有理二次Bézier形式共軛雙曲線段的幾何計算

沈莞薔， 汪國昭

(1. 江南大學理學院，江蘇 無錫 214122；2. 浙江大學數學系，浙江 杭州 310027；3. 浙江大學CAD&CG國家重點實驗室，浙江 杭州 310027)

有理二次Bézier形式共軛雙曲線段的幾何計算

沈莞薔1， 汪國昭2,3

(1. 江南大學理學院，江蘇 無錫 214122；2. 浙江大學數學系，浙江 杭州 310027；3. 浙江大學CAD&CG國家重點實驗室，浙江 杭州 310027)

考慮有理二次Bézier形式的相互共軛的雙曲線的控制頂點之間的關系，給定表示一段雙曲線的標準型有理二次Bézier曲線，目標是求出它的共軛雙曲線上相應段的控制頂點。首先給出共軛雙曲線段的自然定義；接著通過參數變換，將有理二次Bézier形式和一般參數形式進行轉換，并把這種轉換對應到矩陣，以給出所求控制頂點的顯式表達；最后，給出表達式的幾何意義，即共軛雙曲線段的控制頂點可由原雙曲線的控制頂點通過兩次線性插值得到。

曲線造型；有理二次Bézier曲線；雙曲線；共軛雙曲線；線性插值

在計算機輔助設計中，Bézier曲線及其有理模型有著良好的幾何性質，常被用于數據的插值[1]、擬合[2]、逼近[3]，從而被廣泛用于公路設計[4]、機器人運動[5]等領域。雙曲線是經典的圓錐曲線之一，被廣泛用于建筑施工[6]、生態系統[7]、地質勘探[8]等領域。在所有Bézier模型中，能表示雙曲線的最簡單的是有理二次，其幾何性質已經得到了廣泛深入的研究。文獻[9-10]分別研究了參數的幾何意義和優化方法，文獻[11]給出了圓錐曲線的幾何元素(頂點、焦點等)關于有理二次Bézier控制頂點和權因子的顯式表達，文獻[12]給出離心率的統一表達。

然而，對有理二次Bézier形式的雙曲線而言，它的共軛雙曲線的表達形式還未有研究。本文將考慮有理二次 Bézier形式共軛雙曲線的控制頂點之間的關系。與文獻[13]不同，本文不計算雙曲線的實虛軸頂點、焦點等幾何元素，而是通過矩陣變換直接給出共軛后的控制頂點關于原曲線控制頂點的顯式表達，并給出控制頂點的幾何計算方法。

任一有理二次 Bézier曲線可以化為如下標準型[14]：

其中，參數 t∈ [0,1]，權因子 ω＞ 0。由于有理二次Bézier曲線的三個控制頂點必定共面，且不考慮退化到單點和直線的情況，因此，不妨假設式(1)中的控制頂點pi=(xi, yi) (i=0, 1, 2)不共線。于是，當 ω＜1, ω=1, ω＞1時， p (t)分別為橢圓、拋物線和雙曲線[15]。

除去退化到單點和直線段的情況，當權因子ω＞1時，式(1)表示一段雙曲線。本文考慮其共軛雙曲線。在幾何中，無限延伸的共軛雙曲線的意義明確。然而，在計算機輔助設計中，給出的往往是雙曲線的某段，它對應著共軛雙曲線中的某段，本文簡稱共軛段。本文將先給出共軛段的自然定義，再研究式(1)的共軛段的有理二次 Bézier形式。據此，任意給定一條非退化且滿足 ω＞1的有理二次Bézier曲線式(1)，依次提出如下兩個問題：

問題 1. 給出其共軛雙曲線段的控制頂點的表達式，將共軛段表示為有理二次Bézier曲線的形式；

問題2. 給出表達式的幾何意義，即將共軛段的控制頂點表示為式(1)的控制頂點的線性插值形式。

1 共軛段控制頂點的顯式表達

本節將先給出共軛段的自然定義，再對其控制頂點進行求解。

1.1 共軛段

對于任意雙曲線，取其中心為原點，實軸頂點和虛軸頂點所在直線分別為x軸和y軸。于是，在該坐標下，該雙曲線某分支(不妨假設為右支)上任意一段可表示為：

其中，a和b分別為實、虛半軸。

如圖 1所示，其中紅色和紫色分別表示原雙曲線的右支和左支，其共軛雙曲線的上、下支分別為藍色和綠色，它們共有的兩條漸近線用黑色點劃線表示。參數式(2)所對應的是原雙曲線右支中的某段，它用紅色實線表示。式(2)所對應的左支中的段為

即為圖中紫色實線段，它與紅色實線段關于原點(雙曲線的中心)呈中心對稱。共軛雙曲線的上支和下支中的相應段為：

和

分別用藍色和綠色實曲線段表示，它們都是式(2)的共軛段，這是一個自然的定義。

圖1 雙曲線共軛段的解釋

至此，上節中的問題 1可以進一步明確為：若已知紅色實曲線段的有理二次 Bézier標準形式如式(1)，求其兩共軛段(藍色和綠色實曲線段)的有理二次Bézier標準形式。根據權因子的幾何意義[16]，共軛段的權因子也是ω，因此，關鍵是求共軛段的控制頂點。

由于有理 Bézier曲線的形狀與所取坐標系無關，因此，本文考慮更一般的參數形式：

1.2 共軛段控制頂點的顯式表示

根據1.1節的分析，本文希望將表示雙曲線的有理二次Bézier的標準形式(如式(1))，通過參數變換，先化為類似式(3)的形式，再在其中交換中心指向虛、實軸頂點的向量，最后通過逆變換回到標準形式的有理二次 Bézier曲線，即得到原曲線的共軛段。在參數變換過程中，控制頂點的變化可用矩陣表示，逆變換對應逆矩陣，這就是本文的核心思想。其中，不需要特意求出雙曲線的實虛軸頂點、焦點等幾何元素。

因此，關鍵是要確定使用怎樣的參數變換。本文從比式(3)更簡單的形式入手，對于一段雙曲線：

根據以上過程的逆過程，對式(1)作參數變換：

于是，式(1)化為式(4)的形式，控制頂點的關系為：

其中，A是

的逆矩陣：

將式(4)向式(3)的形式轉換，令：

使得L1和L2正交，于是有：

其中，

于是，得到如下關系式：

其中，

B的逆矩陣為：

這里，L1，L2分別為雙曲線中心指向虛、實軸頂點的向量，它們相交換即為共軛雙曲線的中心指向虛、實軸頂點的向量。將交換矩陣設為：

記矩陣 M =A-1B-1NBA，有：

于是，得到如下定理。

定理1. (共軛雙曲線段的有理二次Bézier形式)對于任意非退化的標準形式的有理二次 Bézier曲線式(1)，若其表示一段雙曲線(即滿足 ω＞1)，則該雙曲線的共軛段可表示為如下標準形式的有理二次Bézier曲線：

其中，控制頂點：

M和α分別由式(11)和式(8)給出。

在式(8)中，符號“±”代表兩段共軛段。圖2給出例子，ω=2。初始給定的標準型有理二次Bézier曲線，其控制頂點用紅色空心圈表示，曲線用紅色實線表示。其對應的另一分支上的曲線段用紫色實線表示，控制頂點用紫色空心圈表示，由原控制頂點通過雙曲線的中心(即為式(9)~(10)中給出的 Q0)進行中心對稱得到。由定理1給出的兩段共軛段，分別用藍色和綠色實曲線表示，它們的控制頂點，分別用藍色和綠色空心圈表示。圖2(a)是一般情況下的例子，求出的兩段共軛段關于雙曲線的中心呈中心對稱。若給出的有理二次Bézier曲線的控制頂點構成等腰三角形則其對應的雙曲線段關于實軸對稱，求出的兩共軛段也關于它們的實軸(即原雙曲線的虛軸)對稱，如圖2(b)。另外，在等軸雙曲線的特殊情況下，所求出的兩共軛段與原給定的雙曲線段分別關于兩條漸近線呈軸對稱，如圖2(c)。

圖2 求解雙曲線共軛段的例子

2 幾何求解

本節將指出，共軛雙曲線段的控制頂點，都能表示為原雙曲線段的控制頂點的線性插值(包括內插和外插)的形式，并給出實例。

在式(11)中，將矩陣M重新表示為 M =CD，其中，

或者，

在這些矩陣中，每行僅有相鄰的兩個元素非零，并且它們的和均為 1，這即是線性插值的形式。假設：

表示由原始控制頂點進行第一次線性插值所得的過渡點，于是：

算法1. (共軛雙曲線段的有理二次Bézier形式的幾何求解)若給定任意表示雙曲線的非退化的標準形式的有理二次Bézier曲線式(1)，即已知不共線的三個控制頂點p0，p1，p2和權因子 ω＞1，則其共軛段的控制頂點R0， R1， R2可以通過如下步驟求得：

(1) 根據式(8)，通過權因子ω計算出α(正負號算出不同的α代表了不同的兩段共軛段)。

(2) 根據式(12)和式(15)，通過p0，p1，p2線性插值出過渡點G0，G1，G2，G3。

① 在p0P1上分別取的定比分點G0，G2。

② 在p1P2上 分 別 取的定比分點

(3) 根據式(13)(或式(14))和式(16)，通過G0，G1，G2，G3線性插值出R0，R1，R2。

①在G0G1，G2G3上分別取的定比分點R0，R2。

②在G0G1上取的定比分點(對應式(13))，或者取的定比分點(對應式(14))，即為R1。

圖3給出一個例子，ω=1.2。給定有理二次Bézier曲線的控制頂點p0，p1和p2(紅色空心圈)，其兩共軛段的控制頂點通過p0，p1和p2的線性插值得到。藍色和綠色共軛段的相關點分別用上標1和2來標記。對于藍色共軛段，在式(8)中取“+”號，此時，記α=α1，中間的過渡插值點和采用藍色實心點表示，相應共軛段的控制頂點和采用藍色空心圈表示；對于綠色共軛段，在式(8)中取“–”號，此時，記α=α2，中間的過渡插值點和采用綠色實心點表示，相應共軛段的控制頂點和采用綠色空心圈表示。

圖3 雙曲線共軛段的控制頂點的幾何求解

3 結 論

本文針對表示雙曲線的有理二次 Bézier曲線的標準型式(1)，研究其共軛段的表示。先在引言中提出關于共軛段的控制頂點的顯式表達的問題1，以及關于表達式的幾何意義的問題 2。接著，在第1~2節中分別回答了問題1、2。今后可以對包含雙曲函數的混合空間中的擬 Bézier曲線(AH Bézier[17]、AHT Bézier[18])的共軛問題進行研究，也可應用于橢圓類曲線的幾何元素的求解[19]。

[1] 林建兵, 陳小雕, 王毅剛. 有理二次Bézier曲線的幾何Hermite插值新方法[J]. 計算機科學與探索, 2013, 7(7): 667-671.

[2] 趙文彬, 謝曉薇, 楊福增, 等. 基于二次有理Bézier曲線擬合的顱骨識別技術研究[J]. 生物醫學工程學雜志, 2008, 25(2): 280-284.

[3] Hu Qianqian. Approximating conicSections by constrained Bézier curves of arbitrary degree [J]. Journal of Computational and AppliedMathematics, 2012, 236(11): 2813-2821.

[4] Walton D J,Meek DS. G2 curve design with planar quadratic rational BézierSpiralSegments [J]. International Journal of ComputerMathematics, 2013, 90(2): 325-340.

[5] 陳 軍, 王國瑾. 規避障礙物的G2連續有理二次Bézier樣條曲線[J]. 計算機輔助設計與圖形學學報, 2011, 23(4): 582-585.

[6] 閆宏業, 劉 莉, 廖志剛, 等. 采用改進的修正雙曲線法預測高速鐵路路基沉降[J]. 鐵道建筑, 2011, 12: 92-94.

[7] 孫敬松, 周廣勝. 基于葉面積指數改進的直角雙曲線模型在玉米農田生態系統中的應用[J]. 生態學報, 2013, 33(7): 2182-2188.

[8] 施 劍, 吳志強, 崔三元, 等. 南黃海盆地地震勘探中的非雙曲線時差分析[J]. 石油地球物理勘探, 2013,48(2): 192-199.

[9] Hu Qianqian, Wang Guojin. GeometricMeanings of the parameters on rational conicSegments [J].Science in ChinaSeries A:Mathematics, 2005,48(9): 1209-1222.

[10] Isabelle C H, Gudrun A, VictoriahM. Optimal parameterization of rational quadratic curves [J]. Computer Aided Geometric Design, 2009, 26(7): 725-732.

[11] Lee E T Y. The rational Bézier representation for conics [C]//Farin G E. GeometricModeling: Algorithms and New Trends, vol 14. Philadelphia:Society for Industrial and AppliedMathematics Publications, 1987: 3-19.

[12] Xu Chengdong, Kim T W, Farin G. The eccentricity of conicSections formulated as rational Bézier quadratics [J]. Computer Aided Geometric Design, 2010, 27(6):458-460.

[13] 沈莞薔, 汪國昭. 線性雙曲擬Bézier曲線的幾何圖形[J]. 計算機工程與應用, 2014, 50(7): 10-14,40.

[14] Farin G. Rational quadratic circles are parametrized by chord length [J]. Computer Aided Geometric Design, 2006, 23(9): 722-724.

[15] 王國瑾, 汪國昭, 鄭建民. 計算機輔助幾何設計[M].北京: 高等教育出版社; 海德堡: 施普林格出版社, 2001: 35-43.

[16] 施法中. 反求標準型有理二次Bézier曲線的參數與內權因子[J]. 計算機輔助設計與圖形學學報, 1995, 7(2): 91-95.

[17] Li Yajuan, Wang Guozhao. Two kinds of B-basis of the algebraic hyperbolicSpace [J]. Journal of Zhejiang UniversityScience A, 2005, 6(7): 750-759.

[18] Xu Gang, Wang Guzhao. AHT Bézier curves and NUAHT B-spline curves [J]. Journal of ComputerScience and Technology, 2007, 22(4): 597-607.

[19] 沈莞薔, 汪國昭, 徐紅林. 線性p-Bézier曲線的幾何形狀[J]. 計算機輔助設計與圖形學學報, 2014, 26(8): 1211-1218.

Geometric Calculation of Conjugate HyperbolaSegment Presented as Rational Quadratic Bézier Form

Shen Wanqiang1, Wang Guozhao2,3
(1.School ofScience, Jiangnan University, Wuxi Jiangsu 214122, China; 2. DepartmentofMathematics, Zhejiang University, Hangzhou Zhejiang 310027, China; 3.State Key Laboratory of CAD & CG, Zhejiang University, Hangzhou Zhejiang 310027, China)

Consider the relationship between the control points of the conjugate hyperbolas presented as rational quadratic Bézier forms. Given a rational quadratic Bézier curve withStandard form presenting a hyperbolicSegment, the target is to calculate the control points of the correspondingSegment on its conjugate hyperbola. Firstly, the natural definition of theSegment of conjugate hyperbola is given.Secondly, parameter conversion is used to transform the hyperbola between the rational quadratic Bézier form and a general parametric form. The transformations correspond toMatrices. Thus the explicit expressions of the control points of the conjugateSegments are obtained. Finally, the geometricMeanings of the expressions areShown. Each control point of the conjugate hyperbolaSegments can be given by two linear interpolations of the control points of the original hyperbolaSegment.

curveModeling; rational quadratic Bézier curve; hyperbola; conjugate hyperbola; linear interpolation

TP 391.72

A

2095-302X(2015)02-0172-06

2014-10-08；定稿日期：2014-10-24

國家自然科學基金資助項目(11326243，61402201，61272300，11371174)；江蘇省自然科學基金青年基金資助項目(BK20130117)

沈莞薔(1981–)，女，江蘇無錫人，講師，博士。主要研究方向為計算機輔助幾何設計、計算機圖形學。E-mail：wq_shen@163.com