極小素子模及其拓撲性質

張國印

(金陵科技學院公共基礎課部，江蘇 南京 211169)

本文假定所涉及到的環都是帶單位元的結合環,模都是酉模。一個環R的左純理想(理想)P被稱為是素左理想[1](素理想),如果a,b∈R且aRb?P,則a∈P或b∈P。設M是左R-模,M的左零化子記作M⊥={r∈R|rM=0},因此(M/N)⊥={r∈R|rM?N},其中N是M的子模。本文用Spec(R)、Max(R)分別表示R的所有素理想的集合、所有極大理想的集合。

設M是左R-模且K是M的純子模,如果滿足rRm?K,m∈M,r∈R,則r∈(M/K)⊥或m∈K,則稱K是M的素子模[2]。M的極大子模是素子模。顯然,環R的素左理想、素理想都是R作為左模RR的素子模。用Specl(M)、Maxl(M)、Minspecl(M)分別表示左R-模M的所有素子模的集合、所有極大子模的集合、所有極小素子模的集合。設R是任意環,M是左R-模,如果對任意M的子模N,都存在R的理想I,使得N=IM,則稱M是左乘法R-模[3]。關于乘法模的研究見文獻[4-6]。本文證明(見命題1.5):如果M是左乘法R-模,對任意Q∈Max(R)且Q?M⊥,都有QM≠M,則:M一定存在極大子模和極小素子模,且極大子?？杀硎緸?Max(M)={QM|Q∈Max(R),Q?M⊥};進一步若M是交換環R上的乘法模,則極小素子模與極小素理想的關系為:Minspec(M)={PM|P?M⊥,(P/M⊥)∈Minspec(R/M⊥)},且其所有素子?？杀硎緸?Specl(M)={PM|P∈Spec(R),P?M⊥}。

設M是左R-模,N是M的子模,Ul(N)表示所有不包含N的M的素子模的集合,且Vl(N)=Specl(M)Ul(N)。顯然Ul(0)=?,Ul(M)=Specl(M),文獻[2]給出了如下定義:對左R-模M,如果對任意M的子模L1,L2,都存在M的子模N,使得Ul(L1)∩Ul(L2)=Ul(N),則稱M是拓撲模。關于拓撲模的研究見文獻[2,7-8]。

稱作f:X→Y是保核收縮映射(其中X是拓撲空間且Y?X),如果f是連續映射,且f|Y是恒等映射,也稱作Y是X的保核收縮(Retraction)。Demarco與Orsatti在文獻[9]中表明如果R是交換環R,則Spec(R)是正規的拓撲空間的充分必要條件是Max(R)是Spec(R)的保核收縮。本文將此結果推廣到非交換環上的左拓撲R-模M上(見定理2.3):如果左R-模M是有限生成的拓撲模,則Maxl(M)∪Minspecl(M)是正規的拓撲空間的充分必要條件是Maxl(M)是Maxl(M)∪Minspecl(M)的保核收縮且Maxl(M)是Hausdorff空間。關于環、模的一系列拓撲性質的研究見文獻[1,2,5,7-12]。

1 極小素子模

引理1.1對任意環R,M是左R-模且Specl(M)≠?,則任意M的素子模都包含有極小素子模。

命題1.2如果R是環且M是有限生成的左R-模,則M一定存在極小素子模。

R是環,M是左R-模,N是M的子模,定義(M/N)⊥為子模N的左乘理想,記作Il(N),即Il(N)=(M/N)⊥。特別是對M的任意元素m,Rm的左乘理想簡稱為元素m的左乘理想,記作Il(m),即Il(m)=Il(Rm)=(M/Rm)⊥。如果M是左乘法R-模,對M的子模N,一定有N=(M/N)⊥M=Il(N)M。理由如下:M的子模N,一定有R的理想I,使得N=IM,顯然I?(M/N)⊥,因此N=IM?(M/N)⊥M?N。環R稱作左quasi-duo環[13]如果每一個左極大理想是雙邊理想。

命題1.3如果R是左quasi-duo環,M是非零的左乘法R-模,且對R的任意極大理想Q和M的任意元素m的左乘理想Il(m)滿足QIi(m)=Ii(m)Q,則它一定存在極小素子模。

證明下邊只要證明非零乘法左R-模M一定包含一個極大子模,而極大子模一定是素子模,然后Specl(M)≠?,根據引理1.1,該命題即可證明。

設N是非零左乘法R-模M的一個純子模,則M/N也是非零左乘法R-模。設m∈M且m≠0,則l(m)={a∈R|am=0}是一個純左理想,因此l(m)一定包含在某極大左理想Q中。又因R是左quasi-duo環,因此Q是極大理想。因M是左乘法R-模,故對m的左乘理想I=Il(m),一定有Rm=IM。反設M=QM,由命題條件知Rm=IM=I(QM)=Q(IM)=QRm=Qm,因此存在元素b∈Q,使得m=bm,即(1-b)m=0,因此1-b∈l(m)?Q,顯然b,1-b不能同時屬于極大理想Q中,這是矛盾的。因此M≠QM。下證明QM是M的極大子模。假設存在M的一個子模N滿足QM?N?M且N≠M,由M是乘法模條件知,則一定存在R的理想J,使得N=JM,記作(M/N)⊥=P,顯然J?P,N=JM?PM?N,因此JM=PM=N。又因且QM?N?M,則Q?(M/N)⊥=P,因此Q=P,進而N=QM,因此QM是M的極大子模。 證畢。

由命題1.3直接可得,交換環上乘法模一定存在極小子模。關于交換環上乘法模的研究見文獻[5-6]。

推論1.4如果R是交換環,且M是非零乘法R-模,則它一定存在極小素子模。

如果R是環且M是左R-模,如果存在Q∈Max(R)且Q?M⊥,有QM≠M,則(M/QM)⊥=Q,由文獻[13]引理1.3知,QM一定是素子模,即有Specl(M)≠?,進而由引理1.1知,Minspecl(M)≠?。

命題1.5如果R是環且M是左乘法R-模,對任意Q∈Max(R)且Q?M⊥,都有QM≠M,則:

1)M一定存在極大子模,且Max(M)={QM|Q∈Max(R),Q?M⊥};

2)M一定存在極小素子模;

3) 如果R是交換環,則Spec(M)={PM|P∈Spec(R),P?M⊥};

4) 如果R是交換環,則有:

Minspec(M)={PM|P?M⊥,(P/M⊥)∈Minspec(R/M⊥)}。

前邊已證明M存在極大左R-子模,對任意H∈Maxl(M)≠?,由于M是左乘法R-模,記(M/H)⊥=Q?M⊥,則H=QM。如果Q?Q1且Q1∈Max(R),則H=QM?Q1M≠M,因此H=QM=Q1M,因而Q1?(M/H)⊥=Q,因此Q=Q1,有Maxl(M)?{QM|Q∈Max(R),Q?M⊥}。反過來對任意Q∈Max(R),且Q?M⊥,下證明QM(≠M)是左極大子模。若存在H∈Maxl(M)使得QM?H,令Q1=(M/H)⊥?M⊥,則Q1≠R,Q?Q1,因此Q=Q1,進而有QM=Q1M=H∈Maxl(M),即{QM|Q∈Max(R),Q?M⊥}?Maxl(M)。綜合上述有Maxl(M)={QM|Q∈Max(R),Q?M⊥}。

2) 以上1)中已經證明M一定存在極大左R-子模,而每一個極大左R-子模都是左素子模,因此Specl(M)≠?,然后根據引理1.1知它一定存在極小素子模。

3) 如果R是交換環,由文獻[6]的推論2.11知,R-模M的一個純的子模N是素子模,當且僅當(M/N)⊥是素理想,當且僅當存在R的素理想P?M⊥,使得N=PM。?):如果N是R-模M的素子模,則(M/N)⊥=P是R的素理想且N=PM≠M。?):任意P∈Spec(R),P?M⊥,則存在極大子模Q?P,使得M?QM?PM,且M≠QM,因此,由文獻[6]的推論2.11知,PM是R-模M的一個純的子模,因此PM是M的素子模。

4) 文獻[6]中有結果:N是極小素子模的充分必要條件是存在素理想P?M⊥且(P/M⊥)∈Minspec(R/M⊥),使得N=PM≠M,因此Minspec(M)?{PM|P?M⊥,(P/M⊥)∈Minspec(R/M⊥)};反過來,任取P?M⊥,(P/M⊥)∈Minspec(R/M⊥),則存在極大子模Q?P,使得M?QM?PM,且M≠QM,故PM是R-模M的一個純的子模,進而有:{PM|P?M⊥,(P/M⊥)∈Minspec(R/M⊥)}?Minspec(M)。證畢。

Lu(1995,定理6)[14]表明:如果R是交換環且M是有限生成的乘法R-模,則映射ψ:Spec(M)→Spec(R/M⊥)是一一映射,且對任意K∈Spec(M),ψ(K)=(M/K)⊥/M⊥,因此對任意Q∈Max(R)且Q?M⊥,都有唯一的素子模K,使得(M/K)⊥=Q,因而由K=QM是素子模知QM≠M。從而直接由命題1.5可得兩個限制映射:

ψ|Max(M):Max(M)→Max(R/M⊥)與ψ|Minspec(M):Minspec(M)→Minspec(R/M⊥)也是一一映射,且有如下結果。

推論1.6如果R是交換環且M是有限生成的乘法R-模,則有1) 對任意Q∈Max(R)且Q?M⊥,都有QM≠M;2)Max(M)={QM|Q∈Max(R),Q?M⊥};3)Spec(M)={PM|P∈Spec(R),P?M⊥};4)Minspec(M)={PM|P?M⊥,(P/M⊥)∈Minspec(R/M⊥)}。

2 極小素譜的拓撲性質

稱作左R-模M是pm模[2,5],如果M的任意純子模都包含在一個極大子模之中,且M的任意素子模都包含在唯一的一個極大子模之中。

命題2.1如果左R-模M的任意純子模都包含在一個極大子模之中,則M是pm模當且僅當M的任意極小素子模都包含在唯一的一個極大子模之中。

證明:?):顯然。?):如果左R-模M的任意純子模都包含在一個極大子模之中,則Specl(M)≠?。任取K∈Specl(M),由引理1.1知,每一個素子模都包含一個極小素子模,不妨設K0∈Minspecl(M),使得K?K0,又因K0包含在唯一的一個極大子模之中,從而K必包含在唯一的一個極大子模之中。 證畢。

命題2.2如果左R-模M是拓撲模，M的任意純子模都包含在一個極大子模之中,且Maxl(M)是Maxl(M)∪Minspecl(M)的保核收縮,則M是pm模。

定理2.3如果R是任意帶單位元的結合環,左R-模M是有限生成的拓撲模,則Maxl(M)∪Minspecl(M)是正規的拓撲空間的充分必要條件是Maxl(M)是Maxl(M)∪Minspecl(M)的保核收縮且Maxl(M)是Hausdorff空間。

證明由于R-模M是有限生成的,由命題1.2知,M的極大子模與極小子模都存在。由于左R-模M是拓撲模,故Specl(M)上定義了Zariski拓撲,因而Maxl(M),Minspecl(M),Maxl(M)∪Minspecl(M)上都有相應的誘導拓撲或相對拓撲。根據文獻[8]知,Maxl(M)是緊致的拓撲空間。

?):如果Maxl(M)∪Minspecl(M)是正規的拓撲空間,任取兩個不相等的極大理想H1,H2,{H1},{H2}是兩個不相等閉集,存在兩個互不相交的Maxl(M)的開集,分別包含{H1},{H2},故Maxl(M)是Hausdorff空間。

對M的子模N1,N2,容易驗證如下三條件等價:1)N1+N2=M;2)Vl(N1)∩Vl(N2)∩[Maxl(M)∪Minspecl(M)]=?;3)Vl(N1)∩[Maxl(M)∪Minspecl(M)]?Ul(N2)∩[Maxl(M)∪Minspecl(M)]。

Maxl(M)∪Minspecl(M)是正規的拓撲空間,即:如果兩不相交閉集Vl(N1)∩Vl(N2)∩[Maxl(M)∪Minspecl(M)]=?,一定存在兩個不相交的開集Ul(L1)∩Ul(L2)∩[Maxl(M)∪Minspecl(M)]=?,使得Vl(Ni)∩[Maxl(M)∪Minspecl(M)]?Ul(Li)∩[Maxl(M)∪Minspecl(M)],i=1,2。因此,Maxl(M)∪Minspecl(M)是正規的拓撲空間,當且僅當,對左R-模M的子模N1,N2,如果N1+N2=M,則一定存在M的子模L1,L2,使得Ni+Li=M,i=1,2,且Ul(L1)∩Ul(L2)∩[Maxl(M)∪Minspecl(M)]=?。

對K∈Maxl(M)∪Minspecl(M),定義集合AK表示所有滿足N+K=M的M的子模N的集合,則AK有如下性質(1)如果N1∈AK且N1?N2,則N2∈AK;性質(2)如果N1+N2∈AK,則N1∈AK或者N2∈AK;這是因為N1+N2∈AK,即(N1+N2)+K=M=N1+(N2+K),由于Maxl(M)∪Minspecl(M)是正規的拓撲空間,則一定存在M的子模L1,L2,使得N1+L1=M,(N2+K)+L2=M且Ul(L1)∩Ul(L2)∩[Maxl(M)∪Minspecl(M)]=?,若H∈Maxl(M)∪Minspecl(M),則H?L1或H?L2。因此對于上邊的K,K?L1或者K?L2,進而N1+K=M或(N2+K)+K=N2+K=M,所以N1∈AK或者N2∈AK。

?):如果映射f:Maxl(M)∪Minspecl(M)→Maxl(M)是保核收縮映射,由命題2.2知,M是pm左R-模,對任意K∈Maxl(M)∪Minspecl(M),f(K)=H∈Maxl(M),H是唯一包含K的M的極大子模(看命題2.2的證明過程知)。對任意閉集Vl(N)∩[Maxl(M)∪Minspecl(M)],其中N是R-模M的子模,則有f{Vl(N)∩[Maxl(M)∪Minspecl(M)]}=Vl(N)∩Maxl(M)。如果B1,B2是Maxl(M)∪Minspecl(M)的兩個閉集且B1∩B2=?,由于Maxl(M)是緊致的Hausdorff空間,由文獻[15]的定理5.9知,Maxl(M)是正規的,因此對不相交的兩個閉集B1∩Maxl(M),B2∩Maxl(M),必存在不相交的兩個開集U1,U2,使得B1∩Maxl(M)?U1,B2∩Maxl(M)?U2,因此f-1(U1),f-1(U2)是兩個不相交的開集且B1?f-1(U1),B2?f-1(U2),因此Maxl(M)∪Minspecl(M)是正規的拓撲空間。 證畢。

左乘法R-模一定是拓撲模,見文獻[3],因此直接可得如下結論。

推論2.4如果左R-模M是有限生成的乘法模,則Maxl(M)∪Minspecl(M)是正規的充分必要條件是Maxl(M)是Maxl(M)∪Minspecl(M)的保核收縮且Maxl(M)是Hausdorff空間。

3 結 語

對于存在素子模的左R-模M,盡管Maxl(M)∪Minspecl(M)?Specl(M),但∩{K∈Maxl(M)∪Minspecl(M)}=∩{K∈Specl(M)}都等于模M的素根,因此對拓撲?；虺朔Ｉ贤負淇臻gMaxl(M)∪Minspecl(M)與Specl(M)的拓撲性質(如正規性、連通性、譜空間性等)的比較研究,及其這些拓撲性質與模的性質的關系等,都有待進一步研究。

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