低軌衛星精密定軌算法研究及初步結果分析

摘 要 衛星的精密定軌指的是從觀測數據中獲取指定預報開始時刻的高精度參數軌道。由于GPS觀測數據中不可避免的帶有隨機誤差和系統誤差等非線性影響因素，因而不可能確定一條能夠精確地擬合所有觀測值的軌道，所以需要利用大量的觀測數據使用統計學原理對航天器軌道狀態進行估計。本文以低軌衛星為研究對象，分析了精密定軌的基本理論方法，包括攝動力模型以及最小二乘估計法。最后分別通過批處理和遞推算法對GRACE-A衛星數據進行計算，實現了低軌衛星的定軌，并達到了一定的精度。

關鍵詞 精密定軌；非線性影響；最小二乘估計；遞推

中圖分類號：V19 文獻標識碼：A 文章編號：1671-7597（2014）19-0029-03

人造地球衛星的運動，可以當作是一個受攝二體問題，所涉及的數學模型是一個比較復雜的非線性動力學模型。從數學的角度上看，精密定軌就是將一個常微分方程問題轉化為邊值問題，再由邊值條件反過來確定初值。同時，在這個過程中，不能簡單的將一個初值問題轉化為邊值問題來求解，還需要用到大量觀測數據的統計特性，這將涉及到最優估計問題。

目前，在衛星精密定軌中，最為常用的是最小二乘估計法。傳統的最小二乘估計法是用于衛星的事后軌道確定，也稱為批處理算法定軌。批處理算法的優點是實現簡單，穩定性好，對先驗知識的要求少。但是，當觀測數據含有非線性誤差的時候，批處理算法不具有抗干擾性，得到的估值可能具有較大的偏差。

這種算法在觀測數據比較大的情況下，數據存儲量太大，不便于計算，因而又有人提出避免量大的遞推算法。遞推算法是將觀測序列按時間順序分成若干批，每次處理一批觀測量，得到定軌結果后帶到下一批數據中，從而遞推去處理下一批觀測量，與批處理算法中將一批觀測量進行處理獲得估計值不同。傳統的最小二乘估計是沒有初始估計的，但是利用遞推算法，也能夠導出有初始估計條件下的最小二乘估計公式。

本文研究的數據來源是星載GPS的位置速度信息，相當于一般研究中GPS幾何法定軌得到的實時定軌結果。這種結果精度不夠高，直接用于軌道預報時軌道狀態極易發射，必須進行進一步的處理。

1 最小二乘估計原理

對于衛星的運動，其數學模型如下：

以此類推，我們可以將觀測數據根據時間先后關系分成n批，一次只處理一批數據，然后舍掉這批數據，再遞推去處理下一批數據。但是，在處理低軌衛星數據時，由于模型的不確定性以及復雜性，每處理一批數據之后都需要帶到原始模型中進行修正。這樣一來，定軌精度會大大提高，但是復雜度也隨之增加。

2 衛星精密定軌

實際問題中，衛星運動所涉及的是非線性系統。由（2）式可知，對于狀態方程，向量函數f的作用有兩個，一個是用來作狀態轉移計算，即由X0算出Xl，就此而言，f的形式到底如何無關緊要，只要求它滿足相應的精度，特別是其中的衛星精密星歷計算；另一個作用是在測量方程線性化過程中提供相應的偏導數

條件方程中有兩組量要計算，分別是殘差yl和系數矩陣，前者涉及觀測量Y的類型，即相應的函數，而后者則涉及觀測量對狀態量的偏導數矩陣和狀態轉移矩

陣。

由于本文中觀測量的形式是位置和速度的GPS觀測信息，容易給出，狀態轉移矩陣是tl時刻軌道信息相對初始時刻t0軌道信息的偏導數，可根據動力學方程積分得到。

3 計算流程

由于本文中數據來源是GPS的速度位置信息，相當于是已經預處理過了的干凈數據。因此，針對之前對算法的分析，擬定的計算流程如下。

步驟一 確定各個參數的先驗信息。確定t0時刻的初始狀態X0。此時的X0為初始估計量，t0可取為觀測值間的任一時刻。

步驟二 計算觀測殘差和B矩陣。具體的過程就是最小二乘估計。

步驟三 軌道狀態計算。以X0為初值，選用合適的攝動力計算模型，計算出任一時刻t的瞬時軌道狀態。

步驟四 殘差分析。需要計算殘差的加權均方根RMS。加權均方根也就是加權殘差平方的均方根，而加權殘差表示的是真正殘差與觀測標準偏差的比值。對第j個觀測值，RMS的計算公式如下：

從上表可以看出，利用遞推算法的實時定軌精度要高于利用批處理進行的事后定軌精度。但是，在軟件計算的過程中，遞推算法所用的時間要遠高于批處理算法所用的時間。這也是之前所提到的，低軌衛星模型復雜，實時定軌過程中，每處理一批數據都要帶到模型中進行修正，計算的復雜程度也隨之

提高。

5 結論

本文對低軌衛星的精密定軌算法進行了研究，從經典的最小二乘法入手，介紹了批處理方法的原理，并結合他人所提的遞推算法，從傳統的事后定軌研究轉向對實時定軌進行研究。同時考慮了在低空情況下如何建立衛星的軌道模型問題，并在實時定軌過程中，結合軌道模型進行修正，達到了提高定軌精度的效果。但是，不足的是，改進的遞推算法計算過程比較復雜，耗時較長，這也是今后需要進行研究并改進的地方。

參考文獻

[1]Chen K. Real-Time Precise Point Positioning and Its Potential Applications[C]. ION GNSS 17th International Technical Meeting of the Satellite Division， Long Beach， CA， 2004.

[2]Lucchesi D M. The LAGEOS satellites orbital residuals determination and the way to extract gravitational and non-gravitational unmodeled perturbing effects[J]. Advances in Space Research， 2007， 39（10）：1559-1575.

[3]劉林.航天器軌道理論[M].北京：國防出版社，2000：

425-431.

[4]李濟生.人造衛星精密定軌確定[M].北京：解放軍難出版社，1995：5-13.

[5]Kouba J， Heroux P. GPS Precise Point Positioning Using IGS Orbit Projucts[J]. GPS Solution， 2001， 5（2）：12-28.

[6]益鵬舉，趙春梅.LAGEOS衛星精密定軌及San Juan站數據殘差分析[J].北京：北京測繪學會“拓普康杯”大地測量青年論文大賽，2009.

[7]Katagiri S J， Yamamoto Y K. Technology of precise orbit determination[J]. Fujitsu Scientific and Technical Journal， 2008， 44（4）：401-409.

[8]趙齊樂.GPS導航星座及低軌衛星的精密定軌理論和軟件研究[D].武漢：武漢大學，2004.

作者簡介

袁凡（1989-），湖北武漢人，碩士研究生，研究方向：航天器動力學與控制。endprint

摘 要 衛星的精密定軌指的是從觀測數據中獲取指定預報開始時刻的高精度參數軌道。由于GPS觀測數據中不可避免的帶有隨機誤差和系統誤差等非線性影響因素，因而不可能確定一條能夠精確地擬合所有觀測值的軌道，所以需要利用大量的觀測數據使用統計學原理對航天器軌道狀態進行估計。本文以低軌衛星為研究對象，分析了精密定軌的基本理論方法，包括攝動力模型以及最小二乘估計法。最后分別通過批處理和遞推算法對GRACE-A衛星數據進行計算，實現了低軌衛星的定軌，并達到了一定的精度。

關鍵詞 精密定軌；非線性影響；最小二乘估計；遞推

中圖分類號：V19 文獻標識碼：A 文章編號：1671-7597（2014）19-0029-03

人造地球衛星的運動，可以當作是一個受攝二體問題，所涉及的數學模型是一個比較復雜的非線性動力學模型。從數學的角度上看，精密定軌就是將一個常微分方程問題轉化為邊值問題，再由邊值條件反過來確定初值。同時，在這個過程中，不能簡單的將一個初值問題轉化為邊值問題來求解，還需要用到大量觀測數據的統計特性，這將涉及到最優估計問題。

目前，在衛星精密定軌中，最為常用的是最小二乘估計法。傳統的最小二乘估計法是用于衛星的事后軌道確定，也稱為批處理算法定軌。批處理算法的優點是實現簡單，穩定性好，對先驗知識的要求少。但是，當觀測數據含有非線性誤差的時候，批處理算法不具有抗干擾性，得到的估值可能具有較大的偏差。

這種算法在觀測數據比較大的情況下，數據存儲量太大，不便于計算，因而又有人提出避免量大的遞推算法。遞推算法是將觀測序列按時間順序分成若干批，每次處理一批觀測量，得到定軌結果后帶到下一批數據中，從而遞推去處理下一批觀測量，與批處理算法中將一批觀測量進行處理獲得估計值不同。傳統的最小二乘估計是沒有初始估計的，但是利用遞推算法，也能夠導出有初始估計條件下的最小二乘估計公式。

本文研究的數據來源是星載GPS的位置速度信息，相當于一般研究中GPS幾何法定軌得到的實時定軌結果。這種結果精度不夠高，直接用于軌道預報時軌道狀態極易發射，必須進行進一步的處理。

1 最小二乘估計原理

對于衛星的運動，其數學模型如下：

以此類推，我們可以將觀測數據根據時間先后關系分成n批，一次只處理一批數據，然后舍掉這批數據，再遞推去處理下一批數據。但是，在處理低軌衛星數據時，由于模型的不確定性以及復雜性，每處理一批數據之后都需要帶到原始模型中進行修正。這樣一來，定軌精度會大大提高，但是復雜度也隨之增加。

2 衛星精密定軌

實際問題中，衛星運動所涉及的是非線性系統。由（2）式可知，對于狀態方程，向量函數f的作用有兩個，一個是用來作狀態轉移計算，即由X0算出Xl，就此而言，f的形式到底如何無關緊要，只要求它滿足相應的精度，特別是其中的衛星精密星歷計算；另一個作用是在測量方程線性化過程中提供相應的偏導數

條件方程中有兩組量要計算，分別是殘差yl和系數矩陣，前者涉及觀測量Y的類型，即相應的函數，而后者則涉及觀測量對狀態量的偏導數矩陣和狀態轉移矩

陣。

由于本文中觀測量的形式是位置和速度的GPS觀測信息，容易給出，狀態轉移矩陣是tl時刻軌道信息相對初始時刻t0軌道信息的偏導數，可根據動力學方程積分得到。

3 計算流程

由于本文中數據來源是GPS的速度位置信息，相當于是已經預處理過了的干凈數據。因此，針對之前對算法的分析，擬定的計算流程如下。

步驟一 確定各個參數的先驗信息。確定t0時刻的初始狀態X0。此時的X0為初始估計量，t0可取為觀測值間的任一時刻。

步驟二 計算觀測殘差和B矩陣。具體的過程就是最小二乘估計。

步驟三 軌道狀態計算。以X0為初值，選用合適的攝動力計算模型，計算出任一時刻t的瞬時軌道狀態。

步驟四 殘差分析。需要計算殘差的加權均方根RMS。加權均方根也就是加權殘差平方的均方根，而加權殘差表示的是真正殘差與觀測標準偏差的比值。對第j個觀測值，RMS的計算公式如下：

從上表可以看出，利用遞推算法的實時定軌精度要高于利用批處理進行的事后定軌精度。但是，在軟件計算的過程中，遞推算法所用的時間要遠高于批處理算法所用的時間。這也是之前所提到的，低軌衛星模型復雜，實時定軌過程中，每處理一批數據都要帶到模型中進行修正，計算的復雜程度也隨之

提高。

5 結論

本文對低軌衛星的精密定軌算法進行了研究，從經典的最小二乘法入手，介紹了批處理方法的原理，并結合他人所提的遞推算法，從傳統的事后定軌研究轉向對實時定軌進行研究。同時考慮了在低空情況下如何建立衛星的軌道模型問題，并在實時定軌過程中，結合軌道模型進行修正，達到了提高定軌精度的效果。但是，不足的是，改進的遞推算法計算過程比較復雜，耗時較長，這也是今后需要進行研究并改進的地方。

參考文獻

[1]Chen K. Real-Time Precise Point Positioning and Its Potential Applications[C]. ION GNSS 17th International Technical Meeting of the Satellite Division， Long Beach， CA， 2004.

[2]Lucchesi D M. The LAGEOS satellites orbital residuals determination and the way to extract gravitational and non-gravitational unmodeled perturbing effects[J]. Advances in Space Research， 2007， 39（10）：1559-1575.

[3]劉林.航天器軌道理論[M].北京：國防出版社，2000：

425-431.

[4]李濟生.人造衛星精密定軌確定[M].北京：解放軍難出版社，1995：5-13.

[5]Kouba J， Heroux P. GPS Precise Point Positioning Using IGS Orbit Projucts[J]. GPS Solution， 2001， 5（2）：12-28.

[6]益鵬舉，趙春梅.LAGEOS衛星精密定軌及San Juan站數據殘差分析[J].北京：北京測繪學會“拓普康杯”大地測量青年論文大賽，2009.

[7]Katagiri S J， Yamamoto Y K. Technology of precise orbit determination[J]. Fujitsu Scientific and Technical Journal， 2008， 44（4）：401-409.

[8]趙齊樂.GPS導航星座及低軌衛星的精密定軌理論和軟件研究[D].武漢：武漢大學，2004.

作者簡介

袁凡（1989-），湖北武漢人，碩士研究生，研究方向：航天器動力學與控制。endprint

摘 要 衛星的精密定軌指的是從觀測數據中獲取指定預報開始時刻的高精度參數軌道。由于GPS觀測數據中不可避免的帶有隨機誤差和系統誤差等非線性影響因素，因而不可能確定一條能夠精確地擬合所有觀測值的軌道，所以需要利用大量的觀測數據使用統計學原理對航天器軌道狀態進行估計。本文以低軌衛星為研究對象，分析了精密定軌的基本理論方法，包括攝動力模型以及最小二乘估計法。最后分別通過批處理和遞推算法對GRACE-A衛星數據進行計算，實現了低軌衛星的定軌，并達到了一定的精度。

關鍵詞 精密定軌；非線性影響；最小二乘估計；遞推

中圖分類號：V19 文獻標識碼：A 文章編號：1671-7597（2014）19-0029-03

人造地球衛星的運動，可以當作是一個受攝二體問題，所涉及的數學模型是一個比較復雜的非線性動力學模型。從數學的角度上看，精密定軌就是將一個常微分方程問題轉化為邊值問題，再由邊值條件反過來確定初值。同時，在這個過程中，不能簡單的將一個初值問題轉化為邊值問題來求解，還需要用到大量觀測數據的統計特性，這將涉及到最優估計問題。

目前，在衛星精密定軌中，最為常用的是最小二乘估計法。傳統的最小二乘估計法是用于衛星的事后軌道確定，也稱為批處理算法定軌。批處理算法的優點是實現簡單，穩定性好，對先驗知識的要求少。但是，當觀測數據含有非線性誤差的時候，批處理算法不具有抗干擾性，得到的估值可能具有較大的偏差。

這種算法在觀測數據比較大的情況下，數據存儲量太大，不便于計算，因而又有人提出避免量大的遞推算法。遞推算法是將觀測序列按時間順序分成若干批，每次處理一批觀測量，得到定軌結果后帶到下一批數據中，從而遞推去處理下一批觀測量，與批處理算法中將一批觀測量進行處理獲得估計值不同。傳統的最小二乘估計是沒有初始估計的，但是利用遞推算法，也能夠導出有初始估計條件下的最小二乘估計公式。

本文研究的數據來源是星載GPS的位置速度信息，相當于一般研究中GPS幾何法定軌得到的實時定軌結果。這種結果精度不夠高，直接用于軌道預報時軌道狀態極易發射，必須進行進一步的處理。

1 最小二乘估計原理

對于衛星的運動，其數學模型如下：

以此類推，我們可以將觀測數據根據時間先后關系分成n批，一次只處理一批數據，然后舍掉這批數據，再遞推去處理下一批數據。但是，在處理低軌衛星數據時，由于模型的不確定性以及復雜性，每處理一批數據之后都需要帶到原始模型中進行修正。這樣一來，定軌精度會大大提高，但是復雜度也隨之增加。

2 衛星精密定軌

實際問題中，衛星運動所涉及的是非線性系統。由（2）式可知，對于狀態方程，向量函數f的作用有兩個，一個是用來作狀態轉移計算，即由X0算出Xl，就此而言，f的形式到底如何無關緊要，只要求它滿足相應的精度，特別是其中的衛星精密星歷計算；另一個作用是在測量方程線性化過程中提供相應的偏導數

條件方程中有兩組量要計算，分別是殘差yl和系數矩陣，前者涉及觀測量Y的類型，即相應的函數，而后者則涉及觀測量對狀態量的偏導數矩陣和狀態轉移矩

陣。

由于本文中觀測量的形式是位置和速度的GPS觀測信息，容易給出，狀態轉移矩陣是tl時刻軌道信息相對初始時刻t0軌道信息的偏導數，可根據動力學方程積分得到。

3 計算流程

由于本文中數據來源是GPS的速度位置信息，相當于是已經預處理過了的干凈數據。因此，針對之前對算法的分析，擬定的計算流程如下。

步驟一 確定各個參數的先驗信息。確定t0時刻的初始狀態X0。此時的X0為初始估計量，t0可取為觀測值間的任一時刻。

步驟二 計算觀測殘差和B矩陣。具體的過程就是最小二乘估計。

步驟三 軌道狀態計算。以X0為初值，選用合適的攝動力計算模型，計算出任一時刻t的瞬時軌道狀態。

步驟四 殘差分析。需要計算殘差的加權均方根RMS。加權均方根也就是加權殘差平方的均方根，而加權殘差表示的是真正殘差與觀測標準偏差的比值。對第j個觀測值，RMS的計算公式如下：

從上表可以看出，利用遞推算法的實時定軌精度要高于利用批處理進行的事后定軌精度。但是，在軟件計算的過程中，遞推算法所用的時間要遠高于批處理算法所用的時間。這也是之前所提到的，低軌衛星模型復雜，實時定軌過程中，每處理一批數據都要帶到模型中進行修正，計算的復雜程度也隨之

提高。

5 結論

本文對低軌衛星的精密定軌算法進行了研究，從經典的最小二乘法入手，介紹了批處理方法的原理，并結合他人所提的遞推算法，從傳統的事后定軌研究轉向對實時定軌進行研究。同時考慮了在低空情況下如何建立衛星的軌道模型問題，并在實時定軌過程中，結合軌道模型進行修正，達到了提高定軌精度的效果。但是，不足的是，改進的遞推算法計算過程比較復雜，耗時較長，這也是今后需要進行研究并改進的地方。

參考文獻

[1]Chen K. Real-Time Precise Point Positioning and Its Potential Applications[C]. ION GNSS 17th International Technical Meeting of the Satellite Division， Long Beach， CA， 2004.

[2]Lucchesi D M. The LAGEOS satellites orbital residuals determination and the way to extract gravitational and non-gravitational unmodeled perturbing effects[J]. Advances in Space Research， 2007， 39（10）：1559-1575.

[3]劉林.航天器軌道理論[M].北京：國防出版社，2000：

425-431.

[4]李濟生.人造衛星精密定軌確定[M].北京：解放軍難出版社，1995：5-13.

[5]Kouba J， Heroux P. GPS Precise Point Positioning Using IGS Orbit Projucts[J]. GPS Solution， 2001， 5（2）：12-28.

[6]益鵬舉，趙春梅.LAGEOS衛星精密定軌及San Juan站數據殘差分析[J].北京：北京測繪學會“拓普康杯”大地測量青年論文大賽，2009.

[7]Katagiri S J， Yamamoto Y K. Technology of precise orbit determination[J]. Fujitsu Scientific and Technical Journal， 2008， 44（4）：401-409.

[8]趙齊樂.GPS導航星座及低軌衛星的精密定軌理論和軟件研究[D].武漢：武漢大學，2004.

作者簡介

袁凡（1989-），湖北武漢人，碩士研究生，研究方向：航天器動力學與控制。endprint