尋找勾股數組的歷程

趙國瑞

勾股定理反映了各數之間存在著的一種關系——x2+y2=z2，歷史上稱它為勾股方程。古人很早就知道32+42=52，即3，4，5滿足這個方程。后來陸續發現的還有5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41，……這些三個一組滿足勾股方程的數就稱為“勾股數組”。

古代很多數學家都曾提出過勾股數組的計算公式。

上述的每種表達式都可以寫出無數組勾股數，但都不能寫出所有的勾股數組。例如，不能寫出（8，15，17）這組勾股數，因為在畢達哥拉斯的表達式所得的勾股數中，總有兩個相鄰的數（b，c相鄰），而在柏拉圖的表達式中，總有兩個數的差等于2（c-b=2）。

這是大家熟悉且常用的表達式，利用丟番圖的表達式所得的勾股數組，仍然不能算出所有的勾股數組，例如“9，12，15”這組勾股數就不包含在其中。

值得驕傲的是，歐幾里得的勾股數組表達式并不比丟番圖的勾股數組表達式遜色。因為只要在歐幾里得的勾股數組表達式中，令p=2m2，q=2n2就得到丟番圖的勾股數組表達式。但是在歐幾里得的勾股數組表達式中，令p=27，q=3，所得的一組勾股數組（9，12，15）是不可能從丟番圖的勾股數組表達式中直接獲得的，從這一點上說，歐幾里得的勾股數組表達式要比丟番圖的勾股數組表達式優越。