3UPS-S并聯機構單支鏈驅動奇異分析

韓先國 劉巖龍

(北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京100191)

隨著并聯機構理論研究的發展與成熟，并聯機構的應用領域越來越廣泛，包括并聯機床［1－2］、并聯轉臺［3］、裝配對接機構［4－5］等.并聯機構是一種由多個并行支鏈構成的閉環系統，與傳統串聯機構相比，具有高剛度、高精度、高承載能力、結構簡單等優點［6－7］.

然而并聯機構也有缺點，奇異問題就是廣泛存在于并聯機構中的一個固有難題，常見的有工作空間的位姿奇異和邊界奇異［8］.當并聯機構發生位姿奇異時，鎖定所有支鏈的驅動，動平臺仍具有一個特定的瞬時螺旋運動，并聯機構會發生失控的危險;當發生邊界奇異時，并聯機構會失去某個方向的運動自由度，此時無論多大的輸入驅動，都不能使動平臺產生運動，并聯機構到達位姿空間邊界.

目前已經有大量文獻研究了工作空間的奇異問題［9－10］，但已有的研究成果主要是從動平臺工作空間來分析奇異問題，很少有文獻從并聯機構支鏈的輸入空間對奇異問題進行研究.因此本文通過對3UPS-S并聯轉臺單支鏈驅動問題進行分析，研究了并聯機構的輸入空間奇異問題，發現單支鏈驅動奇異即為位姿奇異，給出了并聯機構輸入空間邊界的定義，最后確定了并聯機構單支鏈歸零的一般策略.

1 問題提出

為實現空間3自由度的轉動功能，設計了一種3UPS-S并聯轉臺，用于運動姿態模擬，其結構形式如圖1所示.該機構由動平臺、靜平臺、中間支撐立柱和3個UPS支鏈組成，支鏈與靜平臺通過虎克鉸U連接，與動平臺通過球鉸S連接，支鏈中間有移動副P.支撐立柱與動平臺通過球鉸連接，與靜平臺固連.

圖1 3UPS-S并聯轉臺原理圖

給定動平臺的目標位姿，利用位置反解算法可以得到各支鏈的驅動桿長，通過驅動3個支鏈的移動副，改變支鏈桿長，對動平臺進行運動控制;已知各支鏈桿長時，利用位置正解算法可以求出動平臺的位姿角，再進行驅動控制.但是當遇到突發情況，比如突然斷電，系統重啟后，丟失支鏈桿長值信息，又沒有動平臺的位姿角度，無法對并聯轉臺進行運動控制.

發生這種情況時，需要進行各支鏈歸零，就是使支鏈回到初始桿長.在支鏈移動副中有零位開關，驅動支鏈伸縮到達零位開關，就實現了支鏈歸零.目前的歸零方法是固定2個支鏈桿長不變，單獨對第3個支鏈桿長進行調整，多次調整單支鏈桿長完成歸零.這種調整方法存在問題是，當固定2個支鏈桿長時，第3支鏈桿長無法實現全行程，在運動到某個桿長值后受到系統結構約束就無法再驅動，下面分析產生這種問題的原因.

2 單支鏈驅動的運動分析

2.1 利用旋量互易積求解動平臺角速度

在并聯機構動平臺處于某個位姿時，固定2個支鏈桿長不變，分析第3個支鏈以及動平臺的運動特點，如圖2所示.

圖2 并聯機構單支鏈運動分析

支鏈對動平臺的作用力為 Fi(i=1，2，3)，對動平臺中心取矩為Ri×Fi，則支鏈對動平臺的力矢為(Fi，Ri× Fi)，改寫為 fi(li，Ri× li)，其中 fi表示支鏈力數值，li表示支鏈方向向量.動平臺轉動角速度為ω，由于中間支撐立柱的約束，不能移動，因此動平臺的運動螺旋可表示為 =(ω，0).

支鏈1和支鏈2桿長固定，其支鏈力矢只對動平臺產生約束作用，對動平臺運動螺旋做功為零，因此支鏈1和2力矢與動平臺運動螺旋互易積為零，即

展開為

支鏈力不為0，將上式化簡為

即

該齊次線性方程組只有2個方程，求解動平臺角速度向量ω會有無窮多解，取其模長為1的基礎解ω0作為動平臺角速度方向向量.

接下來可以求出球鉸A3的速度方向向量

將vA3向支鏈3投影，得到沿支鏈軸向驅動速度:

該投影值v3的物理含義為:動平臺的速度矢量模長為1時，支鏈3需要的驅動速度值.當支鏈3軸向速度v3≠0時，支鏈3可以伸縮運動;如果v3=0，則球鉸速度vA3垂直于支鏈l3，支鏈3不能進行伸縮運動，即支鏈3受到結構約束無法驅動.

2.2 計算實例

將上述分析結果應用于3UPS-S并聯機構，動平臺的工作空間用ZXZ歐拉角描述，具體為進動角 ψ =0～360°，章動角 θ=0～54°，自旋角 φ =－ψ，反解計算出3個支鏈的行程:

各支鏈的零位姿初始桿長值分別為

使支鏈1和2保持零位姿桿長值，支鏈3桿長為

其中ΔL表示支鏈3桿長變化量，其取值范圍為－86～86 mm，即動平臺實現工作空間時支鏈的全行程.進行支鏈3軸向速度計算的流程圖如圖3所示.

圖3 計算流程圖

從圖4的曲線可知，當支鏈3桿長變化量為－28 mm時，支鏈3的軸向驅動速度v3=0，此時支鏈3不能再進行驅動，因此支鏈3可驅動的桿長變量范圍為－28～86 mm.

圖4 支鏈3球鉸速度方向向量沿支鏈軸向分量

2.3 單支鏈驅動特點

固定3UPS-S并聯轉臺的2個支鏈，只對第3個支鏈進行驅動時，由于結構限制，其驅動范圍具有邊界，小于整個運動行程，單支鏈驅動桿長不能任意取值.

3 單支鏈驅動邊界時的奇異分析

3.1 單支鏈驅動奇異與位姿奇異的關系

并聯轉臺進行單支鏈驅動到達邊界時，機構不能正常運動，將這種現象稱為支鏈驅動奇異.為了分析并聯機構發生驅動奇異時的約束情況，以圖5所示的單支鏈運動機構進行說明.

圖5 單支鏈運動機構

圖5的單支鏈運動機構中，連桿在驅動支鏈的伸縮桿作用下繞立柱固定點轉動.當連桿旋轉到與驅動支鏈共線時，驅動支鏈不能再伸長，桿長到達邊界.此時支鏈的驅動力與立柱約束力共線，發生線性相關，支鏈不能再驅動.

同理，當并聯轉臺的單支鏈運動到達邊界時，該支鏈受到結構約束而不能再驅動，說明此時并聯機構已具有沿第3支鏈方向的約束，第3支鏈與其他2個支鏈的約束產生線性相關.

并聯轉臺的3個支鏈發生線性相關后，必然有1個支鏈的約束不起作用，系統的有效約束只剩下2個自由度，而動平臺具有3個運動自由度，并聯轉臺處于欠約束的狀態下，整個機構位于奇異位姿.

因此可以判定并聯機構單支鏈驅動到達邊界時，并聯機構發生位姿奇異，即單支鏈驅動奇異就是位姿奇異.

3.2 并聯機構輸入空間邊界定義

在單支鏈驅動到達邊界時，并聯機構發生位姿奇異，其雅可比矩陣降秩，3個支鏈線性相關.對并聯機構此時的速度關系進行分析.

式(7)中的系數矩陣即為雅可比矩陣，記為J，由式(7)可得

其中Ji表示雅可比矩陣的第i行.在奇異位姿處，雅可比矩陣的各行線性相關，因此有

其中k1和k2表示常系數.將式(9)代入式(8)可得

化簡為即支鏈3的驅動速度與支鏈1和2的驅動速度相關.此時并聯機構各支鏈的速度不能獨立取值，各支鏈到達了位置空間邊界.

從以上分析可以定義并聯機構的輸入空間邊界:當并聯機構發生位姿奇異時，各支鏈線性相關，支鏈驅動速度也線性相關，有一個支鏈的速度不能獨立輸入，從而使得輸入向量降維，在該點處支鏈輸入空間到達邊界.

因此，當并聯機構到達輸入空間邊界時，單支鏈發生驅動奇異，引起了各支鏈線性相關，并聯機構處于奇異位姿.

4 單支鏈歸零策略

3UPS-S并聯轉臺進行支鏈歸零時，應使并聯機構盡量避開奇異位姿，遠離輸入空間邊界.根據文獻［11］研究，在靠近工作空間零位姿處，并聯機構不容易發生奇異.因此通過單支鏈調整，使動平臺接近工作空間零位姿，來達到支鏈歸零的目的.

在任意位姿下，3UPS-S并聯轉臺3個支鏈的最長桿與最短桿差值越大，動平臺的位姿角就越大.因此可以先將3個支鏈中的最長桿縮短，再將最短桿伸長，使3個支鏈桿長接近，這樣就可以遠離奇異位姿和支鏈桿長邊界.

在進行支鏈桿長調整時，不能一次對某個支鏈進行大范圍調整，而應按照少量多次的原則，每次對最長桿和最短桿調整較小的長度，分多次完成調整，才能避免單支鏈驅動到達輸入邊界.

這種單支鏈歸零策略在實際應用于3UPS-S并聯轉臺后，可以取得較好的位姿調整效果，能夠使并聯轉臺各支鏈順利回到零位置.

5 結論

1)并聯機構進行單支鏈驅動具有邊界，桿長不能任意取值;

2)并聯機構的輸入空間驅動奇異就是工作空間位姿奇異，此時并聯機構到達輸入空間邊界;

3)并聯機構單支鏈驅動歸零策略為:先將各支鏈中的最長桿縮短，再將最短桿伸長，并且分多次調整支鏈桿長，每次調整較小幅度.

References)

［1］Chanal H，Duc E，Ray P，et al.A new approach of the geometrical calibration of parallel kinematics machines tools based on the machining of a dedicated part［J］.International Journal of Machine Tools and Manufacturing，2007，47(7/8):1151-1163

［2］Daniel K，Philippe W，Damien C.Kinematic analysis of a serialparallel machine tool:the VERNE machine［J］.Mechanism and Machine Tool，2009，44(2):487 －498

［3］魏敏和，韓先國，張軍.3-UPS/S并聯轉臺球鉸鏈的優化研究［J］.航天制造技術，2011(3):19 －23 Wei Minhe，Han Xianguo，Zhang Jun.Optimization research of spherical joints in 3-UPS/S parallel rotational table［J］.Aerospace Manufacturing Technology，2011(3):19 － 23(in Chinese)

［4］熊濤.衛星自動對接技術研究［J］.航空制造技術，2011(22):36－39 Xiong Tao.Automatic docking technology of satellite［J］.Aeronautical Manufacturing Technology，2011(22):36 －39(in Chinese)

［5］曲艷麗，趙明揚，張崇峰.空間對接機構緩沖系統及其運動學建模［J］.上海航天，2002(1):13－16 Qu Yanli，Zhao Mingyang，Zhang Chongfeng.Damping mechanism for space docking and its kinematics modeling［J］.Aerospace Shanghai，2002(1):13 － 16(in Chinese)

［6］溫兆麟，陳新，敖銀輝，等.并聯機構應用的領域及其構型研究［J］.機床與液壓，2005(5):6－9 Wen Zhaolin，Chen Xin，Ao Yinhui，et al.Application area and structure study of parallel mechanism［J］.Machine Tool＆ Hydraulics，2005(5):6 －9(in Chinese)

［7］Cha S H，Lasky T A，Velinsky S A.Determination of the kinematically redundant active prismatic joint variable ranges of a planar parallel mechanism for singularity-free trajectories［J］.Mechanism and Machine Theory，2009，44(5):1032 －1044

［8］曹永剛，張玉茹.6-RSS型并聯機構奇異性分析［J］.機械工程學報，2008，44(6):79 －87 Cao Yonggang，Zhang Yuru.Singularity analysis for 6-RSS parallel mechanism［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2008，44(6):79 －87(in Chinese)

［9］Sandipan B，Ashitava G.Analysis of configuration space singluarities of closed-loop mechanism and parallel manipulators［J］.Mechanism and Machine Theory，2004(39):519 －544

［10］Fang Hairong，Fang Yuefa，Zhang Ketao.Reciprocal screw theory based singularity analysis of a novel 3-DOF parallel manipulator［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2012，25(4):647－653

［11］韓先國，陳五一.利用位置正解分析并聯機構奇異分布規律［J］.自然科學進展，2005，15(5):631 －635 Han Xianguo，Chen Wuyi.Analysis of the rule of singularity in parallel mechanism via the forward displacement solution［J］.Process in Natural Science，2005，15(5):631 － 635(in Chinese)