如何獲取最大利益？

王永寬

不等式（組）的知識是初中數學中的難點，同時也是中考的熱點. 不等式（組）的知識在我們的實際生活中也有著廣泛的應用，真正體現了數學來源于生活，又服務與生活. 近幾年來，應用不等式（組）的知識解決實際問題的試題倍受命題者的青睞，在中考試題中也頻頻亮相.現就如何獲取最大利益精選幾例分析如下，供同學們鑒賞.

例1 世紀公園的票價是：每人5元；一次購票滿30張，每張可少收1元. 某班有27名少先隊員去世紀公園進行活動. 當領隊王小華準備好了零錢到售票處買27張票時，愛動腦筋的李敏同學喊住了王小華，提議買30張票. 但有的同學不明白，明明我們只有27個人，買30張票，豈不是“浪費”嗎？

【解析】買27張票的錢=27×5=135（元），買30張票的錢=30×（5-1）=120（元），

由于135>120，所以購買30張票不僅不“浪費”，反而更省錢.

【思維點撥】設購買x張門票.由5x=120可得x=24.這說明當x=24即購買24張門票時，其費用與購買30張門票的費用相等.由此可知：當x≤24時，應直接按每人5元購買x張門票；當24

例2 某市移動通訊公司開設了兩種通訊業務：“全球通”使用者先繳30元/月基礎費，然后每通話1分鐘，再付電話費0.1元，“神州行”不繳月基礎費，每通話1分鐘，付電話費0.2元.假設一個月的通話時間為x分鐘，兩種通訊方式的費用分別為y↓1元和y↓2元.

（1） 試用x的代數式分別表示出y↓1、y↓2的值；

（2） 一個月內通話多少分鐘時，兩種通訊方式的費用相同？

（3） 若某人預計一個月內通話費80元，則應選擇哪種通訊方式較合算？

【解析】（1） y↓1=0.1x+30，y↓2=0.2x；（2） 令y↓1=y↓2得0.1x+30=0.2x，解得x=300（分鐘）.所以一個月內通話300分鐘時，兩種通訊方式的費用相同；（3） 由y↓1=80得0.1x+30=80，解得x=500（分鐘）；由y↓2=80得0.2x=80，解得x=400（分鐘）.由于500>400，所以應選擇“全球通”方式比較合算.

【思維點撥】問題（3）的解題關鍵是先將兩種通訊方式下的通話時間分別求出來，然后進行比較大小，從而確定出哪種通訊方式比較合算.類似于問題（3）類型的問題還可采用如下的一般解法：令y↓1=y↓2得0.1x+30=0.2x，解得x=300（分鐘）.此時y↓1=y↓2=60（元）.所以一個月內通話時間為300分鐘時，兩種通訊方式的費用相同，其費用為60元；令y↓1>y↓2得0.1x+30>0.2x，解得x<300（分鐘）. 此時60>y↓1>y↓2.所以一個月內通話時間小于300分鐘或通話費用小于60元時，“神州行”方式比較合算；令y↓1300（分鐘）.此時60

例3 新知中學初三年級準備購買10只米奇品牌的筆袋，每只筆袋配x（x≥3）支水筆作為獎品，已知A、B兩家超市都有這個牌子的筆袋和水筆出售，而且每只筆袋的標價都為20元，每支水筆的標價都為1元，現兩家超市正在促銷，A超市所有商品均打九折銷售，而B超市買1只筆袋送3支水筆，若僅考慮購買筆袋和水筆的費用，請解答下列問題：

（1） 如果只在某一家超市購買所需筆袋和水筆，那么去A超市還是B超市買更合算？

（2） 當x=12時，請設計最省錢的購買方案.

【解析】（1） 設在A超市購買的費用為y↓1元，在B超市購買的費用為y↓2元，則據意得：

y↓1=（10×20+10x）×90%=9x+180，y↓2=10×20+10（x-3）=10x+170；

令y↓1>y↓2得9x+180>10x+170，解得x<10.所以當3≤x<10時，去B超市更合算；令y↓1=y↓2得9x+180=10x+170，解得x=10.所以當x=10時，兩家超市的費用一樣，可任選其中一家超市購買；令y↓110.所以當x>10時，去A超市更合算.

綜上所述：當x>10時，去A超市購買更合算；當x=10時，去A超市或B超市購買一樣；當3≤x<10時，去B超市購買更合算.

（2） 當x=12時，即購買10只筆袋，應配120支水筆.由于x=12>10，若只在一家超市購買所需筆袋和水筆，則顯然是去A超市更合算.但問題（2）并沒有像問題（1）那樣限定只在一家超市購買，故而可同時選擇去兩家超市購買，其購買方案如下：設總費用為w，在A超市買m只筆袋，則在B超市買（10-m）只筆袋，送3（10-m）支水筆. 因為A超市所有商品均打九折銷售，所以剩下[120-3（10-m）]支水筆應在A超市買.據意得：w=0.9[20m+120-3（10-m）]+20（10-m），即 w=0.7m+281（0≤m≤10）.顯然當m=0時，w的值最小，其最小值為w=281. 綜上所述：當x=12時，最省錢的購買方案為：只在B超市購買10只筆袋，同時獲得送30支水筆，然后再去A超市按九折購買90支水筆.

【思維點撥】由于問題（1）限定了只在一家超市購買筆袋和水筆，所以其購買方案有兩種：一種是全部去A超市，第二種是全部去B超市，究竟去哪家超市更合算顯然取決于x的取值.而問題（2）并沒有限定只在一家超市購買筆袋和水筆，所以其購買方案有三種：一種是全部去A超市，第二種是全部去B超市，第三種是同時選擇去兩家超市購買，考慮到A超市所有商品均打九折銷售，故除贈送的部分水筆外，其余差缺的水筆應在A超市購買.

【鞏固練習】

1. 小王大學畢業后去兩家超市應聘：A超市底薪為1 000元再加上每月銷售額的10%；B 超市底薪為600元再加上每月銷售額的20%.如果你是小王，那么該選擇去哪家超市上班？

2. 某服裝廠生產一種西裝和領帶，西裝每套定價200元，領帶每條定價40元. 廠方在開展促銷期間，向客戶提供兩種優惠方案：（1） 買一套西裝送一條領帶；（2） 西裝和領帶均按定價的90%付款.某商店老板現要到該服裝廠購買西裝20套，領帶x（x>20）條. 聰明的你，請你幫助該商店老板設計出最省錢的購買方案.

【參考答案】

1. 設每月銷售額為x元，A超市的工資為y↓1元，B超市的工資為y↓2元.據意得：

y↓1=1 000+10%x；y↓2=600+20%x.

令y↓1=y↓2得1 000+10%x=600+20%x，解得x=4 000；

令y↓1>y↓2得1 000+10%x>600+20%x，解得x<4 000；

令y↓14 000；

綜上所述：若小王每個月的銷售額小于4 000元，那么應該選擇去A超市上班；若小王每個月的銷售額等于4 000元，那么去A超市或B超市的工資是一樣的，可任選一家超市去上班；若小王每個月的銷售額大于4 000元，那么應該選擇去B超市上班.

2. 本題有三種購買方案：第一種是按優惠方案（1）購買，第二種是按優惠方案（2）購買，第三種是同時選擇兩種優惠方案購買.

方案①：只選擇優惠方案（1）購買，設其購買費用為y↓1元，據意得：

y↓1=200×20+（x-20）×40=40x+3 200.

方案②：只選擇優惠方案（2）購買，設其購買費用為y↓2元，據意得：

y↓2=（200×20+40x）×90%=36x+3 600.

令y↓1>y↓2得40x+3 200>36x+3 600，解得x>100；

令y↓1=y↓2得40x+3 200=36x+3 600，解得x=100；

令y↓1

由此可見：當x>100時，方案②比方案①省錢；當x=100時，方案①與方案②的費用相同；

當x<100時，方案①比方案②省錢.

方案③：同時選擇兩種優惠方案，為了能獲得廠方贈送領帶的數量最多，又同時享受9折優惠，可采用先按方案①購買20 套西裝并獲贈20條領帶，然后余下（x-20）條領帶按優惠方案②購買，設其購買費用為y↓3元，據意得：

y↓3=200×20+（x-20）×40×90%=36x+3 280.

由于3 600>3 280，顯然方案③比方案②省錢.

方案③與方案①比較，令y↓320，所以當x>20時，方案③比方案①省錢.

綜上所述，當x>20時，按方案③購買最省錢.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區實驗初級中學）