季節凍土區路基土體的凍脹率與熱膨脹系數關系分析

洪帥

【摘 要】在季節凍土地區，路基土體會發生凍脹變形，給寒區工程造成不良的凍害。因此，對土體凍脹變形的數值模擬顯得尤為重要。而目前采用的數值模擬方法眾多，筆者根據土體的凍脹原理與材料的熱脹冷縮性質，應用彈性力學里求解溫度應力的知識推導土體凍脹率η與熱膨脹系數α的數學關系式，并應用有限元軟件ANSYS中的結構溫度應力模塊對此進行驗證，計算結果表明二者關系式是可靠的。給寒區工程路基土體凍脹變形的數值模擬提供了一個直接簡便的媒介，可以較好的模擬路基土體凍脹變形。

【關鍵詞】凍土；凍脹率；熱膨脹系數；數值模擬

1.材料的熱脹冷縮與土體的凍脹

眾所周知材料具有熱脹冷縮的性能，在溫度發生變化的情況下其體積也會隨之發生改變，產生熱應變。在材料的熱應變受到約束時不能自由發展就會產生熱應力。而凍土的凍脹變形和材料的熱應變有著類似的性質，溫度降低的時候，由于水分遷移和原位水的凍結而產生體積膨脹，進而發生凍結應變，當凍結產生的應變受到約束時便會產生凍脹力[1，2]。只是凍脹應變與材料本身的熱脹冷縮應變趨勢相反，在季節凍土區，隨著溫度的降低，土體與周圍的水發生熱交換，當土體的溫度達到土中水的凍結溫度時，就會產生凍結。伴隨著孔隙水和遷移水分的結晶成冰，引起土體體積的增大而發生膨脹[3]。由于冰透鏡的形狀，進而其體積膨脹一般是各向異性的，不過就目前研究階段，我們假設凍脹的分布是各向同性的。則相應的增量形式可以由下式給出：

式中dε是dt時間內由凍脹引起的體積膨脹應變。凍土中的凍脹由兩部分組成，一部分是由于原位水凍結而引起的體積膨脹，一部分是由于遷移水凍結而引起的體積膨脹，兩部分的體積膨脹可以用下式表示：

式中：dw——dt時間內凍土內未凍水含量的減少量。

dwq——dt時間內遷移到凍土內并凍結的遷移量。

溫度應力和凍脹力雖然是兩種不同形式的應力，各自的機理也不盡相同，但是這兩種應力下，均會造成材料結構體積發生膨脹，本文考慮應用這一共性，建立起熱膨脹系數α和凍脹率η之間的關系，應用ANSYS中結構溫度應力模塊模擬土體凍脹。

2.土體凍脹變形時凍脹率與膨脹系數關系

筆者對土體的凍脹模擬采用將土體的凍脹率η用土體負的熱膨脹系數α來表示，按結構溫度應力的計算方法來進行凍脹模擬，進而研究由凍脹而引起路基變形。

在彈性力學里，按位移求解溫度應力的平面問題，即根據彈性體內的已知變溫來決定體內的溫度應力，首先要推導出熱彈性力學的基本方程和邊界條件。

令彈性體內個點的變溫為△T，即后一瞬時的溫度減去前一瞬時的溫度，以升溫時為正，降溫時為負。由于變溫T，如果不受約束，將發生線應變a△T，其中a是彈性體的線脹系數，它的量綱是。在各向同性體中，系數a不隨方向而變，所以這種線應變在所有的各個方向都相同，因而就不伴隨著任何切應變（否則溫度應力將成為非線性問題）。這樣，彈性體內各點的形變分量為：

由于彈性體所受的外在約束以及體內各部分約束，上述的變形并不能自由發生，于是就產生了應力，即所謂的溫度應力。這個溫度應力又將由于物體的彈性而引起附加的變形，如胡克定律所示。因此連同（2.1）的形變，總的變形分量為：

現在假定如圖2.1所示的長方體模型及坐標系中，沒有體力和面力作用，但是有變溫的作用，而這個變溫也只是平面坐標X和Y的函數，不隨空間坐標Z而變化，根據平面應力及平面應變問題和幾何方程—剛體位移的論證，可知這里屬于平面應變問題，因而有：由（2.2）式得出如下的物理方程：

上面為針對溫度應力的平面應力問題而推導出來的方程，適用于溫度應力的平面應變問題。在溫度應力的平面應變問題中，除了σ、σ、τ 外，還有一個應力分量σz。令（2.2）式中ε=0，就可以得到這個應力分量：

筆者考慮在平面坐標系下進行分析，因此路基模型采用平面有限元模型，土體兩側及底面均有約束。其具體約束示意圖如圖2.2

邊界條件為：ε=0，ε=0，σ=0

將ε帶入到（2.3）式中第一式，σ=0帶入到（2.3）式中第二式可得：

進而可得εy與熱膨脹系數a的關系，其中的εy就是本文計算中的凍脹率η。并認為凍土中未凍水含量僅是溫度的函數，冰水相變只發生在一個很小溫度范圍內[0，-1]，由于不同土體的相變區是不同的，本文僅考慮在這個很小的溫度范圍內，土體冰水相變已經完成情況下對應的相變溫度，取該時刻的相變溫度T=-1℃，這樣溫度變化范圍 △T=1℃，經計算η和a兩者的具體關系如下：

3.應用ANSYS驗證二者之間關系

為了驗證上述公式（2.6）的正確性及適用性，利用ANSYS軟件進行數值模擬。假設未凍土體、凍土體為均質、各向同性材料，模型簡化為平面應變問題；假設土體的導熱系數不隨溫度的變化而變化；僅考慮土體凍結過程中土骨架和介質水的熱傳導及冰水的相變作用，忽略凍結過程中熱對流、質量遷移、水分遷移等，并認為凍土中未凍水含量僅是溫度的函數，冰水相變只發生在一個很小溫度范圍內；土體采用開爾文流變模型并僅在重力和凍脹力作用下發生變形。具體驗證步驟如下：（下轉第279頁）

（上接第230頁）（1）建立尺寸為1×1正方形平面模型。

（2）選擇單元為42號單元，確定材料的屬性彈性模量E=3.6mPa，泊松比μ=0.3，參考溫度為0℃，熱膨脹系數α=-0.0016。

（3）假設溫度降低1℃，對整個面域施加溫度荷載。

（4）求解凍脹率η大小，并與理論計算值進行比較。

二者的計算結果如下：

本文推導公式（2.6）計算出的理論值：

應用ANSYS模擬出的數值解：η=0.00297（見圖3ANSYS數值模擬結果）。

圖 3 ANSYS數值模擬結果圖

二者結果是相符合的，驗證了公式（2.6）的正確性。

4.結語

本文應用彈性力學里按位移求解溫度應力的平面問題的思想，推導了土體的凍脹率η與土體熱膨脹系數α之間的關系式，進而按照結構溫度應力的方法模擬土體的凍脹變形思想，利用ANSYS驗證了二者關系。為簡化模擬路基土體凍脹的變形提供了一個良好的媒介。

【參考文獻】

[1]周幼吾，邱國慶，程國棟，郭東信.中國凍土.（第一版）[M].科學出版社，2000，8：1-2.

[2]H.A.崔托維奇張長慶，朱元林譯.凍土力學[M].北京：科學出版社，1985，1.

[3]鄭秀清，樊貴盛，邢述彥.水分在季節性非飽和凍融土壤中的運動[M].北京：地質出版社，2002，9.