雙層非線性耦合反應擴散系統中復雜Turing斑圖*

李新政1) 白占國1)? 李燕1) 趙昆1) 賀亞峰2)

1)(河北科技大學理學院,石家莊 050018)

2)(河北大學物理科學與技術學院,保定 071002)

1 引言

斑圖是自然界中廣泛存在的一種典型的非線性自組織現象,是在時間或空間以及時空上具有某種規律性的非均勻結構.在化學反應系統、非線性光學系統以及生物系統中均可觀測到種類豐富的斑圖[1-7],雖然各個系統斑圖形成的具體物理機制各不同,但斑圖的形成與演化規律卻具有一定的共性,Turing在1952年首先利用化學反應擴散方程組對斑圖的形成進行了理論解釋[8].近年來,介質阻擋放電系統作為一個新興的斑圖系統,以其本身發光可視、形成斑圖所需時間短、構成斑圖的單元(放電絲)可被單獨測量、控制參數調節方便等優點備受關注[9-14].氣體放電系統屬于一種遠離平衡的非線性系統,能在高級分岔點附近研究復雜斑圖的形成和演化,在該系統中已從實驗獲得了種類豐富的復雜斑圖(例如:蜂窩、白眼、超四邊、超六邊、點線斑圖和螺旋波等),經研究發現復雜斑圖往往由兩套及兩套以上子結構嵌套而成,歸因于壁電荷斑圖與放電絲斑圖相互作用的結果[15,16].構成復雜斑圖的簡單子斑圖結構是按照一定的波長關系組合的,只有當系統內出現的失穩模具有兩個或多個波長時,才會產生具有復雜的空間結構和對稱性的超晶格斑圖,因此怎樣獲得多個不同波長的失穩模以及不同波長模間的相互作用是研究的熱點[17-19].人們開始利用雙層耦合模型對實驗中觀察到的超點陣斑圖進行理論模擬,主要源于Barrio等[18]提出超點陣斑圖的形成是因為兩個模間的相互作用,并獲得了許多有意義的研究成果.例如Yang等[6]用耦合兩個Brusselator擴散反應模型得到了黑眼和白眼超點陣斑圖,Berenstein等[20]用雙層耦合的Lengel-Epstein模型加四邊形或六邊形擋板數值模擬了在化學反應擴散系統觀察到的多種超點陣和振蕩斑圖等.前人在該方面的研究主要集中于模與模的線性相互作用,對非線性相互作用研究較少.本文采用雙層耦合Brusselator模型,研究模之間的非線性相互作用,獲得了種類豐富的斑圖,通過分析Turing模對不同斑圖形成的影響,從理論上分析了復雜斑圖的形成機理及其動力學行為.

2 模型

利用反應擴散方程研究Turing分岔斑圖的主要有Lengyel-Epstein模型、Brusselator模型和Schnackenberg模型等,其中Lengyel-Epstein模型和Brusselator模型應用最廣[6,20-28].Brusselator模型是以雙變量形式來描述化學反應過程中化學元素變化的一類反應擴散方程組.文中所采用的是雙層Brusselator四變量反應擴散模型,每層中包括一個活化子和一個禁阻子,在無量綱的情況下該模型形式如下:其中i和 j表示兩子系統1(u1,v1)和2(u2,v2),u和v分別為活化子和禁阻子的濃度;Du和Dv分別為u和v變量的擴散系數,α,β為兩子系統非線性耦合系數(且i/=j),動力學行為由控制參數a和b所決定.為便于研究與對比,本文中固定a=3和b=9,兩個子系統具有相同的均勻定態解:(u0,v0)=(a,b/a).通過對該均勻定態解做線性穩定性分析可以得到斑圖動力學中最常見的兩類初級分岔現象:當控制參數b滿足b＞bH=(1+a2)時,系統經√歷Hopf分 岔;當控制參數b滿足:b＞bT=時√,系統經歷Turing分岔并產生特征波數為k2=a的Turing模.選擇適當參數使系統處于Turing空間,從式中可以看出Turing模的波數大小反比于兩個變量的擴散系數的大小.圖1是兩系統的色散關系:具有較大擴散系數的失穩模(長波模)具有較小的波數,而具有較小擴散系數的穩定模(短波模)具有較大的波數.通過合理選擇參數使兩個子系統分別具有長波模和短波模,進而討論2模作用引起的復雜斑圖.

在本文的數值模擬中,采用歐拉向前差分的方法進行積分,數值模擬在一個含有N×N(128×128)個格子的二維平面上進行,時間積分步長為Δt=0.01個時間單位,初始條件為均勻定態上加一個很小的隨機擾動,微擾幅度Δu=0.03u0,Δv=0.01ν0,邊界條件選用周期性邊界條件,為確保其穩定性所有結果的積分時間均超過10000個時間單位.

圖1 兩耦合系統色散關系

3 模擬結果與分析

斑圖的選擇完全取決于兩系統Turing模之間的相互作用,在一定條件下兩個子系統Turing模會產生空間共振,若長波模和短波模滿足共振條件,在短波模所處的子系統中會形成復雜的斑圖.由于兩子系統間的相互作用較為復雜,為簡化分別通過改變系統反應參數對Turing模間的相互作用進行研究.

3.1 波數比值的影響

斑圖的形成首先是因為系統內禁阻子和活化子濃度在時間及空間上分布不均勻造成的,擴散系數的大小對于斑圖的形成及類型起著決定性作用.本文通過改變短波模與失穩模的波數比,觀察波數比的改變對系統1斑圖的形成及類型選擇的影響.

圖2中是兩子系統波數比為1:1時,兩子系統出現相同的簡單六邊形與條紋斑圖.波數相等時兩子系統具有相同的Turing模,且地位相同,此時系統處于初級Turing分岔點附近,兩波模無耦合發生,不會產生新的模,此時系統對失穩模的波長選擇是單一的或一條較窄的波段,同時斑圖的自組織行為受空間共振規律的約束,因此系統僅有單一空間尺度的簡單斑圖形成,從圖形相應的二維傅里葉頻譜中可以看出此時系統僅有一種波數的波矢,根據鏡像對稱圖2(a3)中的兩個波矢可以寫成q1和-q1,圖2(b3)中的六個波矢可以約化為三個大小相等基矢q1,q2,q3(|q1|=|q2|=|q3|).

圖2 波數比1:1時,(a)Du1=51.7,Dv1=155.5,Du2=51.7,Dv2=155.5,α=0.03,β=0.03;(b)Du1=27.75,Dv1=73.75,Du2=27.75,Dv2=73.75,α=0.045,β=0.045(其中 1 為子系統1圖,2為子系統2圖,3為傅里葉頻譜圖)

兩子系統波數比大于1時,兩子系統Turing模波長不同,地位不同,短波模受失穩模調制,系統1中斑圖受到系統2中斑圖的影響,而系統2中的斑圖不受系統1中斑圖的影響.通過調整參數發現:短波模受失穩模調制不僅可以出現系統2中簡單形狀斑圖(如六邊、條紋、四邊形等斑圖);失穩模與短波膜發生共振偶合時,系統有新的不同波長失穩模產生,若系統處于高級Turing分岔點附近時還可以出現豐富的超點陣斑圖.在調整波數比的過程中始終保持子系統2中呈現穩定的簡單六邊形斑圖,分別考察了波數比為整數2:1,3:1,4:1時子系統1中產生復雜斑圖情況.

圖3(a)為波數比為2:1時產生蜂窩狀六邊形超點陣斑圖,每個蜂窩單元邊緣均由短線構成,中心區是相同的圓形點狀斑圖;從相應二維傅里葉頻譜中可以看出蜂窩斑圖有三種不同波數的波矢,每組相同波數的波矢均可構成一六邊形,中心區為一組等波數的諧振波矢qi(|q1|=|q2|=|q3|),此外存在兩種次諧振波矢Ki,其中|Ki|=2|qi|,=31/2|qi|滿足三波共振關系:K1+q2=因此蜂窩斑圖有三套子結構構成.圖3(b)為波數比3:1時系統1中所呈現的超六邊斑圖,任何一個單元與周圍均勻分布的六個相同單元都可組成正六邊形的形狀,形成六邊形的每個單元與蜂窩超六邊形的中心斑圖相似,從二維傅里葉頻譜中可以看出也是由兩組Turing模qi和Ki相互作用形成的(其中|Ki|=3|qi|),共有三套次生模:第一套新生次諧振模有2組,其中3個ki模的大小為2|qi|(|Ki|-|qi|=2|qi|,ki//qi),另3個模的波數為31/2|qi|,且與諧振模滿足共振關系:k1+q2=第二套為2組大小相等的新生次諧振模Qi和,分別滿足三波共振關系:K1+q2=Q1和-K3-q2=第三套共有4組新生次諧振模Mi,Ni,Ri,其中Mi模的大小為4|qi|(|Ki|+|qi|=4|qi|,Mi//qi),Ri模與第一套新生次諧振模平行且大小為另兩組模Ni和的大小相等且滿足三波共振關系:K1-q3=N1和-K3+q1=.圖3(c)為波數比為4:1時系統1中形成的黑眼斑圖,每一個六邊形晶胞中心為暗斑點,向外依次是一個亮環和暗環,形成類似于眼睛的結構,每三個單元中心處各有一個濃度不同的點狀區域,每一個單元周圍有六個這樣的點狀區域,且這六個點成正六邊分布,二維傅里葉頻譜顯示由兩組Turing模qi和Ki相互作用形成的(其中|Ki|=4|qi|,Ki//qi).Turing斑圖隨系統2中變量擴散系數的增大,超點陣單元間的距離逐漸增大,相同區域面積內的晶胞減少,即超點陣斑圖的波數逐漸減小,其原因為系統2中失穩模波數隨擴散系數的增加而減小,短波模受失穩模調制所引起,但失穩模與短波模共振耦合時新生次諧振模數量會逐漸增加,且新生模與固有?；蛐律沃C振模與諧振模均可形成三波共振關系.

3.2 耦合系數的影響

兩子系統波數相同時無論耦合系數取0—1的任何值,兩系統均出現相同的簡單斑圖.圖4中分別是耦合系數為0.045與0.15時子系統1中所形成簡單六邊形斑圖,可以看出兩圖形(圖4(a)和(b))基本一致,說明此時耦合系數與系統斑圖的類型無關,在波數比為1:1時系統始終處于初級Turing分岔點附近.兩子系統波數比大于1時,兩波模地位不同,短波模受失穩模調制,兩波模隨耦合系數的改變耦合共振形式也會相應發生變化,因此斑圖形式表現出明顯的變化.圖4(c)和4(d)分別是耦合系數為0.05與0.3時子系統1中所形成復雜斑圖與簡單六邊形斑圖,系統1中斑圖出現明顯的變化說明耦合系數的大小也可以影響系統Turing分岔行為.

圖3 (a)波數比2:1時,Du1=6.78,Dv1=15.75,Du2=25.3,Dv2=68.9,α=0.05,β=0.05;(b)波數比3:1時,Du1=6.48,Dv1=15.55,Du2=55.3,Dv2=147.5,α=0.035,β=0.035;(c)波數比4:1時,Du1=1.55,Dv1=3.505,Du2=22.5,Dv2=65.5,α=0.05,β=0.01

圖4 耦合強度對斑圖的影響 波數比1:1時,Du1=27.75,Dv1=73.75,Du2=27.75,Dv2=73.75:(a)α=0.045,β=0.045;(b)α=0.15,β=0.15;波數比2:1時,Du1=6.5,Dv1=14.15,Du2=22.75,Dv2=65.5:(c)α=0.05,β=0.05;(d)α=0.3,β=0.3

模擬過程中發現在耦合系數小于0.1時,隨耦合系數強度的增加系統1中不僅呈現簡單和復雜斑圖,還可以呈現簡單斑圖向復雜斑圖的變化(如圖5(a)—(e)所示,其中1,2代表系統1,2中斑圖).可以看出兩系統無耦合時子系統2中為大點簡單六邊形斑圖,系統1中呈現小點簡單六邊形的斑圖(圖5(a));耦合系數在0—0.0015時兩子系統直接形成無耦合時簡單六邊形斑圖(圖5(b));耦合系數在0.0015—0.04時,系統2穩定于簡單六邊形斑圖,系統1出現超六邊形復雜圖形(圖5(c)),耦合系數在0.0015—0.02時系統1中超點陣斑圖不穩定,隨模擬時間延長逐漸演化成簡單六邊形斑圖(圖5(1b))或區域點狀斑圖(圖5(2d));耦合系數在0.04—0.065間取值時兩子系統同時呈現并穩定于簡單四邊形斑圖(圖5(e)),但隨耦合系數增大,系統形成正四邊形的圖形效果會逐漸降低;耦合系數大于0.065時系統只出現短暫的點狀斑圖,而未能形成穩定的Turing斑圖.其中耦合系數在0.025—0.04時,系統1中斑圖出現簡單斑圖到復雜斑圖以及簡單斑圖間的轉化(如圖6(a)—(e)所示),兩子系統會首先同時呈現簡單正四邊形斑圖(圖6(a));之后隨模擬時間增加系統2中相鄰斑點間開始融合,中間背景的面積增大,這種變化在子系統1中表現尤為明顯(圖6(1b));隨模擬時間的繼續增加,在系統1增大的背景區中心位置呈現新的斑點,此時系統斑圖的形狀開始變形(圖6(c));隨著背景區新生斑點的增多,系統逐漸失去正四邊形的形狀(圖6(d));經過一段時間從無序到有序的演化后系統2開始呈現簡單六邊形斑圖,系統1中復雜斑圖單元也向六邊形發展(圖6(e)所示);最終系統1穩定于超六邊斑圖,而系統2則穩定于簡單六邊形斑圖.從圖形隨耦合強度的變化可以看出:在耦合系數很小時失穩模對短波模的調控作用不明顯,兩系統相互作用較弱,系統斑圖未發生改變,隨著耦合強度的增大,失穩模對短波模的調控作用逐漸增強,兩系統相互作用增大,進而影響到系統所呈現斑圖;非線性模擬過程中失穩模對短波模的影響較線性耦合時更為明顯[20],且隨系統耦合系數增大,在高級Turing分岔與初級Turing分岔相鄰區域,系統斑圖可以自發地轉變.系統斑圖出現簡單斑圖向復雜斑圖以及簡單斑圖間的相互轉化,在介質阻擋放電實驗過程中通過逐步升高電壓的方法已實現[29,30].分析其原因,驅動電壓的升高使系統變量擴散濃度增大的同時,壁電荷斑圖與放電絲斑圖相互作用會隨之增強,兩子系統間的相互作用增強在模擬過程中可以類比成耦合系數的增大,這與模擬結果相符.

圖5 系統斑圖隨耦合強度的變化 Du1=6.5,Dv1=15.85,Du2=55.3,Dv2=147.5;(a)α=0,β=0;(b)α=0.001,β=0.001;(c)α=0.0375,β=0.0375;(d)α=0.019,β=0.019;(e)α=0.04,β=0.04

圖6 系統參數不變斑圖隨模擬時間自發轉變過程 Du1=6.5,Dv1=15.85,Du2=55.3,Dv2=147.5,α=β=0.0375;(a)t=236;(b)t=302.3;(c)t=312.1;(d)t=316.8;(e)t=323

從系統斑圖的轉變過程可以看出:短波模與失穩模產生共振耦合時,有新的失穩模形成,系統處于初級Turing分岔點附近時,由于系統對失穩模的選擇具有惟一性,耦合新產生的失穩模與原失穩模存在競爭,初始失穩模被取代時系統出現新的簡單斑圖;系統處于高級Turing分岔點附近時,新生失穩模與固有失穩模共存,由于失穩模具有兩個不同的波長,新生模與固有模間滿足三波共振從而子系統1中產生超六邊形復雜斑圖.參數不變情況下系統1由簡單正四邊形向超六邊形轉變,系統2由四邊形向六邊形轉變,證明系統在穩定外界條件下可以自發由初級分岔向高級分岔轉變,在轉變時系統的暫態平衡被打破,系統1中的耦合新生失穩模會與固有模形成三波共振,從而子系統1中形成復雜斑圖;系統2中由于固有模的對稱性高于新生模,系統斑圖向高對稱性轉變,因此固有失穩模會逐步取代新生模,從而斑圖由四邊形逐漸演化成簡單六邊形.

4 結論

通過利用雙層四變量反應擴散方程,研究了兩子系統在非線性耦合強度下Turing模間的相互作用以及復雜斑圖的生成機理.模擬結果表明子系統間的波數比值以及耦合強度的大小可以影響兩子系統波矢的共振狀態,兩子系統波矢發生共振耦合會有新的不穩定波矢產生,在高級分岔點附近由于不穩定模具有兩個或兩個以上不同的波長,且不同波矢間滿足三波共振關系,從而引起短波模子系統產生復雜斑圖.模擬過程中系統斑圖呈現出簡單正四邊形向六邊形以及超六邊形點陣斑圖轉化,這一結果從理論驗證了不同斑圖間可自發相互轉化的實驗結論.本文模擬結果為深入研究反應擴散系統超點陣復雜斑圖有重要的借鑒作用.

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