城市軌道交通客流增長滯后性與預測方法研究

陳小鴻 王 翔 李 佳

(同濟大學道路與交通工程教育部重點實驗室，201804，上?！蔚谝蛔髡?，教授)

在我國，對于城市軌道交通客流總量的預測通常采用時間序列數據來預測，如采用逐步回歸、多元線性回歸等方法［1］。然而，在實際應用過程中經常會出現預測失準的情況。其主要原因如下:

(1)謬誤回歸。在傳統回歸分析方法中普遍應用最小二乘法來估計參數。該方法要求隨機誤差項數學期望為0，方差為定值。然而，多數社會經濟時間序列數據具有非平穩性，即隨機誤差項數學期望與方差隨時間變化，不滿足統計方法的前提要求，因此，易導致變量間原本不存在因果關系，卻得到顯著統計關系的錯誤結論，即謬誤回歸。

(2)滯后性考慮不足。上海軌道交通網絡的不斷建設促使軌道交通客流加快增長，此階段軌道交通客流對于軌道交通網絡建設具有滯后性［2］，即當期軌道交通客流變化主要由前期的軌道交通建設造成。傳統回歸分析方法僅關注變量間當期的影響，而對影響的滯后性考慮不足。

協整理論(co-integration theory)是處理非平穩時間序列的有效方法。若多個非平穩時間序列通過某種線性組合能消除序列之間的隨機趨勢，則這些序列存在協整關系。協整關系的檢驗是避免謬誤回歸的預檢驗［3］?；趨f整理論的向量自回歸(VAR)模型將內生變量的滯后項作為解釋變量，能夠體現自變量與因變量的歷史變化對于當期因變量的影響。目前，協整理論在社會經濟研究中已有廣泛應用。文獻［4］就貨運周轉量與工業生產指數、石油價格之間是否存在協整關系進行了分析;文獻［5］利用協整理論分析了價格、競爭策略對于機場客流的影響。

上海軌道交通客流呈指數型增長，其時間序列具有非平穩性。協整理論能篩選出對于客流增長具有因果關系的影響因素，避免繆誤回歸的發生;同時，能體現這些因素的歷史變化對于當期客流的影響。本文基于協整理論分析上海軌道交通建設對于軌道交通客流的影響;研究客流增長滯后于軌道交通建設的現象;最后利用VAR 模型進行客流預測，并解釋誤差增大的原因。

1 協整分析方法

1.1 平穩性檢驗

平穩性檢驗是協整檢驗的前提，只有同階單整序列才可能具備協整關系。本文中討論的平穩性為弱平穩，即時間序列數據的期望(E)、方差(Var)和協方差(Cov)不隨時間變化。若時間序列{Yt}對于所有時間 t 滿足 E(Yt)=μ，Var(Yt)=σ2為不變常數，Cov(Yt，Yt-j)=c 不依賴時間t 而僅依賴滯后期j 時，則時間序列{Yt}平穩，為零階單整序列。

具有單位根的時間序列為非平穩序列。通常選擇增廣迪基—富勒(ADF)檢驗法對變量進行單位根檢驗，滯后階數由 AIC (Akaike Information Criterion)和SC (Schwartz Criterion)最小準則確定。原假設H0，表示序列具有單位根，非平穩;備選假設H1，表示序列沒有單位根，平穩。

ADF 檢驗估計由如下回歸構成:

式中:

εt——白噪聲誤差項;

ΔYt——一階差分序列，即 ΔYt=Yt-Yt-1;

m——滯后階數;

α、β、δ——估計參數，若 δ 顯著為零，則時間序列平穩。

1.2 協整檢驗

若多個非平穩序列具有協整關系，則可通過這些序列的某種線性組合形成平穩序列?；诨貧w系數的Johansen 極大似然法是目前經濟學研究中常用的多變量協整關系的分析方法，其能得到所有變量之間協整關系的個數與協整方程的估計結果。Johansen 檢驗是基于向量自回歸(VAR)模型的檢驗方法，原假設H0，表示有0 個協整關系;備選假設H1，表示有M 個協整關系。檢驗方法通常采用關于系數矩陣協整似然比(RLM)檢驗法:

式中:

M——協整關系個數;

λi——按由大到小排列的第i 個特征值;

n——樣本容量;

N'——變量個數。

當RLM大于臨界值時，則存在M 個協整關系。

1.3 向量自回歸模型

VAR 模型反映多個變量之間的動態互動關系。在VAR 模型中，因變量由其自身的滯后項與自變量的滯后項來解釋。由非平穩時間序列建立VAR 模型，首先需通過協整檢驗以保證因變量與自變量之間具備因果關系，否則VAR 模型無邏輯意義;此外，VAR 模型需進行穩定性檢驗，當VAR 模型所有特征根的絕對值小于1 時，模型穩定收斂。

滯后期為2 的雙變量VAR 模型形式如下:

式中:

yt，xt——具有協整關系的非平穩序列;

εyt，εxt——不相關的白噪聲擾動項;

C1，C2——常數項;

b，g——各滯后項系數。

2 城市軌道交通數據處理

2.1 數據說明

本文使用上海市1996—2010年城市軌道交通客流數據和網絡建設發展數據，來源包括《上海統計年鑒》、《上海綜合交通年報》與《上海第四次綜合交通調查總報告》。

文獻［6］將城市軌道交通客流的影響因素分為社會經濟、城市道路公交系統與城市軌道交通系統3大類。其中，城市軌道交通系統的影響最為顯著?？蛇_性好、可靠性強的城市軌道交通網絡將促進客流的快速增長［7-8］。本文重點分析城市軌道交通客流相對于網絡規模與結構變化的滯后性。選擇變量如下。

(1)城市軌道交通網絡規模方面有:

L——網絡長度，所有線路長度總和(共線段僅計算1 次);

N——站點數，網絡所有站點數量;

A——弧段數，網絡所有相鄰站點之間的連接弧段數;

Cr——網絡閉環數，網絡中閉合環的數量，Cr=A-N+1。

(2)城市軌道網絡結構方面有:

S——平均站點間距，反映網絡建設更注重高區域覆蓋(短間距)還是高運營速度(長間距)，S =L/A。

R——網絡成環率，網絡實際環數除以最大可能環數(最大可能環為2N-5)，成環率越高則乘客可選路徑越多，R=(A-N+1)/(2N-5)。

P——網絡復雜度，P =A/N，最小值為 0.5，此時網絡僅有2 個站點和1 條連接弧段;隨站點和弧段的增加，P 逐漸逼近1;當閉合網絡中存在交叉連接時 P ＞1。

C——網絡連接度，網絡實際弧段除以最大可能弧段(最大可能弧段為3(N-2));網絡連接度較差，則乘客在出行過程中易發生繞行，無效出行比例增加;C=A/(3N-6)。

2.2 數據處理與檢驗

(1)城市軌道交通線路開通運營時間修正。上海部分軌道交通線路正式開通運營時間位于年末，如3號線“上海南站—江灣鎮”段與“江灣鎮—江楊北路”段分別在2000年、2006年的12月開通。線路開通后短期內客流培育不完全，因此不能以開通當年的建設情況進行分析。本文將年末11、12月開通運營的線路計入下一年。

(2)對數處理。上海軌道交通客流(V)具有指數增長趨勢，為降低時間序列數據中存在的異方差影響，將各項指標取對數(在字母名稱前加ln 表示)。

3 城市軌道交通客流協整分析

3.1 平穩性檢驗

利用EVIEWS 軟件，采用ADF 檢驗法判斷序列平穩性。當t 檢驗值的絕對值大于5%臨界值時，拒絕原假設。各變量原序列與一階差分序列檢驗結果見表1。

表1 ADF 法單位根檢驗結果

上海軌道交通客流(lnV)原序列非平穩而一階差分序列平穩，為一階單整序列。只有同階單整序列才可能存在協整關系。根據單位根檢驗結果，城市軌道交通網絡里程(lnL)、站點數(lnN)、弧段數(lnA)、站間距(lnS)、連接度(lnC)為一階單整序列，可能與客流(lnV)存在協整關系。

3.2 協整檢驗

利用Johansen 檢驗變量是否與城市軌道交通客流量存在協整關系，當LR 檢驗值的絕對值大于5%臨界值時拒絕原假設。檢驗結果見表2。

表2 Johansen 檢驗結果

上海城市軌道交通客流(lnV)與網絡長度(lnL)、網絡連接度(lnC)分別存在1 個協整關系。協整方程系數標準化后，結果見表3。

表3 協整方程表達式

1996—2010年，上海城市軌道交通網絡長度每提高1%，客流量提高0.924%;連接度每提高1%，客流量提高42.65%，同時，年份每增加1年(從1997年開始)，客流量再提高0.613%。網絡連接度的改善比長度的增長對于吸引客流具有更好的效果。在城市軌道交通網絡規劃階段需注重網絡結構設計，保證網絡連通性，以提高對客流的吸引力。

4 城市軌道交通客流增長滯后性

4.1 城市軌道交通發展情況

1996—2010年上海城市軌道交通客流與網絡長度、連接度的變化關系如圖1、圖2所示。

上海城市軌道交通網絡建設進入快速發展期，長度年均增長24.3%;同時客流規模不斷膨脹，年均增長26.3%(見圖1)。上海軌道交通網絡連接度經歷了先減小后增加的過程(見圖2)，2001年與2010年網絡連接度大幅提高，主要是由于:2000年12月的3號線開通使得上海軌道交通網絡擁有半個環形線路;2009年末正式開通運營的9號線二期以及2010年上半年的7號線一期與10號線在已成環的4號線內交織成網。環線與環內網絡的形成提高了網絡連接度。

圖1 城市軌道交通客流量與網絡長度的關系

圖2 城市軌道交通客流量與網絡連接度的關系

4.2 城市軌道交通客流增長滯后性

在上海城市軌道交通網絡建設初期，客流增長對于網絡建設變化的反應在時間上存在滯后性，如圖3所示。上海城市軌道交通網長度在2000年(當年6月，2號線一期開通)與 2004年(2003年11月5號線開通)出現快速增長的現象，而客流增速加快則在2001年與2005年完成，比網絡建設延后1年。因此，在建設初期，軌道交通運營單位應做好面對客流緩慢增長的準備，采取適當措施控制運營成本。然而，滯后性隨網絡的發展而減弱，如2008年及以后(2007年12月6、8、9號線開通)，上海軌道交通網絡長度增長率與客流增長率同步。

客流增長相對于連接度的滯后現象不明顯(見圖4)。2001年、2005年、2008年與 2010年客流增長率均隨當年連接度增長率的提高而提高?？土鲗τ谶B接度的滯后性不顯著，說明連接度改善對于快速吸引客流具有較好的效果，與協整方程分析結果一致。

圖3 城市軌道交通客流與網絡長度增長率的關系

圖4 城市軌道交通客流與網絡連接度增長率的關系

5 城市軌道交通客流向量自回歸模型

5.1 VAR模型

根據協整檢驗結果，客流分別與網絡長度以及連接度存在協整關系，故可以建立VAR 模型，滯后階數為2。VAR 模型特征根檢驗結果見表4。

表4 VAR 模型特征根檢驗結果

長度與客流的VAR 模型特征根均小于1，模型穩定收斂;而連接度與客流的VAR 模型部分特征根大于1，模型不穩定收斂，說明客流關于連接度的滯后性不顯著。故僅能建立網絡長度與客流VAR 模型如下(lnV(-1)、lnV(-2)與 lnL(-1)、lnL(-2)分別表示滯后1年、2年的客流量與網絡長度):

表5 為城市軌道交通客流VAR 模型檢驗統計量。

表5 城市軌道交通客流VAR 模型檢驗統計量

5.2 客流預測

VAR 模型預測分為靜態預測和動態預測。靜態預測各期均使用實際值，適合近期預測，準確度較高;動態預測只有初值使用實際值，其后各期采用遞推計算，適合遠期趨勢預測。樣本數據范圍為1996—2010年，利用式(4)對2011年上海城市軌道交通客流量進行預測，將lnV 轉換為實際值V，結果如圖5所示。

圖5 上海城市軌道交通客流真實值與VAR 模型預測結果比較

2011年上海城市軌道交通客流量靜態預測結果為22.98 億人次，與實際值21.01 億人次的誤差為9.4%。在圖5 中，動態預測值的曲線平滑，能體現客流快速增長的趨勢。

城市軌道交通客流預測誤差如圖6所示。在圖6 中，各期靜態預測與動態預測的誤差都在0 值上下波動，模型穩定。2007年后，靜態預測與動態預測的各期誤差開始增加，主要原因是城市軌道交通發展導致客流滯后性減弱，VAR 模型滯后項影響降低，預測誤差增大。

圖6 城市軌道交通客流預測誤差

5.3 方法驗證

為判斷上述城市軌道交通客流預測方法是否具有推廣型，使用北京軌道交通客流數據進行驗證。北京軌道交通于1981年正式對公眾開放，現選取1981—2010年的客流數據與網絡建設情況進行分析。按照2.2 節的方法進行數據處理，經過單位根檢驗與協整檢驗，北京軌道交通客流與網絡里程為一階單整序列，具備一個協整關系。VAR 模型所有特征根絕對值小于1，模型(見式5)穩定。

表6 為北京城市軌道交通客流VAR 模型檢驗統計量。

表6 北京城市軌道交通客流VAR 模型檢驗統計量

2011年北京軌道交通客流量靜態預測結果為23.14 億人次，與實際值 21.93 億人次相差6.0%。動態預測結果能反映北京軌道交通客流快速增長的變化趨勢(見圖7)。上述預測結果符合實際情況，可見本文提出的方法可適用于上海以外的城市，具有推廣意義。

圖7 北京軌道交通客流真實值與預測結果比較

6 結語

本文針對上海城市軌道交通客流增長特征，以協整理論為基礎，分析了城市軌道交通客流關于網絡規模與結構的增長滯后性，并利用向量自回歸模型進行客流預測，主要結論如下:

(1)上海城市軌道交通客流與網絡長度以及連接度存在協整關系。網絡長度與連接度的提高均能促進客流的增長，其中連接度的改善更能吸引客流。在城市軌道交通網絡規劃過程中應注重網絡的連通性。

(2)城市軌道交通客流增長對于網絡長度存在顯著的滯后性。在城市軌道交通建設初期，新開通的線路并不能馬上吸引大量客流，需關注該階段運營成本，但是這種滯后性會隨著城市軌道交通的完善而逐漸減弱。

(3)向量自回歸(VAR)模型能體現城市軌道交通建設對于客流增長的滯后影響，并能進行客流預測。2011年上海與北京軌道交通客流靜態預測誤差分別為9.4%和6.0%，動態預測能體現客流增長趨勢。預測方法具有推廣性。然而，由于滯后影響的減弱，針對城市軌道交通不同建設時期，建立滯后期變化的客流預測模型是下一階段的重點工作。

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