賞析高中數學聯賽中的復數問題

林海

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1672-8882（2015）04-031-02

復數具有代數形式、三角形式、指數形式等多種表述方式，所蘊含的實際意義是以新的視角、新的途徑溝通了代數、三角和幾何等內容之間的聯系，由此，該知識點是各類考試（尤其是數學聯賽和自主招生）選拔優秀學生的的一個重要內容。

一、復數知識

（一）復數的表示形式與運算

代數形式：

三角形式：

指數形式：

題1（2013年四川8）已知 是虛數單位， ，把復數 的共軛復數記為 ，則 =_________.

解 ，由周期性知每相鄰4個數的和為0，則 ， ，

題2（2010年浙江15）設 是虛數， ，則 的實部取值范圍為_____

解 法一：設 ， ，由題意 是實數，

則 ，得

①當 時， ，無解

②當 時， ，得

法二：由復數除法的幾何意義知 表示的點與 表示的點關于 軸對稱，且到原點的距離都為1，由加法的幾何意義知 是以 為鄰邊的菱形的對角線，又 是實數，則 的實部是 的實部的2倍，所以 的實部取值范圍為 。

（二）復數的模與共軛復數

題3（2014年山東7）已知 ，則 的值為_______

解 由乘法的性質知 ， ，

題4（2011年湖北5）設 是模為2的復數，則 的最大值與最小值的和為_________

解 由 ，知 ，

，故

其最大值為 ，最小值為 。故所求為4。

（三）復數的單位根

題5（2010年山東7）已知 為復數， 為虛數單位。若 ，則當 為實數時， 的最小值為（ ）

A. B.3 C. D.

解 法一：設 ，由題意 ， 得 ，則

， 表示輔角為60°或120°的復數，至少當 時 為實數，所以

法二：由復數及其加法的幾何意義知 ， 的終點在單位圓上， 與 關于 軸對稱且在單位圓上，因為 ，則 與 夾角為-60°或240°， 的輔角為60°或120°， 略

二、復數方法

（一）復數在代數中的應用

題6（2012年天津9）如果復數 滿足 ，且 ，其中 為實數，則 的最大值是________

解 法一： ，則 ，求 的最大值，可以借助線性規劃求解，代表單位圓的動點 ，求 的最大值，轉化為相切的問題即得

法二：令 ，則 ，所以最大值為

法三：由不等式 ，得最大值為

（二）復數在幾何中的應用

題7（2012年遼寧7）設

，則 在復平面內所對應區域的面積是__________

解 ，設 ，則有 ，

。

易知 ，故 ，所以復數 對應的點形成的區域是以點（7，8）為圓心，4為半徑的圓面，其面積為 。

三、近五年各省對復數考查情況

在預賽中考查的省份有：山西、吉林、福建、江西、河南、陜西、甘肅、貴州，我們不難發現今年考查的比重頻率有上升趨勢，考查基本計算和靈活應用性質和幾何意義居多，尤其是14年在全國聯賽一試中已經以解答題的形式出現，讓很多人無從下手，筆者預測15年各省預賽試題中將會大面積的出現復數的考查，這勢必要引起考生和教師的注意。

練習題

1.（2011年湖南5）已知復數 滿足 ，復數 的虛部為2，則 為實數的條件是 _________

2.（2012年山東6）設 為一對不相等的共軛復數，且 ， 為實數，則 的值為（）

3.（2013年遼寧3）設 均為非零復數，令 ，若 ，則 的值為（ ）

4.（2012年湖南4）設實數 ，如果復平面上的動點 滿足 則動點 的軌跡是（ ）

5.（2013年安徽6）設復數 滿足 的實部與虛部之比為 ，其中 是虛數單位， ，則 的最大值為________

6.（2014年全國11）確定所有的復數 ，使得對任意復數 均有

附答案：1. 2.3 3. 4.焦距為4的橢圓 5. 6.

參考文獻：

[1]2011年高中數學聯賽備考手冊[M].華東師范大學出版社，2010.

[2]2012年高中數學聯賽備考手冊[M].華東師范大學出版社，2011.

[3]2013年高中數學聯賽備考手冊[M].華東師范大學出版社，2012.

[4]2014年高中數學聯賽備考手冊[M].華東師范大學出版社，2013.

[5]2015年高中數學聯賽備考手冊[M].華東師范大學出版社，2014.

[6]劉詩雄.奧數教程第五版（高二年級）[M].華東師范大學出版社，2011.