關于電容電壓和電感電流躍變的討論

田社平，孫 盾，張 峰

(1.上海交通大學電子信息與電氣工程學院，上海200240;2浙江大學電氣工程學院，浙江杭州310027)

0 引言

由電路中電容、電感元件的電壓—電流關系可知，如果沖激電流流過電容，則電容電壓是可以躍變的;如果沖激電壓出現于電感的兩端，電感電流也是可以躍變的。在“電路分析”課程和“電路理論”課程的教學中，往往將電容電壓和電感電流的躍變作為教學內容之一。

一個動態電路，在什么樣的情況下會出現電容電壓和電感電流的躍變呢?一般的觀點認為有兩種情況可能會出現沖激電壓和沖激電流:①外施電源本身就是沖激電源;②外施電源并非沖激電源時，而電路中存在純電容和(或無)電壓源構成的回路或存在純電感和(或無)電流源構成的割集[1]。

筆者在教學時，學生常常提出這樣的問題:除去上述兩種情況，是否存在其它引起電容電壓和電感電流躍變的電路?問題的答案是肯定的。下面就結合筆者的教學實際對此進行討論。

1 引起電路參數改變的實例

1.1 電感電流改變例一

圖1為一個含全耦合電感的電路。圖1(a)中，已知i1(0-)=i2(0-)=0A。圖1(b)為該電路的s域模型。我們可采用拉普拉斯變換方法來求電路中的i1和i2。

圖1 一個含全耦合電感的電路

我們采用網孔法列寫圖1(b)電路的電路方程，可以得到

由上式求得

對上式求拉普拉斯逆變換，得到時域解為

由上式看出:i1(0+)=0.5A，i2(0+)=-0.5A，說明電流i1、i2在換路時都有躍變。如果簡單地認為耦合電感的原邊是一個電感，因它與電阻串聯，就會得出電感電流連續，即i1(0+)=i1(0-)=0A的結論，從而與式(3)的結論矛盾。

圖1(a)電路中，既不存在沖激電源，也不存在純電感和(或無)電流源構成的割集，這說明一般認為可能會出現沖激電流、沖激電壓的兩種情況并未包括全部。

值得指出的是，在外電源上沒有沖激源的情況下，圖1(a)電路電感電流產生突變的原因是由于自感產生的沖激電壓被互感沖激電壓抵銷了的緣故，這也說明有電感時的電感與獨立電感是不同的。

1.2 電感電流躍變例二

圖2是另一種出現電感電流躍變的電路例子。這里假設uC(0-)=10V，iL(0-)=0A。初看電路，可能認為電路包含RLC串聯支路，電路不可能出現電容電壓和電感電流的躍變。事實并非如此，下面采用時域方法加以分析。

圖2 含串聯RLC的電路

列寫t≥0時的電路方程為

由式(4)可知，盡管圖2電路包含LC兩個動態元件，但其電路方程卻是一階的，因此圖2電路是一個退化了的一階電路。

由初始條件uC(0-)=10V和式(4)中的第一式即可解得電容電壓為

進一步，得到

由上式可知，iL(0+)=-30A≠iL(0-)=0A。這說明電路中電感電流發生了躍變，即電感兩端出現了沖激電壓。圖2電路也可采用拉氏變換分析，結果相同。

值得指出的是，圖2電路中盡管包含LC兩個動態元件，但電路中僅出現沖激電壓，而不出現沖激電流，這是由電路拓撲結構所決定的。對于圖2電路，如果回路中電感兩端出現沖激電壓，由于受控電流源兩端的電壓為任意值，并不違反KVL定律。

如圖3所示，該電路是圖2電路的對偶電路。通過分析不難發現，電路中存在沖激電流而不存在沖激電壓。這里不再贅述。

圖3 與圖2電路的對偶電路

2 進一步的討論

2.1 與換路定律的關系

在實際電路中，如果包含電容或電感元件，則這兩種元件不消耗能量，只是存儲能量并與外電路交換能量。當電路換路時，電容或電感從外電路吸取能量或向外電路釋放能量都必須經過一段時間才能完成。否則，這就意味著電容、電感所存儲的能量發生躍變，那么能量交換的速率(即功率)將為無窮大，這在實際情況下是不可能的[2，3]。

假設電容C兩端的電壓為uC，流經電感L的電流為iL，則電容存儲的能量為Cu2C/2，電感存儲的能力Li2L/2。它們吸收的功率分別為CuC(duC/dt)和LiL(duC/dt)。假設換路發生在t=0時刻，由于能量不能發生躍變，因此在換路瞬間，電容兩端的電壓和

上式所表達的內容亦稱為換路定律。

顯然，電容電壓和電感電流的躍變是違反換路定律的。這說明應用換路定律是有條件的，即必須保證電路在換路瞬間電容電流、電感電壓為有限值。

在教學實踐中，時常有學生提出這樣的困惑:既然有換路定律成立，為何又有違反換路定律的電容電壓和電感電流躍變呢?筆者認為應該處理好兩者之間的關系:針對實際電路，換路定律成立，它是一個普適的定律;而電路模型是對實際電路的理想抽象化，在電路模型中允許違反換路定律的情況存在。從這一點而言，換路定律和電容電壓和電感電流的躍變提供了一個廓清(實際)電路和電路模型之間區別與聯系的生動而具體的例子。

2.2 對電路分析的作用

電容電壓和電感電流的躍變是電路理論中的一個客觀存在，利用它能幫助我們更方便地分析實際的電路。下面舉例加以說明。

圖4為電工電子技術中常遇到的補償分壓器。其中電容C2為輸出端的等效電容，C1為有意加入的補償電容?，F在要求補償電容C1取何值為合適?圖4(a)電路是一個二階電路，分析較為復雜。電感中的電流應該保持不變，而不會發生躍變

圖4 補償分壓器電路

考慮到直流電源的內阻RS一般較小，可將圖4(a)電路簡化為圖4(b)電路。對圖4(b)電路進行分析要比圖4(a)電路分析簡單得多。我們運用三要素法，不難得出有

式中，τ=R1R2/(R1+R2)(C1+C2)。由上式可以看出，補償電容 C1應滿足 R2US/(R1+R2)=C1US/(C1+C2)，亦即R1C1=R2C2。當調節C1使之滿足R1C1=R2C2，則分壓器表現如同一個純電阻分壓器。

值得注意的是，由于圖4(b)電路中存在純電容和電壓源構成的回路，因此電容中出現了沖激電流。而在圖4(a)電路中則不存在沖激電流。出現這種矛盾情況是由于圖4(b)電路過于理想化的緣故。盡管如此，利用圖4(b)電路進行分析，計算簡便，而且也能較好地近似反映實際情況[1]。

3 結語

(1)本文通過舉例說明，電容電壓和電感電流的躍變可以在多種情況下發生，而不僅限于一般教科書所指出的兩種情形。值得注意的是，采用時域法分析動態電路時，分析的起點是t=0+時刻，此時應注意電容電壓和電感電流的躍變問題;而采用拉氏變換分析動態電路時，分析的起點是t=0-時刻，分析過程避開了電容電壓和電感電流的躍變問題。因此，采用拉氏變換分析動態電路更有優勢。

(2)對實際電路而言，換路定律成立。電容電壓和電感電流的躍變是對實際電路理想化建模所出現的情況。在教學中應正確認識兩者之間的關系。

(3)正確理解電容電壓和電感電流的躍變，有助于簡化電路的分析。

[1]李瀚蓀.簡明電路分析基礎[M].北京:高等教育出版社.2002

[2]陳希有.電路理論教程[M].北京:高等教育出版社.2013

[3]孫玉坤，陳曉平.電路原理[M].北京:機械出版社.2006