淺談輔助線在幾何證題中的應用

德力根倉

（赤峰學院 數學與統計學院， 內蒙古 赤峰024000）

淺談輔助線在幾何證題中的應用

德力根倉

（赤峰學院 數學與統計學院， 內蒙古 赤峰024000）

在幾何證題中,當證明過程受阻時,科學合理的添加輔助線能使解題思路順利暢通,輔助線能巧妙地連接起已知和未知,成為解題的橋梁，從而使幾何證題中隱蔽的條件明朗化,為順利地證明幾何題創造條件.本文從四個方面闡述了做輔助線的方法,并舉例說明在具體情況下,如何做輔助線.

輔助線；幾何證題；方法

1 前言

在高中數學的講解過程中，如何做輔助線，是幾何證題中的一個重要知識點.在空間幾何圖形中添加輔助線，不但考驗學生的空間想象能力，也考察了學生的創造性思維.做輔助線是一種難度很大的解題技巧，因為它沒有法則可循，千變萬化，使初學者感到特別困難.

為了幫助學生學好幾何，科學正確的做出輔助線，本文分析了輔助線在幾何證題中的應用，以期對開拓學生的解題思路，提高學生的分析能力、解決問題的能力以及綜合運用知識的能力起到指導作用，同時力求對培養學生的邏輯思維和發散思維起到積極作用，下面主要從四個方面探討輔助線在幾何證題中的應用.

2 當幾何證明題適用“綜合法”時,用綜合法證題，在已知推證結論思路受阻時,可從圖形的特征入手,巧設輔助線,利用圖形的性質繼續推證

例1梯形ABCD中，已知DC∥AB,DC

求證

用綜合法分析,題中有條件∠A+∠B=90°.如果能做一條輔助線,使∠A和∠B在同一個三角形中，即可出現直角三角形,并且題中有中點,可利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半的性質,來證明此題.通過C點做CE∥AD（圖1），交AB與E，則可得∠CEB=90°（∠CEB=∠A，∠A+∠B=90°）,再把MN移至直角三角形CBE中，過點C做CF∥MN,交AB于F.

圖1

根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”,有

證 在梯形ABCD中,由于AD∥EC,所以

∠A+∠B=90°.又因為∠A=∠CEB,所以

∠CEB+∠B=90°.即△CEB為直角三角形.因為BE=AB-DC，所以

3 當幾何證明題適用“分析法”時，用分析法證題，從結論出發，尋找結論成立的條件，難以進行下去的時候，可以添加輔助線，使追溯過程順利進行下去

例2設 △ABC中 ∠C=2∠B,a，b，c分 別 為∠A，∠B，∠C所對的邊.

求證 （a+b）b=c2.

分析 欲證（a+b）b=c2，只要證即可，為了證明,可以尋找兩個相似的三角形，而它們的對應邊，剛巧能成為上面的比例.若一個三角形的兩邊分別為b和c，則另一個三角形與之相對應的邊應該為c和（a+b）.

在原圖中，不存在兩個三角形，沒有具有（a+b）為邊長的三角形.若不做輔助線，分析就無法進行下去，命題就不能獲得證明.在原圖中有一個△ABC,AC=b,AB=c,要得到另一個相應的三角形,其一邊若為c,則必須使其另一個邊為(a+b)，所以自然地會使我們想到，只要引長AC至D，并使CD=a，則AD=a+b.若再連接BD，則既可得到一個新的△ABD.在△ABD中，AB=c，AD=a+b，若再能證得,△ABC與△ADB相似,分析就可以繼續進行下去了(圖2).，則只要證△ABC與△ADB相似即可.

圖2

因為這兩個三角形有一個公共角，即∠A=∠A，因此只要能證得另一對對應角相等即可.

證 由題設知∠C=2∠B（即∠ACB=2∠ABC）.而 ∠ACB=∠D+∠CBD,BC=CD=a.∠D=∠CBD?∠ACB=2∠ABC? ∠ABC=∠D? △ABC與 ?△ADB相似?

顯然，若要證得

4 輔助線可以對原幾何圖形進行各種變換，把已知圖形的某一部分通過平移、翻轉和旋轉變換出所需圖形，使題設中的元素與結論中的元素集中起來，元素一集中，相互之間的關系就會顯露出來

例3在四邊形ABCD中，AB=CD,E，F各為BC、AD的中點，BA、EF、CD相交而成∠α、∠β(圖 3).

圖3

求證 ∠α=∠β.

證 對題設進行分析，因BA和CD延長以后不一定剛好相交在延長線上的某一點，也就是說∠α與∠β不一定是具有共同頂點的兩角.

顯然，在原圖要直接證明∠α=∠β 是有困難的.

為此，對部分圖形做平移變換，把∠α與∠β的頂點通過平行移動集中到一個已知點上，與此同時，將AB和CD也平行移動在一起，拼成一個角的兩邊.于是，我們可以做出如下的輔助線.

過F作FG平行且等于AB,作FH平行且等于CD.連接EG,EH,BG和GC.這時已經把已知的元素和結論的元素集中在一起了，它們之間的關系也就顯露出來.為了證明∠A=∠B,只要證明∠1=∠2即可.AB平行且等于FG,所以ABGF是平行四邊形,從而BG平行且等于AF.又因為FH平行且等于DC,所以FHCD是平行四邊形,從而HC平行且等于FD.由于AF=FD,所以BG平行且等于HC，因此BGCH為平行四邊形.因為E為其一條對角線的中點,GEH必為另一條對角線,進而得出△FHG為等腰三角形（FG=AB，FH=CD，而AB=CD，∴FG=FH）.又因為GE=EH（因為BGCH為平行四邊形）,所以FE為△FGH底邊上之中線?FE也必為其頂角GFH之平分線?∠1=∠2?∠α=∠β.

5 通過做輔助線改造原圖形或轉換原 “求證”,化難為簡，使隱蔽的關系明朗化

例4設△ABC的兩條高線是BD和CE,其外接圓圓心為O.

求證OA⊥ED.

分析 欲證OA⊥ED，在原圖上似乎很難著手，它們的交點并不是什么特殊點，于是想到做輔助線.在OA和ED中，其中OA為O圓的半徑.因為半徑端點的切線必與半徑垂直，于是想到過A點作圓O的切線AF.

欲證OA⊥ED,只要證明AF⊥ED即可.

從而把題設中要證明的垂直關系轉化為證明平行的關系了（在轉化中運用了已知元素間的關系和特點），并且這個平行關系的證明有AE可以做媒介，再轉化為證角的關系，只要證∠FAE=∠AED即可,于是可以得到證明的方法.

圖4

證 題設中BD、CE均為△ABC的高(圖4).因此∠BED=∠BDC=90°.若以BC為直徑作圓，則D、E必在此輔助圓上即B、C、D、E四點共圓,所以∠AED=∠BCA.而AF是過A點的O圓切線?∠FAE=∠BCA?∠FAE=AED?AF∥ED.但OA⊥AF,所以OA⊥ED.

6在做輔助線的時候常常會出現下列錯誤，在做題時要注意,尤其是初學者更應該重視

1.沒有目的亂做輔助線，不但不會對解題起到幫助，反而會造成圖形混亂，影響思考.

2.做輔助線時，如果不按照基本作圖法進行作圖，往往會導致邏輯上的錯誤.下面舉一個高考題說明.

例5 AB是半圓的直徑,C是半圓上的一個點，直線MN切半圓與C點，AM⊥MN與M點，BN⊥MN與N點，CD⊥AB與D點(圖5).

求證(1)CD=CM=CN；(2)CD2=AM·BN.

圖5

有些學生在做題時錯誤的寫到：“做∠A的平分線AC”.這就違反了作圖的基本方法.做∠A的平分線，就不能保證它一定通過C點，除非予以證明.在沒有依據的前提下不要亂做輔助線，否則不但對解題沒有幫助，反而會造成圖形混亂.

做輔助線的方法因題而異，千變萬化，沒有一定的法則可以遵循.這個困難在反復練習、仔細分析、研究探索后才能逐步解決，只有通過不斷做題、總結、積累才能使學生做好輔助線，提高解題的能力.

〔1〕李淑華.承德民族師專學報[J].2009，29（2）.

〔2〕王長明.怎樣添加平面幾何輔助線[J].中國致公出版社,2003.

〔3〕嚴濟慈.幾何證題法[M].北京：高等教育出版社, 1983.

〔4〕袁曉東.淺談幾何輔助線[M].北京：北京師范大學出版社,1984.

O123；G633

A

1673-260X（2014）06-0264-03