基于全息法的大學數學教學研究及應用

李蘭平

（湖南財政經濟學院 基礎課部，湖南 長沙 410205）

基于全息法的大學數學教學研究及應用

李蘭平

（湖南財政經濟學院 基礎課部，湖南 長沙 410205）

全息法由于反映了內在聯系，能夠拓展概念加強理解和記憶，在學科教學中得到了重視.基于全息法的思想，本文探討其在大學數學中的應用.通過探討全息元在數學教學中的具體應用認為通過全息元的理解和在大學教學思想中的滲透，必將一方面調動起學生的數學學習積極性，另一方面提高學生的邏輯思維能力.

數學教學；全息元；數學全息

1 引言

近年來隨著科學技術的飛速發展，越來越多的領域需要大量的數學知識，然而傳統的教學方法已經逐漸顯示出弊端，加上大學擴招生源質量的下降，如何提高新時代大學生數學學習的興趣盡可能多地吸收到大學數學知識的精髓儼然成了當今大學數學教育面臨的嚴峻挑戰.

全息(Holography)指事物之間包含相同或相似程度較大的信息，其最早起源于物理學由Dayid Bohm提出，其核心思想是宇宙是一個不可分割的，各部分之間的緊密關聯的整體，任何一個部分都包含整體的信息.文獻[1]給出了全息的含義“部分(子系統)與部分，部分與整體(母系統)之間包含相同的信息或部分包含整體的全部信息”.隨著信息時代的到來，全息理論已經被應用到各個學科的教學中，如全息生物學、全息數學等.全息數學在中學的試行也顯示了其強大的生命力和優勢.近年來關于全息法在大學數學教學中的研究也引起了很多數學工作者的關注.如文獻[2]受宇宙全息律定義的啟發，定義了數學全息律，并指出以數學全息元為起點，利用數學全息律進行數學科研與教學的方法就是數學全息方法．并給出了利用周期研究時間函數和利用“生成元”研究數學結構這兩個應用數學全息方法的事例，指出數學全息方法對于促進數學創造和數學教學方面起著重要的作用．文獻[3]研究了全息理論在線性代數課程教學中的應用，并通過實踐經驗得出了借助相關數學全息元，不但有助于全方位地把握線性代數課程內容；還有助于合理組織線性代數課程教學，并且有利于學生對課程的數學思想和方法的理解；文獻[4-6]分別通過實例探討了全息法在大學數學概念、定理教學中的應用.指出運用全息方法進行大學數學教學有利于發揮學生學習的主動性，提高學生的創造性思維能力；文獻[7]基于全息理論視角，針對當前存在于課堂教學評價中存在的缺陷，建立一個可操作的全息課堂教學評價技術框架.由以上可知，許多數學教育工作者全息理論在大學數學教學中的重要性有了充分的認識，但是在操作層面上，只舉例出高等數學教學中的概念，定理教學中的應用.但對一些全息理論的基本特征，如局部是整體的全息元、已知是未知的全息元、有限是無限的全息元；數形互為全息元、好的數學問題是數學的心臟，是質高量大的數學思維，方法，技巧的全息等方面的研究還很少.因此本文將研究大學數學課程中的各類全息現象，探討大學數學中出現的各類特殊的全息元以及這些全息元在整個大學過程中的作用.利用全息元理論將整個大學數學課程進行有機的連接，達到教師對數學學科教學更加得心應手，學生在學習數學過程中學會主動思考并逐漸培養起數學學習興趣的目的.數學全息現象[1]是指某一數學結構G在性質下的一子系統能夠反映整個結構G.在數學全息現象中，反映整個結構G的相對獨立部分g稱為數學全息元.

2 全息元在大學數學教學中的應用

2.1 局部是整體的全息元

文獻[8]指出全息性邏輯思維是大學數學的精髓，其構成的兩大要素為局部信息和整體信息，而局部信息又稱為數學全息元.數學全息元是數學直覺產生的客觀基礎，要善于捕捉數學信息元，提高數學猜想能力.在數學教學中正確運用數學全息性邏輯思維進行教學，既可以提高數學教學效率，又可以提高學生的全息性邏輯思維能力.在高等數學中，運用全息性邏輯思維觀點分析和解答問題時，必須深刻理解“局部信息”和“整體信息”.若用“部分”來展示“整體的信息”，那么首先，“部分”要有資格.其次，所要展示的“整體信息”的“檔次”愈高，它的“部分信息”的“資格”要求也愈高.在高等數學中一個典型的例子就是函數圖像的描繪.我們通過描繪函數圖像上的特殊點（極值點、拐點、以及是函數沒有定義的點）加上函數圖像在各區間上的單調性、凹凸性就阿可以描繪出了整個函數的基本形狀，因為我們通過計算獲得的這部分信息反映了整體的信息，使整個函數圖像的全息元.

2.2 相似性互為全息元

典型的例子就是一元函數與多元函數之間的一些定義性質互為全息元.例如：函數的定義、極限、導數和微分等.下面僅以函數的定義為例進行說明.

一元函數y=f(x)的定義：給定兩個變量x和y,以及數集D,若對于D中的每一個x，在對應法則f的作用下都有唯一的y值與之對應，則稱y是x的函數，記為y=f(x),y稱為因變量，x稱為自變量.把一元函數的定義當作全息元,要引導學生自己給出二元函數的定義（需要給學生一點提示：一元函數是在數軸上討論的，而二元函數是在平面直角坐標系下討論的），則相應的可以給出如下二元函數的定義:

二元函數z=f(x,y)的定義：給定三個變量x、y和z,以及平面點集D,若對于D中的每一個(x,y)，在對應法則f的作用下都有唯一的z值與之對應，則稱z是x和y的函數，記為z=f (x,y),z稱為因變量，x和y稱為自變量.

把一元函數中的x看成是x軸上的點p，那么一元函數可以寫成y=f(p);把二元函數中的(x,y)看成是平面上的點p，那么二元函數可以寫成z=f(p);那么這兩種函數形式是類似的.從而利用全息元的思想，我們可以引導學生給出三元函數以及n元函數的定義.類似的二元函數以及其他多元函數的其他性質都可以利用全息元的思想引導學生自己首先探索，這樣會讓學生學會思考，增強對數學學習的興趣和探索能力.

2.3 數形互為全息元

定積分的定義是典型的數形互為信息源的例子.設f為閉區間[a,b]上的連續函數，且f(x)≥0.由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b以及x軸所圍成的平面圖形，稱為曲邊梯形.下面討論曲邊梯形的面積(如圖所示).

圖1 曲邊梯形示意圖

通過分割求和取極限得到了曲邊體型的面積公式

進而利用這個極限給出定積分的定義，

把曲邊梯形的面積作為定積分的全息元，有些定積分可以利用中學的知識直接得到結果，減少繁雜的換元積分計算.下面我們來再看這樣一個例子，計算定積分：

由于曲邊梯形的面積是定積分的全息元，我們觀察知道這個曲邊梯形中的這恰好表示第一象限的1/4圓弧.如圖2所示.

圖2 圖形

而由圓的面積公式我們可以直接得到此曲邊梯形的面積A恰好是1/4圓的面積，即故dx=π.并且可以啟發學生得到，而這種形式的積分在高等數學中是比較典型的一類積分.

2.4 利用全息元加強線性代數的課程學習

線性代數中的很多知識正是以實數為全息元得出的.例如實數中倒數的定義是方陣逆陣的全息元.在實數中，我們有：若ab=1,則稱b為a的倒數，記為b=a-1.利用全息元理論可以給出方陣逆陣的定義：對于n階方陣A，若存在方陣B，滿足AB=E，則稱B為A的逆陣，記為B=A-1.類似的根據實數中的消去率公式可以定義方陣的消去率公式，只不過由于方陣乘法不滿足交換律，從而定義了左消去率和右消去率.多項式函數是方陣多項式函數的全息元.知道這個信息，我們針對如下例子可以給出較簡單的解法：

例 設A為n階方陣，滿足A2+3A+E=0，求證A+E可逆.

倘若我們知道前述全息元信息，只要考慮如下問題：設實數x滿足x2+3x+1=0，求證：x+1倒數存在.利用多項式出發進行簡單計算得到x2+3x+1=(x+1)(x+2)-1=0，便得到x+1倒數存在，且倒數為x+2.把x還原成A，1還原成單位陣E，便得到此題目的解法，在此略去.利用全息元思想我們可以歸納出如下一類題：

這道題可以采用類似的求解方法求解.

3 結論

教師在大學數學教學過程中要充分應用數學全息法,將定義、定理、推論和一些計算證明，利用全息元理論將學過的知識和新知識做有機的銜接，這樣不但能促進大學數學教學，還能夠幫助學生真正理解教學內容，提高教學效率.達到利用有限的課時教給學生更多的知識，教給學生認識世界解決問題的能力，這也正是大學各學科教學的目標之一.

〔1〕王存臻,嚴春友.宇宙全息統一論[M].青島:山東人民出版社,1998.

〔2〕彭拯.數學全息方法及其在數學科研和教學中的應用[J].數學教育學報,2004(8):43-45.

〔3〕陳建華,楊甜.基于全息元的線性代數課程的教學思考[J].信息系統工程,2011（2）:94-97.

〔4〕齊蓮敏.全息方法在高等數學教學中的應用[J].高等函授學報(自然科學版),2009,22(4):35-36.

〔5〕馬學玲.利用數學全息元進行高數教學[J].信息系統工程, 2010,8:125-126.

〔6〕邵為爽,黃健.全息方法在大學數學教學中的應用[J].高師理科學刊,2008(1):84-86.

〔7〕俞健.全息課堂教學評價技術研究華東師范大學[D].上海:華東師范大學碩士論文,2007.

〔8〕王龍.全息性邏輯思維與數學教學[J].教育探索,2010(9): 21-22.

O13-4

A

1673-260X（2014）04-0019-02

校級基金項目:探討與實踐全息方法在高等數學教學中的應用