演繹推理的準確表述與另一類非演繹推理
——兼論數學證明中的推理

湯光霖

(中國礦業大學(北京) 理學院， 北京 100083)

演繹推理的準確表述與另一類非演繹推理
——兼論數學證明中的推理

湯光霖

(中國礦業大學(北京) 理學院， 北京 100083)

在數學推理中，除演繹推理外，尚存在另一類推理；也就是邏輯學中增加了從數學推理中揭示出的另一類推理; 并且對演繹推理的傳統表述進行了澄清，作出準確的表述。

演繹推理; 非演繹推理; 推理規則; 邏輯推論

引 論

討論數學推理，需要先對邏輯作簡單的回顧。命題是可判斷真、假的句子。從若干命題(前提)直接得出一個命題(結論)的思維過程稱為推理。演繹推理概念很早就有了，它的傳統表述有以下幾種：一、《中國大百科全書》哲學卷“推理”條中說“演繹推理的特點在于如果前提都是真，則結論必然是真”。二、在一些形式邏輯中的表述是：從一般性命題的前提推得特殊性的結論的推理稱為演繹推理。三、演繹推理就是由前提推出結論：如果前提真，則結論真。例如，在本文列舉的參考文獻[1]中，有這樣的表述：“由A1，……，An和A是任何命題，在演繹推理中，我們研究

1)由A1，……，An推出A

也就是

2)如果A1，……，An為真，則A真

是否成立的問題?！毖堇[推理與歸納類推理是傳統邏輯中的兩類基本推理。

一般均認為數學推理就是演繹推理。這是根據演繹推理傳統表述得出的結論。由邏輯史看，形成這種觀點是自然的，也是行之有效的。但在數理邏輯的發展過程中，隨著1930年哥德爾完備性定理及1936年塔爾斯基的邏輯推論概念出現之后，上述演繹推理傳統表述是否與數理邏輯中邏輯演算的形式定理一致便是一個問題。于是建立在演繹推理傳統表述上的數學推理傳統觀點也就成為問題。

本文在數學推理中，揭示出存在既不是與形式定理一致的傳統表述的演繹推理，不是歸納類推理的推理，但它的結論必真，故把它稱為結論必真的非演繹推理。從而對數學推理屬于演繹推理的傳統觀點進行反思，對數學推理得出了不同的結論; 并對演繹推理的傳統表述作了澄清，使澄清后的新表述與數理邏輯演算中的形式定理一致。這就是本文的主要內容。

應該說明，歸納類推理是結論具有或然性的非演繹推理，而結論必真的非演繹推理是與之不同的另一類非演繹推理。以下將結論必真的非演繹推理簡稱“非演繹推理?！?/p>

一、演繹推理的準確表述

為了澄清演繹推理的傳統表述，作為第一步，將演繹推理表述為：由前提中命題的邏輯性質推出結論；如果前提真，則結論必真。前提與結論都是特定命題。

設有方程

ax2+bx+c=o

(1)

令A表“(1)是二次方程”，B表“(1)有兩個根”。如果“設A，則B”(前提);則必有“設非B，則非A”(結論)。這是一個演繹推理，它是根據假言命題“如果p，那么q”的邏輯性質推導的，稱為假言易位推理。

若將演繹推理中A、B看成命題變元，便由演繹推理得到對應的推理規則。在哥德爾完備性定理證明中，有三個特定命題(見[1]331)構成的一個演繹推理(其結論便是該定理本身)對應推理規則: 設A則B且設非A則非C; 那么設C真，則B真。這個推理規則的生成方法與前一個推理規則相同。在形式邏輯中講述了多種特殊的演繹推理，它們各自都有自己對應的推理規則。由此可知，第一步表述的演繹推理均對應一個推理規則。推理規則的特點是：不論命題變元A、B、C被以何種方式賦以真值t或假值f，如果前提真，則結論必真。

運用邏輯聯結詞符號，例如將前一個推理規則的前提與結論符號化為數理邏輯中的合式公式A→B, ┑B→┑A，則凡賦值使A→B真，則必使┑B→┑A真。在數理邏輯中，把這種情況稱為后者是前者的邏輯推論，用符號“╞”表示：

A→B╞ ┑B→┑A

(2)

顯然，推理規則與對應的邏輯推論是等價的; 也就是邏輯推論反映了推理規則 (見[1]316)；反之，亦然。這里所說的反映關系對謂詞邏輯也是成立的。

根據命題邏輯的完備性定理 (見[1]324)，如果邏輯推論(2)成立，則必有形式定理

A→B┣ ┑B→┑A

(3)

成立。(3)中的邏輯符號“┣”表示：在數理邏輯自然推理系統的形式公理(有若干條)及形式推理規則(由A→B和A推出B)下,由符號“┣”左邊的合式公式序列,用形式推理,推出符號“┣”右邊的合式公式。

在命題邏輯中，上述第一步表述的演繹推理必有數理邏輯中的形式定理與之相對應，這就說明演繹推理的第一步表述與數理邏輯中的形式定理是一致的。

前面第一步表述的演繹推理需進一步明確,把演繹推理的傳統表述改成如下的新表述。如果由前提為真推出結論必真的特定推理必定對應一個推理規則，于是此特定推理稱為演繹推理。它的特征是：演繹推理必定對應一個推理規則并對應數理邏輯中的一個形式定理。因此新表述是演繹推理的準確表述。

一個謂詞演繹推理必定對應一個謂詞推理規則。根據前面所說的反映關系，此推理規則必對應一個邏輯推論；再根據哥德爾完備性定理(見[1]336)必有謂詞邏輯的形式定理與之相對應。因此，演繹推理的新表述與數理邏輯中的形式定理是一致的。

例如：一切自然數都有繼數，則不存在自然數沒有繼數。這個特定推理對應謂詞邏輯的推理規則：如果一切x具有性質A，則不存在個體x不具有性質A。(驗證從略)因此特定推理是謂詞邏輯中的演繹推理。規則中的x稱為個體，指稱個體對象；A稱為謂詞變元表示任意一種性質?？梢酝ㄟ^域S={自然數}對A給定賦值ф(ф表示性質“自然數有繼數”)說明特定推理是推理規則的特殊情況。將推理規則的前、后件符號化為合式公式

?xA(x)，┑?x┑A(x)

其中符號“?”表示“一切”、“全部”，“?”表示“至少存在一個”。根據前述反映論，推理規則對應邏輯推論。

?xA(x)╞ ┑?x┑A(x)

再根據哥德爾完備性定理，則有謂詞邏輯形式定理

?xA(x)┣ ┑?x┑A(x)

與之相對應。

完備性定理說明演繹推理在數理邏輯中必有形式定理與之相對應。但存在符合演繹推理傳統表述(一)、(三)的推理無數理邏輯的形式定理與之相對應(這在數學證明與非數學論證中都存在)。因此，演繹推理傳統表述與數理邏輯的完備性定理不一致，這說明演繹推理傳統表述存在問題，需要修改、澄清，而且這個工作本應在1930年G?del完備性定理及1936年塔爾斯基的邏輯推論定義發表之后就應該做。但數學與非數學卻仍然沿用傳統表述。沒有修改、澄清的原因很多，例如認為可靠性定理及完備性定理只是對數理邏輯系統本身的評價問題；形式邏輯中列舉的各種常用演繹推理都是一致的，即在數理邏輯中都有形式定理與之相對應，可能認為傳統表述已符合完備性定理的要求；又如數學發展并未因沿用傳統表述而發生困難；況且演繹推理的傳統表述歷史悠久，已為人們所習慣等。但沒有修改、澄清的真正原因是忽視了那些不易引起注意的簡單的與完備性定理不一致而又符合傳統表述的推理，或者是只把這類推理僅僅看作一般的簡單自明的論述不把它們看作推理。但按推理定義，它們確是推理。

完備性定理是在數理邏輯中用形式推理研究非形式的演繹推理得到的最重要的結論，演繹推理是應該遵守的。

3. 非數學推理舉例

例1 柯希第一定理 設函數f(x)是在閉區間[a、b]內定義著并且連續的，又在這區間的兩端點處取得異號的數值。則在a與b之間必能求出一點c，在這點處函數等于零：

f(c)=0,(alt;clt;b)。(摘編自[2])

茲將定理證明改寫如下，說明演繹推理及非演繹推理。為了確定起見，設f(a)lt;0,f(b)gt;0。

命題序列Ⅰ對應命題成立原因1．用中點m=(a+b)/2將區間[a，b]分成相等的兩半。1．從略2．f(m)與0有僅有下列三種情況之一：f(m)=0，f(m)lt;0，f(m)gt;0。2．根據實數性質，這是演繹推理結論，其對應的推理規則是：由A蘊含B及A推出B。3．設f(m)=0，則定理已證明。3．m是定理中要求的c，由命題2，僅用了不相容選言命題，便推出結論。推理不對應推理規則，這是非演繹推理。4．設f(m)≠0，f(m)與0有且僅有下列兩種情況之一：f(m)lt;0，f(m)gt;05．下列兩種情況有且僅有一種成立：f(a)lt;0，f(m)gt;0；f(m)lt;0，f(b)gt;0。4．根據命題2及假設，推得結論。此推理是互不相容選言推理，對應推理規則：設A或B，非A；則B。這是演繹推理。5．根據命題4及假設：f(a)lt;0，f(b)gt;0推得此結論。這是非演繹推理的結論。5．下列兩種情況有且僅有一種成立：f(a)lt;0，f(m)gt;0；f(m)lt;0，f(b)gt;0。5．根據命題4及假設：f(a)lt;0，f(b)gt;0推得此結論。這是非演繹推理的結論。6．m-a=(b-a)/2，b-m=(b-a)/2。6．根據等量代替原則：設a=b，則f(a)=f(b)。這是演繹推理的結論。7．存在閉區間[a1，b1]，且f(a1)lt;0，f(b1)gt;0，其中a≦a1，b1≦b；且b1-a1=(b-a)/2。7．由命題5的互不相容選言命題，必然存在[a1，b1]，并且f(a1)lt;0，f(b1)gt;0。推理不對應推理規則，這是非演繹推理的結論。最后等式推導同6，從略。

在命題序列I中，有一點值得注意，即數學方法需要用推理來實現。此處的二等分區間法就是由演繹推理及非演繹推理實現的。命題序列1、2、4、5、7(等式b1- a1=(b-a)/2除外)是一個推理，它的前提是1,2,4,5；結論是命題7(等式b1- a1=(b-a)/2除外)，而且最后的結論是非演繹推理的結論。這樣由若干個簡單的演繹推理與非演繹推理構成的推理可稱作整體思維的非演繹推理。它在非數學領域也是常用的。

命題序列Ⅱ對應命題成立原因1．存在閉區間[a1，b1]，其中f(a1)lt;0，f(b1)gt;0；a≦a1，b1≦b；b1-a1=(b-a)/2。1．由命題序列I得到。2．存在閉區間[a2，b2]，其中f(a2)lt;0，f(b2)gt;0；a1≦a2，b2≦b1；b2-a2=(b-a)/2?！璶．存在閉區間[an，bn]，其中f(an)lt;0，f(bn)gt;0；an-1≦an，bn≦bn-1；bn-an=(b-a)/2n?！Y論命題：存在內含閉區間[a1，b1]，[a2，b2]…[an，bn]…其中后一個閉區間包含在前一個之內，f(an)lt;0，f(bn)gt;0，并且有bn-an=(b-a)/2n→0。2．對[a1，b1]進行二等分區間法，當f(m1)≠0，m1=(a1+b1)/2……n．對[an-1，bn-1]進行二等分區間法，當f(mn-1)≠0，mn-1=(an-1+bn-1))/2……綜合以上無窮個命題得到的結

結論命題由命題序列II中前提的無窮個命題的內容之間的密切聯系經分析直接得到。由前提得到結論不對應推理規則，因而這個前提都真結論必真的推理不是演繹推理，而是非演繹推理。命題序列II的結論命題為區間套定理提供了條件，因此，可證得結論；在區間[a,b]內存在著一點c，滿足lim an=lim bn=c。以下討論從略。

例2 波萊爾預備定理 若閉區間[a,b]被一個開區間的無窮系Σ={σ}所遮蓋，則恒能從Σ里面選出有窮系Σ’={σ1,σ2, ……σn}，它同樣能遮蓋閉區間[a,b]。(摘編自[2])

證明：我們先考察區間[a,b]內具有那種性質的點x*，使得區間[a,x*]能用有窮個開區間σ來遮蓋。根據條件，點a位于某一個開區間σ內，則σ∩[a,b]中的點就都含在這σ內，因此，就都成為點x*≤b，于是就得到一個真命題A：點集{x*}是囿于上的，由此便聯想到已知的上確界定理，從而找到了演繹推理的前提。根據前提：上確界定理(即“設A則B”)及A，就可推得結論B：“sup{x*}=c≤b”。顯然，到此為止定理并未證明完畢，所以對結論B還要接著分析，還需證明“c也屬于點x*之列”，并且還要證明b=c，定理完畢。后兩步證明如下。

(1)證明“c也屬于點x*之列”。

命題序列Ⅱ對應命題成立原因1．c位于某一σ。之內。1．c∈[a，b]，并根據定理的條件，這是演繹推理的結論。2．在c之左且在σ0之內有x?存在。2．sup{x?}=c，并根據上確界的性質，是演繹推理的結論。3．在Σ中存在有窮個開區間σ1，σ2……σn遮蓋[a，x?]。3．根據x?的定義，是演繹推理的結論。4．此有窮個σ1，σ2……σn，σ0遮蓋[a，c]。4．x?及c均在σ0之內，[x?，c]被σ0遮蓋，結論是由前提中命題的內容相互聯系經分析得到。

根據x*的定義，由命題4因此c屬于x*之列。這是演繹推理的結果。命題4是根據x*的定義進行這個演繹推理的前提。

這個命題序列所表達的推理是根據命題1,2,3的內容之間的聯系進行分析得到命題4，由前提得到結論不對應推理規則，因此，命題序列所表達的推理不是演繹推理，而是非演繹推理。此非演繹推理的結論即命題4是為下一步演繹推理提供前提。

既然由前提為真推得的結論必真，為什么推理不對應推理規則呢？原因如下：命題序列(一)中的命題1,2,3,4都是原子命題(即命題內不含邏輯聯接詞。原子命題也稱作簡單命題)，分別以命題符號A、B、C、D表之，于是由命題1,2,3推出命題4可看作由A，B，C推出D?，F將A，B，C，D看作命題變元，當前提A，B，C都真，由于D不在前中出現，D不受A，B，C約束，D可真可假。按推理規則概念，前件A，B，C與后件D構不成推理規則。進一步言之，若以A，B，C與邏輯聯接詞組成任何命題A1，A2，…，An構成前件，當前件為真，由于前述同樣理由，也不能推出D必真。因此，可以斷定由命題1,2,3推出結論命題4不對應推理規則，所以由命題序列 (一)表達的推理不是演繹推理而是非演繹推理。

一般言之，將前提為真結論必真的特定推理符號化，如果或對域S={t，f}，或對個體域S的某一集合，存在一特定賦值，使符號化后的前件為真，后件為假；根據推理規則概念，前、后件構不成推理規則，則該特定推理不對應推理規則，從而確定該特定推理不是演繹推理，而是非演繹推理。

關于非演繹推理應注意兩點：第一，推導過程(即命題序列及其成立的原因)不能有遺漏或省略，推導必須是完整、嚴格的。否則，能把原本是演繹推理變成“非演繹推理”；第二，不能根據已得到的推理，編造一個不是已知的定理或定義，作為所得到的推理的“大前提”。以免將原本是非演繹推理變成“演繹推理”。以上是就最常用的推理規則：如果“設A則B真及A真，則B真”而言的。

(2)證明b=c

命題序列對應命題成立原因已知sup{x?}=c≤b。設b≠c，1．clt;b2．c位于某一σ0之內3．在c之右且在σ0∩[a，b]之內取一點x4．存在有窮個開區間σ1，σ2……，σn 遮蓋[a，c]。5．此有窮個開區間σ1，σ2……，σn，σ0便遮蓋[a，x]。1．因c≤b，又設b≠c。這是互不相容選言推理的結論，即演繹推理的結論。2．c∈[a，b]，根據定理的條件，是演繹推理的結論。3．σ0∩[a，b]不空。4．由(一)，已知c屬于x?之列，根據x?定義，這是演繹推理的結論。5．c與x均在σ0之內。

這個命題序列所表達的推理是根據命題1,2,3,4的內容之間的聯系進行分析得到結論命題5，由前提得到結論不對應推理規則，因此由命題序列所表達的推理不是演繹推理，而是非演繹推理。根據x*的定義，由命題5，所以x也屬于x*之列，這是演繹推理的結論。命題5是這個演繹推理的前提。由于xgt;c，根據上確界的定義，c不能是點集{x*}的上確界，從而產生矛盾。因此，開始的假設b≠c不成立，因此，b=c。

例3 有頂點連接圖如下

已知：命題1、2、3、4

1.頂點A與頂點2有一條實線連接。

2.虛線表示兩頂點之間不能有實線連接。

3.上排頂點與下排頂點之間有且只有一條實線連接。

4.按頂點ABC順序用實線連接。

5.根據已知條件命題1.2.3.4必然推出頂點B與頂點3有實線連接。

6.根據命題1.3.5必然推出頂點C與頂1有實線連接。

由命題1.2.3.4必然推出命題5(即由圖1推出圖2)，這一步推理由前提到結論不對應推理規則，因此，這是非演繹推理。由命題1.3.5必然推出命題6(即由圖2推出圖3)同樣是非演繹推理。因此，由條件命題1.2.3.4用非演繹推理推出上排、下排頂點之間的最大匹配實線連接圖，這是一個極簡單的圖論問題，屬于“二分圖的匹配”。(本問題摘編自圖論教材。A，B，C表示三個球隊，1,2,3表示競賽名次。)

圖1

圖2

圖3

以上3例是從數學推理中揭示出的非演繹推理(即結論必真的非演繹推理)；其實，它在非數學領域也是常見的，下面舉出兩例。

例1 小心誤診

下面的命題序列是根據媒體報導稿編寫的。

命題序列

1.某地每年有1.2萬人死于醫生誤診及醫療事故。

2.該地每年有150人死于槍擊事件。

3.該地人死于醫生誤診及醫療事故的危險高于槍擊事件的危險。

這是一個推理。如果統計無誤，命題1、2、是真命題。由命題1、2的內容對比分析，很自然地得出命題3為真的這個結論。由前提一次推出結論并且具有“簡單、直觀、自明”的特點。前提中不包含、推導過程不根據任何定理、定義、公式、定律、原理、原則等，因此，這個推理不對應推理規則，因此，它是非演繹推理?？蓱美?中說明推理不對應推理規則方法進行驗證。

例2 科學技術問題

本例內容是摘自論文《科技是第一生產力和新產業革命》，作者為錢學敏等五人，原載于1991年12月28日《科技日報》。

現摘錄一段論文原文如下，其中(1)，(2)，(3)，(4)是本文作者加進的。

…“(1)認識客觀世界的革命，是科學革命。(2)科學革命是技術革命的先導。(3)科學革命，技術革命，最終要引起生產力革命，并進而導致產業革命。(4)所以在今天，科學技術是第一生產力?！?/p>

這一段論述是一個推理，準確地說，這是一個非演繹推理，茲說明如下。(1)，(2)是真命題，以(1)，(2)為前提必然得到結論(3)，這是一個非演繹推理。以(3)為前提必然得到結論(4)，這同樣是一個非演繹推理；而且這是得到最后結論的非演繹推理，所以，以(1)，(2)，(3)為前提，以(4)為結論的推理是整體思維的非演繹推理。

4.非演繹推理的概念及推理形式

1.根據本文第3節的例證，總結出結論必真的非演繹推理概念如下:

(1)由若干個真命題為前提，由其內容之間的密切聯系與相互關聯進行分析，必推出一個真命題作為結論。

(2)推理不對應推理規則。

2.推理形式：非演繹推理概念中的(1)可具體化為下列兩種推理形式。

(1)基本推理形式

基本推理形式是最簡單的非演繹推理，它由一個或幾個真命題作為前提，必然一次直接推出一個真命題作為結論。一般言之，此類推理具有簡單、直接、自明的特點。

根據上節提供的例證，基本推理形式有下列幾種：

1)設A則B形式，例如非數學領域的例2中由(3)推出(4)。

2)由兩個或兩個以上的若干個真命題必然一次推出一個真命題作為結論形式。例如第3節中的例2，由(一)的命題序列中命題1，2，3推出命題4。

3)由任意大的n個真命題必然一次推出真命題作為結論命題形式。例如第3節例1中的命題序列II。

(2)整體思維的非演繹推理形式

參見第3節例 1中的命題序列I下面的說明。

(3)非演繹推理的判斷方法

按演繹推理的新定義，如果一個前提為真結論必真的特定推理不對應推理規則，則此特定推理是非演繹推理，至于為何不對應推理規則，可參閱第3節例2的(一)之下的論述。

5．結束語 現在把常用的推理表列如下：

一般的常用推理

注：根據演繹推理的新定義及完全歸納法的結論必真，完全歸納法應屬于結論必真的非演繹推理。

顯然，傳統表述的演繹推理被分為新定義的演繹推理與結論必真的非演繹推理。為什么要分？根據就是數理邏輯中的完備性定理；不僅如此，這兩類推理從前提推出結論的方法也不同。茲說明如下：結論必真的非演繹推理由前提推出結論是根據前提中真命題的內容之間密切聯系經分析推出結論；而且前提常是由一個或幾個真命題開始推出新的真命題作為前提，如此遞增，推出結論，例如第3節中的例2。新定義的演繹推理是由前提推出結論；如果前提真，則結論必真。其中推導是根據前提中各種命題如“選言命題”,“假言命題”等的邏輯性，以及形式邏輯中的三個定律。因此，傳統表述的演繹推理本身存在問題；它既包含非形式推理又包含形式推理。

引論中的演繹推理的傳統表述(2)不能表達演繹推理的一般概念，它只是相當于“假言推理”的肯定前件式的推理形式。

總結以上論述，本文提出了三個基本觀點：一是符合數理邏輯的完備性定理的演繹推理新定義；二是存在一類新的一般的常用推理，即“結論必真的非演繹推理”；三是在數學證明中不僅僅是演繹推理，另外還有結論必真的非演繹推理。

[1] 胡世華，陸鐘萬數理邏輯基礎[M]. 北京 科學出版社，1982.

[2] Г.M菲赫金哥爾茨. 微積分教程：第一卷. [M]. 北京 人民出版社，1995.

[3] 中國大百科全書：哲學卷[Z]. 北京.上海 中國大百科全出版社，1987.

[4] 張景中.數學與哲學[M].北京：中國少年兒童出版社，2003.

[5] 黃華新，王繼同.新邏輯學[M]. 浙江大學出版社，1989.

[6] 楊樹森.普通邏輯學[M].安徽師范大學出版社，2001.

Exactexpressionofdeductiveinferenceandanothernon-deductiveinference

TANG Guang-lin

(China university of mining amp; technology, Beijing 100083,China)

In the mathematical inference, there still exists a new inference except the deductive inference, that is to say, the mathematical inference is not only the deductive inference, but also a new inference discovered in mathematics that is added into logic. Also, this study clarifies the tranditional expression of the deductive inference, and defines an exact expression.

Deductive inference; Non-deductive inference; Inference rule; Logical deduction

O143

A

1009-105X(2013)03-0020-06

2013-02-20

2013-05-13

湯光霖(1922-)，男，中國礦業大學(北京)數學系教授。