文/曾慶春
摘 要:通過學習平行四邊形,培養學生邏輯推理能力和邏輯思維表達能力。
關鍵詞:平行四邊形;定義;定理;數形關系;思維
《平行四邊形》是九年級上冊第三章證明(三)第一節的內容。是培養學生邏輯推理能力和邏輯思維表達能力的主要課程。下面談談我在教學中的幾點體會。
一、注重平行四邊形定義、定理學習過程,抓好定義、定理教學,合理安排教學
平行四邊形的定義、定理,從現實世界得到其意義,又在更大的范圍內作用于現實,學生只有在理解定義、定理的來龍去脈及其意義,而且熟練地掌握它們的各種用法,從而得到理性的認識之后,在數學學習中才能靈活地對其進行各種等價敘述,并在一個抽象的符號系統中正確應用,從而達到對數學符號語言學習的最高水平。教學過程是教師具體對某一個數學符號進行講解、分析、舉例、考查的過程。一些看起來相似,用起來容易混淆的定義,最好采用對比法教學。
例如,在學習“三角形的中位線”時,和“三角形的中線”相比較,平行四邊形的定理都要進行推理論證,但其重要的是掌握定理的條件和結論,我們不要喧賓奪主,例如,“定理:三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半?!苯虒W的重點不僅僅是證明定理,更是理解和掌握這個定理及結論,并能利用這個結論解決相關問題,定理理解掌握了,對學好幾何證明也就有了強大的基礎。
二、要合理破譯圖形語言的數形關系
圖形語言是一種視覺語言,通過圖形給出某些條件,其特點是直觀,便于觀察與聯想,觀察題設圖形的形狀、位置、范圍,聯想相關的數量或等式,這是破譯圖形語言數形關系的基本思想。(1)從語言到圖形,即根據語言畫出直觀圖。(2)從圖形到符號,即把已有的直觀圖中各種位置關系用符號表示。(3)從符號到圖形,即根據符號所示的條件,準確地畫出相應的圖形。在教學過程中要引導學生會把幾何定義、定理從“語言文字敘述”轉化為“幾何語言表達”。幾何命題有文字語言表達、圖形表達和幾何語言表達三種方式。同一個命題,雖然表達的方式不同,但表達的意思是一樣的。如,
文字語言表達為:兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。
幾何語言表達為:∵AB∥DC,AD∥BC
∴四邊形ABCD為平行四邊形
幾何圖形表達為:■
幾何定義、定理大都采用文字語言表達。因此,教師在教學時就必須加強學生的文字語言表達、幾何圖形表達和幾何語言表達三者的有機結合訓練,讓學生對三種表述方式能互相轉化,互譯自如。
三、要注重從分析到綜合的邏輯推理和由分析到綜合的邏輯思維
在幾何學習中,有些學生對幾何論證邏輯性差,有些題目似乎自己看懂了,但就是寫不出來,究其原因,主要是其分析綜合能力比較差。如果每一道題都能從分析到綜合或由綜合分析(兩頭湊)到綜合多練幾遍,這種現象就有可能大大減少。
如下圖,在平行四邊形ABCD中,M、N分別是BC、AD的中點,線段AM和CN分別交對角線BD于E、F。求證:BE=EF=FD。
■
1.分析法
要證:BE=EF=FD需要
■
2.綜合法
平行四邊形ABCD?圯BC∥AD,AD=BC
M、N分別是BC、AD的中點?圯AN=■ADCM=■BC?圯AN=CM
?圯四邊形AMCN是平行四邊形?圯AM∥CN
M是BC的中點?圯BM=CM
N是AD的中點?圯AN=DN
?圯BE=EFEF=FD?圯BE=EF=FD
3.分析綜合法(兩頭湊)
由已知:易知
AN=DN=■ADBM=MC=■BC四邊形ABCD是平行四邊形?圯AD■BC?圯AN■CM
?圯四邊形AMCN是平行四邊形
?圯AM∥CN
由未知:
BE=EF=FD需要BE=EF需要AN=DNNF∥AEDF=EF需要BM=CMME∥CF
這樣就達到了:由已知看可知
由未知看需知
四、一題多解,培養學生思維能力
一題多解可以變學生的單向思維為多向思維,開闊學生的視野。對于同一道題,從不同的角度去分析研究,可能會得到不同的啟示,從而引出多種不同的解法,或者通過不同的側面的觀察,將學生的思維觸角伸向不同的方向,擺脫固定的思維方式,發現思維過程中的不足,以完善學生的思維過程和思維品質。
如下圖,已知在?荀ABCD中,BF=DE,求證:四邊形AFCE是平行四邊形。
證法一:(利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)
在?荀ABCD中,AB=CD,AB∥CD
∵BF=DE
∴AF=CE
∵AF∥CE
∴四邊形AFCE是平行四邊形。
證法二:(利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形)
在?荀ABCD中,AB=CD,AD=BC,∠D=∠B
∵BF=DE
∴AF=EC
∵DE=BF,∠D=∠B,AD=BC
∴△ADE≌△CBF(SAS)
∴AE=CF
∴四邊形AFCE是平行四邊形。
證法三:(利用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形)
在?荀ABCD中,DC∥AB,AD=BC,∠D=∠B,AB=DC
∵∠DEA=∠EAF
∵DE=BF,∠D=∠B,AD=BC
∴△DAE≌△BCF(SAS)
∴∠CFB=∠DEA
∴∠EAF=∠CFB
∴AE∥CF
∴四邊形AFCE是平行四邊形。
證法四:(利用兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形)
在?荀ABCD中,∠D=∠B,∠DAC=∠DCB,
DC=AB,AD=BC
∵DE=BF,∠D=∠B,AD=BC
∴△ADE≌△CBF(SAS)
∴∠DEA=∠BFC,∠DAE=∠BCF
∵∠DEA+∠AEC=180°
∠BFC+∠AFC=180°
∴∠AEC=∠AFC
∵∠DAB=∠DCB,∠DAE=∠BCF
∴∠EAF=∠ECF
∴四邊形AFCE是平行四邊形。
幾何教學是需要我們不斷探索,不斷探究的,教學是要尋找教師與學生的結合點,幾何是要尋找文字→圖形→推理表達的有機統一體,我們只有不斷地自我提高,不斷對學生進行嚴格有序的推理訓練,才能有效地培養學生的邏輯推理能力和邏輯表達能力。
編輯 魯翠紅
摘 要:通過學習平行四邊形,培養學生邏輯推理能力和邏輯思維表達能力。
關鍵詞:平行四邊形;定義;定理;數形關系;思維
《平行四邊形》是九年級上冊第三章證明(三)第一節的內容。是培養學生邏輯推理能力和邏輯思維表達能力的主要課程。下面談談我在教學中的幾點體會。
一、注重平行四邊形定義、定理學習過程,抓好定義、定理教學,合理安排教學
平行四邊形的定義、定理,從現實世界得到其意義,又在更大的范圍內作用于現實,學生只有在理解定義、定理的來龍去脈及其意義,而且熟練地掌握它們的各種用法,從而得到理性的認識之后,在數學學習中才能靈活地對其進行各種等價敘述,并在一個抽象的符號系統中正確應用,從而達到對數學符號語言學習的最高水平。教學過程是教師具體對某一個數學符號進行講解、分析、舉例、考查的過程。一些看起來相似,用起來容易混淆的定義,最好采用對比法教學。
例如,在學習“三角形的中位線”時,和“三角形的中線”相比較,平行四邊形的定理都要進行推理論證,但其重要的是掌握定理的條件和結論,我們不要喧賓奪主,例如,“定理:三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半?!苯虒W的重點不僅僅是證明定理,更是理解和掌握這個定理及結論,并能利用這個結論解決相關問題,定理理解掌握了,對學好幾何證明也就有了強大的基礎。
二、要合理破譯圖形語言的數形關系
圖形語言是一種視覺語言,通過圖形給出某些條件,其特點是直觀,便于觀察與聯想,觀察題設圖形的形狀、位置、范圍,聯想相關的數量或等式,這是破譯圖形語言數形關系的基本思想。(1)從語言到圖形,即根據語言畫出直觀圖。(2)從圖形到符號,即把已有的直觀圖中各種位置關系用符號表示。(3)從符號到圖形,即根據符號所示的條件,準確地畫出相應的圖形。在教學過程中要引導學生會把幾何定義、定理從“語言文字敘述”轉化為“幾何語言表達”。幾何命題有文字語言表達、圖形表達和幾何語言表達三種方式。同一個命題,雖然表達的方式不同,但表達的意思是一樣的。如,
文字語言表達為:兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。
幾何語言表達為:∵AB∥DC,AD∥BC
∴四邊形ABCD為平行四邊形
幾何圖形表達為:■
幾何定義、定理大都采用文字語言表達。因此,教師在教學時就必須加強學生的文字語言表達、幾何圖形表達和幾何語言表達三者的有機結合訓練,讓學生對三種表述方式能互相轉化,互譯自如。
三、要注重從分析到綜合的邏輯推理和由分析到綜合的邏輯思維
在幾何學習中,有些學生對幾何論證邏輯性差,有些題目似乎自己看懂了,但就是寫不出來,究其原因,主要是其分析綜合能力比較差。如果每一道題都能從分析到綜合或由綜合分析(兩頭湊)到綜合多練幾遍,這種現象就有可能大大減少。
如下圖,在平行四邊形ABCD中,M、N分別是BC、AD的中點,線段AM和CN分別交對角線BD于E、F。求證:BE=EF=FD。
■
1.分析法
要證:BE=EF=FD需要
■
2.綜合法
平行四邊形ABCD?圯BC∥AD,AD=BC
M、N分別是BC、AD的中點?圯AN=■ADCM=■BC?圯AN=CM
?圯四邊形AMCN是平行四邊形?圯AM∥CN
M是BC的中點?圯BM=CM
N是AD的中點?圯AN=DN
?圯BE=EFEF=FD?圯BE=EF=FD
3.分析綜合法(兩頭湊)
由已知:易知
AN=DN=■ADBM=MC=■BC四邊形ABCD是平行四邊形?圯AD■BC?圯AN■CM
?圯四邊形AMCN是平行四邊形
?圯AM∥CN
由未知:
BE=EF=FD需要BE=EF需要AN=DNNF∥AEDF=EF需要BM=CMME∥CF
這樣就達到了:由已知看可知
由未知看需知
四、一題多解,培養學生思維能力
一題多解可以變學生的單向思維為多向思維,開闊學生的視野。對于同一道題,從不同的角度去分析研究,可能會得到不同的啟示,從而引出多種不同的解法,或者通過不同的側面的觀察,將學生的思維觸角伸向不同的方向,擺脫固定的思維方式,發現思維過程中的不足,以完善學生的思維過程和思維品質。
如下圖,已知在?荀ABCD中,BF=DE,求證:四邊形AFCE是平行四邊形。
證法一:(利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)
在?荀ABCD中,AB=CD,AB∥CD
∵BF=DE
∴AF=CE
∵AF∥CE
∴四邊形AFCE是平行四邊形。
證法二:(利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形)
在?荀ABCD中,AB=CD,AD=BC,∠D=∠B
∵BF=DE
∴AF=EC
∵DE=BF,∠D=∠B,AD=BC
∴△ADE≌△CBF(SAS)
∴AE=CF
∴四邊形AFCE是平行四邊形。
證法三:(利用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形)
在?荀ABCD中,DC∥AB,AD=BC,∠D=∠B,AB=DC
∵∠DEA=∠EAF
∵DE=BF,∠D=∠B,AD=BC
∴△DAE≌△BCF(SAS)
∴∠CFB=∠DEA
∴∠EAF=∠CFB
∴AE∥CF
∴四邊形AFCE是平行四邊形。
證法四:(利用兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形)
在?荀ABCD中,∠D=∠B,∠DAC=∠DCB,
DC=AB,AD=BC
∵DE=BF,∠D=∠B,AD=BC
∴△ADE≌△CBF(SAS)
∴∠DEA=∠BFC,∠DAE=∠BCF
∵∠DEA+∠AEC=180°
∠BFC+∠AFC=180°
∴∠AEC=∠AFC
∵∠DAB=∠DCB,∠DAE=∠BCF
∴∠EAF=∠ECF
∴四邊形AFCE是平行四邊形。
幾何教學是需要我們不斷探索,不斷探究的,教學是要尋找教師與學生的結合點,幾何是要尋找文字→圖形→推理表達的有機統一體,我們只有不斷地自我提高,不斷對學生進行嚴格有序的推理訓練,才能有效地培養學生的邏輯推理能力和邏輯表達能力。
編輯 魯翠紅
摘 要:通過學習平行四邊形,培養學生邏輯推理能力和邏輯思維表達能力。
關鍵詞:平行四邊形;定義;定理;數形關系;思維
《平行四邊形》是九年級上冊第三章證明(三)第一節的內容。是培養學生邏輯推理能力和邏輯思維表達能力的主要課程。下面談談我在教學中的幾點體會。
一、注重平行四邊形定義、定理學習過程,抓好定義、定理教學,合理安排教學
平行四邊形的定義、定理,從現實世界得到其意義,又在更大的范圍內作用于現實,學生只有在理解定義、定理的來龍去脈及其意義,而且熟練地掌握它們的各種用法,從而得到理性的認識之后,在數學學習中才能靈活地對其進行各種等價敘述,并在一個抽象的符號系統中正確應用,從而達到對數學符號語言學習的最高水平。教學過程是教師具體對某一個數學符號進行講解、分析、舉例、考查的過程。一些看起來相似,用起來容易混淆的定義,最好采用對比法教學。
例如,在學習“三角形的中位線”時,和“三角形的中線”相比較,平行四邊形的定理都要進行推理論證,但其重要的是掌握定理的條件和結論,我們不要喧賓奪主,例如,“定理:三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半?!苯虒W的重點不僅僅是證明定理,更是理解和掌握這個定理及結論,并能利用這個結論解決相關問題,定理理解掌握了,對學好幾何證明也就有了強大的基礎。
二、要合理破譯圖形語言的數形關系
圖形語言是一種視覺語言,通過圖形給出某些條件,其特點是直觀,便于觀察與聯想,觀察題設圖形的形狀、位置、范圍,聯想相關的數量或等式,這是破譯圖形語言數形關系的基本思想。(1)從語言到圖形,即根據語言畫出直觀圖。(2)從圖形到符號,即把已有的直觀圖中各種位置關系用符號表示。(3)從符號到圖形,即根據符號所示的條件,準確地畫出相應的圖形。在教學過程中要引導學生會把幾何定義、定理從“語言文字敘述”轉化為“幾何語言表達”。幾何命題有文字語言表達、圖形表達和幾何語言表達三種方式。同一個命題,雖然表達的方式不同,但表達的意思是一樣的。如,
文字語言表達為:兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。
幾何語言表達為:∵AB∥DC,AD∥BC
∴四邊形ABCD為平行四邊形
幾何圖形表達為:■
幾何定義、定理大都采用文字語言表達。因此,教師在教學時就必須加強學生的文字語言表達、幾何圖形表達和幾何語言表達三者的有機結合訓練,讓學生對三種表述方式能互相轉化,互譯自如。
三、要注重從分析到綜合的邏輯推理和由分析到綜合的邏輯思維
在幾何學習中,有些學生對幾何論證邏輯性差,有些題目似乎自己看懂了,但就是寫不出來,究其原因,主要是其分析綜合能力比較差。如果每一道題都能從分析到綜合或由綜合分析(兩頭湊)到綜合多練幾遍,這種現象就有可能大大減少。
如下圖,在平行四邊形ABCD中,M、N分別是BC、AD的中點,線段AM和CN分別交對角線BD于E、F。求證:BE=EF=FD。
■
1.分析法
要證:BE=EF=FD需要
■
2.綜合法
平行四邊形ABCD?圯BC∥AD,AD=BC
M、N分別是BC、AD的中點?圯AN=■ADCM=■BC?圯AN=CM
?圯四邊形AMCN是平行四邊形?圯AM∥CN
M是BC的中點?圯BM=CM
N是AD的中點?圯AN=DN
?圯BE=EFEF=FD?圯BE=EF=FD
3.分析綜合法(兩頭湊)
由已知:易知
AN=DN=■ADBM=MC=■BC四邊形ABCD是平行四邊形?圯AD■BC?圯AN■CM
?圯四邊形AMCN是平行四邊形
?圯AM∥CN
由未知:
BE=EF=FD需要BE=EF需要AN=DNNF∥AEDF=EF需要BM=CMME∥CF
這樣就達到了:由已知看可知
由未知看需知
四、一題多解,培養學生思維能力
一題多解可以變學生的單向思維為多向思維,開闊學生的視野。對于同一道題,從不同的角度去分析研究,可能會得到不同的啟示,從而引出多種不同的解法,或者通過不同的側面的觀察,將學生的思維觸角伸向不同的方向,擺脫固定的思維方式,發現思維過程中的不足,以完善學生的思維過程和思維品質。
如下圖,已知在?荀ABCD中,BF=DE,求證:四邊形AFCE是平行四邊形。
證法一:(利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)
在?荀ABCD中,AB=CD,AB∥CD
∵BF=DE
∴AF=CE
∵AF∥CE
∴四邊形AFCE是平行四邊形。
證法二:(利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形)
在?荀ABCD中,AB=CD,AD=BC,∠D=∠B
∵BF=DE
∴AF=EC
∵DE=BF,∠D=∠B,AD=BC
∴△ADE≌△CBF(SAS)
∴AE=CF
∴四邊形AFCE是平行四邊形。
證法三:(利用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形)
在?荀ABCD中,DC∥AB,AD=BC,∠D=∠B,AB=DC
∵∠DEA=∠EAF
∵DE=BF,∠D=∠B,AD=BC
∴△DAE≌△BCF(SAS)
∴∠CFB=∠DEA
∴∠EAF=∠CFB
∴AE∥CF
∴四邊形AFCE是平行四邊形。
證法四:(利用兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形)
在?荀ABCD中,∠D=∠B,∠DAC=∠DCB,
DC=AB,AD=BC
∵DE=BF,∠D=∠B,AD=BC
∴△ADE≌△CBF(SAS)
∴∠DEA=∠BFC,∠DAE=∠BCF
∵∠DEA+∠AEC=180°
∠BFC+∠AFC=180°
∴∠AEC=∠AFC
∵∠DAB=∠DCB,∠DAE=∠BCF
∴∠EAF=∠ECF
∴四邊形AFCE是平行四邊形。
幾何教學是需要我們不斷探索,不斷探究的,教學是要尋找教師與學生的結合點,幾何是要尋找文字→圖形→推理表達的有機統一體,我們只有不斷地自我提高,不斷對學生進行嚴格有序的推理訓練,才能有效地培養學生的邏輯推理能力和邏輯表達能力。
編輯 魯翠紅