）綜合（1）與（2），就得到在有放回的條件下，事件所包含的樣本點數為

所以由（6）式可得

也即（2）式得證.由此證明了定理1.

定理1表明，例1解法二的方法是具有一般性的；定理的證明過程表明，（1）和（2）式實際上都來自于類似的逐次分析方法，只是在無放回的情形下可以用數學演算推導出（2）式.所以在給學生講解（2）式時，可以將上面的證明思路引出，學生的困惑就能夠消除.定理的證明過程還解釋了例2不可以用（2）式計算的原因，因為例2中的第二次一定是正品，而并非兩次中的任何一次，所以這時候就需要回到根本的逐次分析方法，而不可以套用公式（2）.同樣的解釋適用于例3中P（ξ＝1，η＝0）的情況，而P（ξ＝1，η＝1）的情形是因為兩次都是紅球恰好符合（2）.綜上所述，對于無放回逐次抽取產品問題，只有定理1中所述事件的具體化形式才能用（2）式，也即事件只和正（次）品總數相關，與具體次數的抽取情況無關.否則，就只能用這類問題最基本的逐次分析法進行分析，而不能用一次性抽取多件的方法.

［1］ 張德培，羅蘊玲，等.應用概率統計［M］.北京：高等教育出版社，2000.

［2］ 杜曉林，王玉民，等.概率論與數理統計［M］.北京：氣象出版社，2005.

Research on Teaching of the Probability Calculation of Confusable Random Events

LIU Jian-hui
（Department of Basic Sciences，Beijing University of Agriculture，Beijing 102206，China）

The problems in probability calculation of confusable random events are first presented，by the concrete examples.Then a theorem is proposed to generalize two caculation results of one by one no return test.From the proof procedure of the theorem，the relations with other relative tests are demonstrated and the most fundamental analytical method is emphasized.At last，the limitations of the generalized conclusion in the theorem are discussed，which makes the teaching problems clear.

random events；probability；sample points

O211

C

1672-1454（2012）04-0147-04

2008-11-11

北京市屬市管高校人才強教計劃資助項目（PXM2007-014207-044539）