基于最優格拉斯曼序列的多用戶檢測*

陸家明，汪立新，2，祁 浩

0 引言

在CDMA系統中，常見的CDMA擴頻碼本能夠容納的用戶數一般都不超過擴頻碼的長度，如m序列、Gold序列。當頻帶資源受限，激活用戶數超過擴頻碼本長度時，稱該CDMA系統處于“過載”狀態，相應地就必須考慮能夠容納更多用戶數的碼本［1］。WBE(Welch Bound Equality)序列是指總平方互相關達到最低的序列，能夠用來組建“過載”狀態下CDMA系統的擴頻碼本［2－3］。最優格拉斯曼序列又被稱為MWBE(Maximum Welch Bound E-quality)序列，是一種特殊的WBE序列。相比于一般的WBE序列，最優格拉斯曼序列具有更穩定的結構，所有元素間均具有相同的互相關，更適合用來作為CDMA的擴頻碼本［4－5］。然而，當系統“過載”時，用戶間的干擾就會變的非常大，雖然最優格拉斯曼序列是所有相同大小的碼本中，序列間最不相關的碼本，但是采用已有的多用戶檢測方法還是會有較大的誤碼率。本文借鑒了文獻［6］中對于二值優化問題的處理方法，提出了一種基于最優格拉斯曼序列的多用戶檢測預處理的方法，使得系統的誤碼率得到進一步的降低，并且能夠同時減少后續多用戶檢測的運算量。

1 CDMA信道模型

考慮某一同步CDMA系統，總共有N個用戶，擴頻增益為m，即每個用戶都用一個長度為m的序列進行擴頻，令 sk表示第k個用戶的擴頻碼，且‖sk‖ =1，k=1，2，…，N，其中，‖·‖為 l2范數。定義矩陣 S= [s1，s2，…，sN]。在一個符號周期內，到達接收機的信號可以用下式來表示:

式中，Ak表示第k個用戶的信號到達幅度，bk表示第k個用戶發送的信息，n表示高斯白噪聲。經過匹配濾波器后，信號可以表示為:

式中，A=diag{ A1，A2，…，AN}，R為碼本的互相關矩陣。

最優多用戶檢測［7］是用窮舉的方法挑選出最可能的比特序列，又被稱為最大似然序列檢測(Maximum Likelihood Sequences Detection，MLSD)。最優多用戶檢測可用如下式子表示:

式中，H=ARA。最優多用戶檢測理論上可以通過最優多用戶檢測方法使系統達到最低的誤碼率，但是由于過于復雜的計算，最優多用戶檢測很難在實際中得到應用［8］。

2 二值優化問題

首先給出形如下式的二值優化問題:

式中，B是一個N×N的對稱矩陣，其非對角線元素相對于對角線元素擁有較小的值。對于式(4)中的矩陣B可以作如下分解:

式中，Bd是由B中的對角線元素組成的對角矩陣，B+和B－分別保留了B中所有正的和負的非對角元素，其余值取0。設中，xi，xj∈{0，1}，1≤i，j≤N則對于任一i，Q(x)可以分解為:

式中，qi表示與xi無關的項。由于xi只能取0或者1，因此xi滿足xi=x2i，則上式可進一步簡化為

假設除xi外，其他值均已得到最優判決，pi的值便可以確定，則

根據上式的取值條件，對應地可以得到

則

而對于ˉpi，根據式(5)有

式(13)的最后一步是基于這樣一個簡單的推斷:由于 xj只能取 0 和 1，則當 Bij＞0 時，xj取 1，當 Bij＜0時，xj取0，能使求和部分夠取得最大值。同理，有

這樣式(12)便可以寫成如下形式:

而對于式(4)，最優判決表達式可以寫成如下的形式:

3 多用戶檢測預處理方法

為了將上一節的方法運用到多用戶檢測中，可將最優多用戶檢測的表達式(3)稍作修改，寫成如下形式:

設^b=2ˉb－e，其中e為所有元素均為1的列向量，這樣，ˉb中的0，{}1分別對應于^b中的－1，{}1。則式(17)可以轉化為:

式(18)最后一步中省略了常數項。采用最優格拉斯曼序列作為擴頻碼本時，根據框架理論中最優格拉斯曼框架的概念可知，碼本的互相關達到了最低，而且任意兩個用戶間的互相關是相等的。因此，最優格拉斯曼序列的互相關矩陣中有較小的非對角線元素，此時的H滿足式(4)中B的條件。這樣，最優多用戶檢測便轉化為式(4)的形式，而式(16)的判決條件可以轉化為:

根據式(19)便可對接收信號進行多用戶檢測前的預處理，對某些符合上述判決條件的用戶信號進行提前判決，且該判決是最優的。隨后，從總接收信號中去掉這些已經得到判決的用戶的信號。對于剩余的無法最優判決的用戶信號，可通過前面提到的多用戶檢測方法進行檢測。由于預處理后的接收信號中已經去掉了最優判決的用戶信號，后續的多用戶檢測所需檢測的用戶數得到了降低，而且同時減小了剩余信號中的用戶間干擾，使得再用多用戶檢測技術解調時變得更加簡單，系統的誤碼率性能得到了改善。根據式(4)中對矩陣B的要求可知，在多用戶檢測中使用上述預處理方法時，要求系統所使用的碼本具有較低的互相關度。

當系統采用最優格拉斯曼序列作為擴頻碼本時，根據框架理論中最優格拉斯曼框架［9］的概念可知，碼本的互相關達到了最低，而且任意兩個用戶間的互相關是相等的。因此，最優格拉斯曼序列的互相關矩陣中有較小的非對角線元素，且這些元素的絕對值均相等，滿足上述預處理方法的要求。設最優格拉斯曼序列中任意兩個用戶的互相關為ρ，則:

使用最優格拉斯曼序列時，若有良好的功率控制，所有用戶信號的到達功率均為A，則上述式(19)的判決條件可進一步簡化為:

式中，ˉN表示系統中的激活用戶數。

圖1為使用上述預處理方法的解相關［10］多用戶檢測和單純的解相關多用戶檢測時，系統中所有用戶的平均誤碼率仿真結果，其中，系統均采用10，()16最優格拉斯曼序列作為用戶的擴頻碼本，激活用戶數為11，即系統處于“過載”狀態，并假設系統處于高斯白噪聲環境，且具有理想的功率控制。從圖中可以看出，使用預處理方法后，系統的誤碼率得到了改善。而圖2為信噪比固定為8 dB，激活用戶數從2逐漸增加到16的過程中，使用預處理方法和不使用預處理方法的解相關多用戶檢測誤碼率。從圖中可以看出，在各種用戶數條件下，使用預處理方法的多用戶檢測技術均具有較明顯的優勢，尤其是在用戶數較多，用戶間干擾較大時。而且該預處理方法屬于簡單的硬判決，本身的計算量較低，判決之后，剩余信號中的用戶數和用戶間干擾均得到了降低，在一定程度上也為后續的多用戶檢測減少了運算量。

圖1 使用預處理方法和不使用預處理方法的解相關多用戶檢測誤碼率

圖2 不同激活用戶數情況下使用預處理方法的解相關多用戶檢測誤碼率

4 結語

針對CDMA系統“過載”狀態下用戶間干擾過高的問題，本文提出了一種基于最優格拉斯曼序列的多用戶檢測預處理方法。相較于普通的多用戶檢測技術，采用最優格拉斯曼序列作為擴頻碼本，使系統能夠達到更低的誤碼率，同時能降低對多用戶檢測的運算量。但是，當激活用戶數較多時，系統還是有較高的誤碼率。最優格拉斯曼序列具有非常好的結構特點，如何充分利用最優格拉斯曼序列的特性，進一步降低誤碼率從而擴大系統容量依然值得深入研究。

［1］ Kumar P，Chakrabarti S．BER Analysis of Hard Decision Interference Cancellation Receiver for Overloaded DSCDMA System［C］//Sarnoff Symposium．Princeton，NJ:IEEE，2008(4):1－5．

［2］ Sarwate D V．Meeting the Welch Bound with Equality［M］．Sequences and Their Applications．Springer London，1999:79－102．

［3］ HU Hong－gang，WU Jin－song．New Constructions of Codebooks Nearly Meeting the Welch Bound with Equality［J］．IEEE Transactions on Information Theory，2014，60(2):1348－1355．

［4］ Heath R W，Strohmer T，Paulraj A J．Grassmannian Signatures for CDMA Systems［C］//Global Telecommunications Conference，San Francisco，USA:IEEE，2003:1553－1557．

［5］ Heath R W，Strohmer T，Paulraj A J．On Quasi－Orthogonal Signature for CDMA Systems［J］．IEEE Transactions on Information Theory，2006，53(3):1217 －1226．

［6］ Axehill D，Hansson A．A Preprocessing Algorithm for MIQP Solvers with Applications to MPC ［C］//43rd IEEE Conference Decision Control，Atlantis，Paradise Island，Bahamas:IEEE，2004:2497－2502．

［7］ Rose C，Ulukus S，Yates R D．Interference Avoidance for Wireless System［C］//Vehicular Technology Conference Proceedings，Tokyo:IEEE，2000:901－906．

［8］ 方雷，梁曉雯．基于球形譯碼的聯合多用戶檢測［J］．通信技術，2011，44(09):56 －58．FANG Lei，LIANG Xiao － wen．Joint Multi－ user Detectors based on Sphere Decoding in MIMO Multi－Carrier System［J］．Communications Technology，2011，09:56 －58．

［9］ 江寧馨，李峰．多用戶檢測中解相關檢測和最小均方誤差檢測的研究［J］．計算技術與自動化，2010，29(04):7－10．JIANG Ning－ xin，LI Feng．The Study of Decorrelation Detection and MMSE Detection in Multi－user Detection［J］．Computing Technology and Automation，2010，29(04):7－10．

［10］ Strohmer T，Heath R W．Grassmannian Frames with Applications to Coding and Communication［J］．Applied and Computational Harmonic Analysis，2003，14(3):257－275．