不確定性平差模型的平差準則與解算方法

宋迎春，謝雪梅，陳曉林

中南大學地球科學與信息物理學院，湖南 長沙 410083

Adjustment Criterion and Algorithm in Adjustment Model with Uncertainty

SONG Yingchun,XIE Xuemei,CHEN Xiaolin

School of Geosciences and Info-Physics，Central South University，Changsha 410083, China

Foundation support： Open Research Fund of State Key Laboratory of Geography Information Engineering(No.SKLGIE 2013-M-2-5)；China Postdoctoral Science Foundation(No.2013M540641)

不確定性平差模型的平差準則與解算方法

宋迎春，謝雪梅，陳曉林

中南大學地球科學與信息物理學院，湖南 長沙 410083

Adjustment Criterion and Algorithm in Adjustment Model with Uncertainty

SONG Yingchun,XIE Xuemei,CHEN Xiaolin

School of Geosciences and Info-Physics，Central South University，Changsha 410083, China

Foundation support： Open Research Fund of State Key Laboratory of Geography Information Engineering(No.SKLGIE 2013-M-2-5)；China Postdoctoral Science Foundation(No.2013M540641)

摘要：在測量數據的獲取過程中，經常存在著不確定性，它們影響著參數估計的可靠性。本文通過把不確定度作為參數融入函數模型，建立了不確定性平差模型。依據殘差中不確定性傳播規律，確定了殘差最大不確定度達到最小的平差準則，利用迭代算法得到了不確定性平差模型的解算方法。通過實例分析了最小二乘平差、整體最小二乘平差和不確定性平差準則下最優解的不同特點，從另一個角度探討了不確定性觀測數據處理方法，推廣了現有的誤差理論。

關鍵詞：不確定度；平差準則；殘差；整體最小二乘平差；平差模型

1引言

不確定性是一種廣義的誤差，是不精確性、模糊性、不明確性等概念的總稱，它包含數值和概念的誤差，也包含可度量和不可度量誤差，它比一般的誤差范圍要廣，如屬性不確定性、模糊不確定性等[1-3]。它有時具有隨機性，且統計性質明顯；有時沒有隨機性，僅是一個模糊數。不確定度是不確定性的度量，是用于表達測量結果質量優劣的一個指標，它可以用方差、均方差、誤差區間、誤差橢圓、誤差橢球表示[4-5]。測量數據的不確定性不再是一個具體數值，有時僅知道它們各自在一定的實數區間內變動，有時僅是一個模糊數，這給測量平差數據處理帶來了困難，現有算法理論還無法抑制這些不確定性因素的影響，要提高參數估計的可靠性需要針對不確定性建立新的平差準則，研究不確定度傳播規律以及觀測數據中去除不確定性因素的平差方法。在測繪數據處理領域，應用不確定度理論，研究不確定度評定方法，尋找減小不確定度的算法等已成為一個研究熱點[6-11]。文獻[12—14]對測量不確定度理論進行了研究，拓展了測量平差數據處理的理論與方法。整體平差算法也可以看成是對于不確定性平差算法的一種探索，它在一定程度上減弱了不確定性因素的影響[15-18]，然而，由于不確定性的統計信息(如均值和方差等)和概率分布函數無法確定，人為地確定它們的統計性質本身就在增加新的不確定性，從而影響狀態參數估計的可靠性[19-20]。利用先驗信息來抑制不確定性是不確定性觀測數據平差的有效方法，但是，測繪工程中先驗信息的獲取一般是比較困難的，計算也比較復雜，更重要的是，許多先驗信息本身也只是一種不確定性的描述，如參數的可行區間、有界噪聲、噪聲方差的范圍等。本文從另一個角度來研究不確定性測量數據的平差問題，直接將不確定度作為一個參數融入函數模型中，建立了一種新的針對不確定性的平差準則，在算法中對不確定度進行抑制。

2不確定性平差模型

平差模型為

L=AX+e

(1)

更一般的，可以用2-范數的形式來描述觀測向量和系數矩陣的不確定性

(2)

為進一步說明A、L的不確定性，在圖1中，分別以A、L為圓心，α和β為半徑的圓來描述描述A和L的不確定性，α和β可以看成是A、L的不確定性的一種度量，稱之為A、L的不確定度。

圖1　A、L不確定性的圖示Fig.1　Diagram about uncertain of A、L

在平差模型中融入不確定度參數α和β，可得不確定性平差模型

(3)

不確定性平差模型不同于普通的平差模型，也不同于整體平差模型。在不確定性平差模型中，設計矩陣A和觀測向量L分別受到范數有界的ΔA和ΔL的干擾，而它們的界α和β是已知的，即設計矩陣A和觀測向量L的不確定度是已知的。在整體平差模型中，A和L的不確定性ΔA和ΔL是無界的，即A和L的不確定度是未知的。普通的平差模型中，A沒有不確定性(ΔA=0)，ΔL的不確定性未知。整體最小二乘平差的準則是

(4)

式中，vec(ΔA)為矩陣ΔA的拉直向量。由于在這個平差準則中既要顧及觀測誤差又要顧及系數矩陣的誤差，總體上雖然考慮了A和L的不確定性問題，但是，容易出現對A的過度校正，例如A的不確定度非常小，而L的不確定度較大時就會因為對A進行過度校正，從而使得A變成有較大的不確定性(本文后面的實例就是這一情形)。特別是在已知ΔA和ΔL的界的時候，在采用總體最小二乘平差時，常會出現越界的情形與先驗信息不符。

利用ΔA和ΔL的先驗信息(不確定度)進行參數估計，或者說是在有界的不確定性誤差情況下，進行平差解算是測量平差數據處理的一種新的探索，在給定的有界區間內，尋找參數解更符合實際。為了尋找一種新的針對有界不確定性觀測數據進行平差，筆者建立下面的min-max平差準則，即讓殘差中的最大不確定性達到最小，從而使得參數解中的不確定性達到最小化，即

(5)

式(5)可以稱之為不確定性min-max平差準則。

3殘差中最大不確定度的幾何意義

本文使用和文獻[20]類似的方法來說明殘差中最大不確定度的幾何意義。設簡單不確定性平差模型為

(6)

從B向OM作垂線BE，交OC于D點，以D為圓心，DE為半徑作圓D，同樣圓D也對應模型(6)的一個參數解，這時最大的不確定度為BE的長度r1，從圖形可以看出r1

圖2　殘差最大不確定度幾何意義　Fig.2　Geometric meaning of the maximum possible uncertainty in residual

圖3　最小的殘差最大不確定度Fig.3　The minimized maximum possible uncertainty in residual

圖4　非0參數解的幾何意義Fig.4　Geometric meaning of non-zero-parameter solution

上面的分析中假設觀測向量l中不存在不確定性，當觀測向量l存在不確定性時也可以得到相應的幾何解釋。

4不確定性平差模型的解算

利用范數的性質，有

(7)

對于給定的A的不確定度α和給定的L的不確定度β，若令

(8)

(9)

由式(7)和式(9)可知

(10)

根據式(5)和式(10)，不確定性min-max平差準則可以轉換成另一形式的平差準則

(11)

(12)

(13)

式中，μ為一正實數，它的值由下式確定

(14)

(15)

(16)

式中，U是m階正交矩陣；V是n階正交矩陣；Σ表示為

(17)

式中，λi(i=1,2,…,n)為A的奇異值。對UTL進行分塊，令

(18)

此處，L1為n維向量；L2為m-n維向量。由式(15)可知

(19)

因此

(20)

而

所以

(21)

由式(14)、式(20)和式(21)可得

(22)

利用式(22)求μ通常比較復雜，由于式(22)的右邊也含有μ，可以使用迭代法進行求解，下面分析使用式(22)迭代求解μ的迭代收斂性問題。對φ(μ)求導，并顧及式(17)和式(22),有

因為上式的方括號中是一個正數，所以有

(23)

(24)

由式(23)和式(24)可得

(25)

5不確定性平差模型解算和分析

表1　仿真數據

由上面產生的數據序列來生成觀測向量L=[l1l2l3l4l5l6]T和設計矩陣A=[a1a2a3a4a5a6]T，其中，ai=xi-Δxi，li=yi-Δyi(見表2)，并建立不確定性平差模型

式中，X為參數向量；ΔA=[Δa1Δa2Δa3Δa4Δa5Δa6]T、ΔL=[Δl1Δl2Δl3Δl4Δl5Δl6]T是未知的不確定性誤差(雖然從仿真數據中已得知ΔA=ΔX、ΔL=ΔY，但算法認為它們是未知的)。

表2　觀測數據序列

-0.00490.2292]T

-0.02961.3753]T

0.3208

最小二乘平差解

使用文獻[15]的總體最小二乘(TLS)算法，可以得到總體最小二乘平差解

由上面的計算結果可得如下結論：

圖5　最小二乘平差方法Fig.5　Least squares adjustment method

圖6　整體平差方法Fig.6　Total least squares adjustment method

圖7　不確定性平差方法Fig.7　Adjustment method with uncertainty

6結論

在測量數據的獲取過程中，經常存在著不確定性，它們影響著參數估計的可靠性。目前的測量平差方法是基于“觀測值的不確定性就是隨機性”這一基本假設的，實際測量工程中有許多不同于隨機誤差的不確定性因素，它們影響著參數估計的可靠性。擴展誤差理論與測量平差方法處理測量數據中的不確定度，必須對觀測中不確定性因素進行數值化、參數化，把它們融入平差模型中，這需要有理論和方法上的突破。本文通過建立不確定性平差模型，把不確定度作為參數融入函數模型中，利用殘差中不確定性傳播規律，建立了一種基于殘差最大不確定度達到最小的平差準則，并用迭代算法得到了不確定性平差模型的解算方法。通過實例分析了最小二乘平差、整體最小二乘平差和不確定性平差準則下的最優解的不同特點。

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(責任編輯：陳品馨)

修回日期： 2014-10-27

First author： SONG Yingchun(1963—)，male，professor,PhD,majors in surveying adjustment and data processing.

E-mail： csusyc@csu.edu.cn

中圖分類號：P207

文獻標識碼：A

文章編號：1001-1595(2015)02-0135-07

基金項目：地理信息工程國家重點實驗室開放基金(SKLGIE2013-M-2-5)；中國博士后科學基金(2013M540641)

收稿日期：2014-03-21

第一作者簡介：宋迎春(1963—)，男，教授，博士，研究方向為測量平差與數據處理。

Abstract：Uncertainty often exists in the process of obtaining measurement data, which affects the reliability of parameter estimation. This paper establishes a new adjustment model in which uncertainty is incorporated into the function model as a parameter. A new adjustment criterion and its iterative algorithm are given based on uncertainty propagation law in the residual error, in which the maximum possible uncertainty is minimized. This paper also analyzes, with examples, the different adjustment criteria and features of optimal solutions about the least-squares adjustment, the uncertainty adjustment and total least-squares adjustment. Existing error theory is extended with new observational data processing method about uncertainty.

Key words：uncertainty；adjustment criterion；residual error；total least-squares adjustment；adjustment model

引文格式：SONG Yingchun, XIE Xuemei, CHEN Xiaolin.Adjustment Criterion and Algorithm in Adjustment Model with Uncertainty[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2015,44(2):135-141.(宋迎春，謝雪梅，陳曉林. 不確定性平差模型的平差準則與解算方法[J].測繪學報，2015,44(2)：135-141.) DOI:10.11947/j.AGCS.2015.20130213