圓形剛性承載板載荷作用下雙參數地基上多層矩形板的動力響應

第一作者張震東男，博士生，1988年生

通信作者馬大為男，教授，博士生導師，1953年生

圓形剛性承載板載荷作用下雙參數地基上多層矩形板的動力響應

張震東，馬大為，何強，朱忠領

(南京理工大學機械工程學院，南京210094)

摘要：提出一種考慮水平阻尼的雙參數地基模型，推導了此地基模型上多層矩形板的中性面位置表達式，建立水平動載荷與垂向動載荷聯合作用下多層地基板內力平衡方程，并在此基礎上給出了板的運動微分方程。采用級數分解和Laplace積分變換相結合的方法，求解了圓形剛性承載板載荷作用下多層地基板的撓度解析表達式。在MATLAB軟件中編寫計算程序，以三層地基板為例深入分析了水平阻尼系數、摩擦系數、運動方向對板動力響應的影響。研究表明，隨著水平阻尼系數的增大，板的撓度逐步減小，摩擦系數和運動方向對載荷作用面圓心處的動力響應幾乎沒有影響，而對遠離圓心處點的撓度影響較大。

關鍵詞：圓形剛性承載板；水平阻尼系數；雙參數地基模型；多層板；水平動載荷；垂向動載荷

基金項目：國防基礎科研(B2620110005)

收稿日期：2014-06-19修改稿收到日期：2014-08-14

中圖分類號:TJ768.1

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.17.033

Abstract:A two-parameter foundation model was proposed considering horizontal damping. Then the displacement expressions of neutral layer plane of a multi-layer rectangular plate on the foundation model were deduced. In order to get the motion differential equation of the plate, its internal force equilibrium equations were built under the combined action of horizontal dynamic load and vertical dynamic one. Then the analytical expression of the plate deflection under a circular rigid bearing plate’s load was solved with the combination of Laplace integral transformation and the triangular series methods. The influences of horizontal damping coefficient, friction coefficient and motion direction on the dynamic response of the plate were analyzed by using MATLAB software and taking a three-layer plate as an example. Results indicated that the deflection of the plate decreases gradually with increase in horizontal damping coefficient; the friction coefficient and motion direction have a greater influence on the deflection of the point far from the circuar plate center, but their effects on the dynamic response of the circular plate center can be ignored.

Dynamic response of a multi-layer rectangular plate on a two-parameter foundation under a circular rigid bearing plate’s load

ZHANGZhen-dong,MADa-wei,HEQiang,ZHUZhong-ling(College of Mechanical Engineering, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China )

Key words:circular rigid bearing plate; horizontal damping coefficient; two-parameter foundation model; multi-layer plate; horizontal dynamic load; vertical dynamic load

導彈發射過程中，發射裝備對地載荷通過圓形支撐盤傳遞至路面，路面在動載荷下的響應又會影響到發射裝備的穩定性，最終干擾導彈出筒姿態，甚至導致導彈發射失敗，可見路面在圓形支撐盤對地載荷下的動力響應具有很高的研究價值和實用價值。經驗表明，導彈發射過程中發射裝備不停振動，圓形支撐盤不可避免地存在水平移動，產生水平動載荷，故圓形支撐盤對地載荷由垂向動載荷、水平動載荷構成。由于圓形支撐盤剛度遠大于路面，因此可將支撐盤視為圓形剛性承載板。對于路面則可采用雙參數地基上的板模型表示。

針對地基上板的動力響應問題，國內外學者開展了許多研究，Fryba[1]研究了移動荷載作用下Kelvin地基上無限大板撓度的解析表達式；孫璐等[2]、蔣建群等[3]、姚海林等[4]均采用積分變換的方法給出了彈性地基上無限大板在勻速移動載荷作用下的積分形式解，盧正等[5]分析了黏彈性地基板在矩形變速荷載作用下路面的動態撓度，但以上研究僅分析了單層板的動力響應；李皓玉等[6]將路面視為黏彈性地基上無限大雙層板，獲得了車輛載荷作用下路面動力響應解析解；文獻[2-6]均將道路視為無限大板與路面實際結構不符，為了彌補上述不足，顏可珍等[7-8]將路面視為無限長地基板，分析了運動常值均布載荷和簡諧載荷作用下板的動力響應。在矩形板動力響應方面，鄭小平等[9]、顏可珍等[10]采用級數分解的方法研究了黏彈性地基上矩形板在運動載荷下的動態響應問題，寇磊等[11]利用分數微分得到了黏彈性地基雙參數模型，分析了沖擊載荷下分數階微分地基模型上矩形板的動力響應。

以上研究只關注垂向動載荷作用下板動力響應，而對于水平動載荷與垂向動載荷聯合作用下多層地基板的動力響應問題，鮮有報道。本文提出一種考慮水平阻尼的雙參數地基模型，推導了此地基模型上多層Kirchhoff薄板在水平動載荷、垂向動載荷聯合作用下的運動微分方程，分析了水平阻尼系數、摩擦系數、運動方向對板動力響應的影響。

1雙參數地基上的多層矩形板模型

圓形剛性承載板載荷作用下多層矩形地基板模型見圖1(a)、圖1(b)，模型中剛性板在多層地基板上表面緩慢移動，移動方向與x軸夾角為θ，故多層板不僅承受剛性板垂向載荷Fv(x,y,t)，而且受到剛性板水平移動引起的水平動載荷作用，水平動載荷x軸分量為Fhx(x,y,t)，y軸分量為Fhy(x,y,t)，見圖1(b)。由于板的厚寬比很小，故認為多層板在剛性板載荷作用下的變形，仍然服從Kirchhoff薄板假設。

圖1　多層矩形板模型及地基模型 Fig.1 Multi-layer rectangle plate model and foundation model

文獻[12]提出了一種計及地基水平反力的雙參數地基模型，并研究了此地基模型上無限大板的動力響應。為進一步豐富前人的研究工作，本文給出了考慮水平阻尼的雙參數地基模型，見圖1(a)。該模型采用四個獨立的參數表征地基土的特性，分別為水平剪切系數kh，水平阻尼系數Ch，壓縮系數kv，垂向阻尼系數Cv。

此地基模型的水平方向地基反力，可由下式求出：

(1)

2地基上多層板的運動微分方程

2.1中性面位置求解

文獻[13]假設板間的結合狀態為完全連續，給出了雙層板中性面位置的表達式，本文在此基礎上求解多層板的中性面位置。

由下式可得到每層板中應力：

(2)

式中:Ei為每層板的彈性模量；ψ為中性面曲率。

由中性面上應力為零條件，得到：

(3)

式中:hj(j=1～n)為每層板的厚度；h0為中性面至多層板上表面距離；b為板寬。

將上式積分展開，得到中性面距多層板上表面距離，如下：

(4)

2.2多層板中橫截面上的內力

從多層板中截出底邊為dx，dy，高為H的微小六面體為研究對象，其中x截面上彎矩Mx，y截面上彎矩My，x截面上扭矩Mxy及y截面上扭矩Myx，表達式如下：

(5)

式中:

(6)

其中:μj(j=1～n)為每層板的泊松比。

2.3運動微分方程

考慮到薄板小撓度變形，多層板z方向力的平衡方程為：

(7)

分別取x軸，y軸力矩平衡，推導出下列平衡方程：

Fhy(x,y,t)·h0=Qy

Fhx(x,y,t)·h0=Qx

(8)

式中:Fhx(x,y,t)，Fhy(x,y,t)分別為多層板上表面水平方向作用力在x方向，y方向分量。

將式(1)代入式(8)后，上式兩邊取y的一次微分，下式兩邊取x的一次微分：

(9)

將式(9)中上、下兩式相加并代入式(7)，得：

(10)

將式(5)代入式(10)，并簡化得到式(11)，即水平動載荷與垂向動載荷聯合作用下，本文地基模型上多層板的運動微分方程。

(11)

3微分方程求解

3.1垂向動載荷模型

忽略剛性板的緩慢移動對載荷作用面位置的影響，則圓形剛性承載板下垂向載荷表達式，如下[14]

H{r2-[(x-x0)2+(y-y0)2]}

(12)

式中:f(t)為承載板上載荷平均集度；r為載荷圓形分布區域半徑；(x0，y0)為圓心坐標；H(x,y)為Heaviside階躍函數。由上式可以看出當接近承載板載荷邊界時，載荷趨于無窮大，與實際情況不相符，計算無法進行。為此，取(x-x0)2+(y-y0)2=(0.99r)2=r02圍成的形區域為研究對象，則垂向載荷模型化為：

H{r02-[(x-x0)2+(y-y0)2]}

(13)

3.2水平方向動載荷模型

水平方向動載荷為剛性板對多層板上表面的動摩擦力，則x方向上分量的表達式為：

Fhx(x,y,t)=Fv(x,y,t)λcosθ=

H{r02-[(x-x0)2+(y-y0)2]}

(14)

式中:λ為動摩擦系數，θ為剛性板移動方向與x軸夾角。

同理，y方向上分量的表達式，如下：

Fhy(x,y,t)=Fv(x,y,t)λsinθ=

H{r02-[(x-x0)2+(y-y0)2]}

(15)

將式(13)，式(14)，式(15)代入式(11)等號右端并簡化，得：

H{r02-[(x-x0)2+(y-y0)2]}+

(16)

式中:δ(x,y)為Dirac函數。

將上式代入運動微分方程式(11)，得到：

(17)

3.3多層板邊界條件

假設多層板四邊簡支，則邊界條件可表示為：

(18)

3.4運動微分方程求解

為滿足邊界條件，將板的撓度表示為三角級數形式[15]：

(19)

將載荷函數同樣展開成三角級數[15]：

(20)

利用三角函數的正交性，求得：

將式(16)代入上式并利用Heaviside階躍函數性質及Dirac函數性質進行簡化得到：

(21)

式中:

(22)

式中:A為力作用面圍成的封閉區域。

將式(19)、式(20)代入式(17)，得到下列二階微分方程：

qlm(t)=flm(x,y,t)

(23)

令

(24)

將式(24)代入式(23)，得：

qlm(t)″+2ζlmωlmqlm(t)′+

(25)

對式(25)進行Laplace變換，得到：

(26)

進一步簡化，可得：

(27)

式中:

(28)

將式(28)代入式(27)并進行Laplace逆變換，得：

(29)

式中:i為虛數單位。

把式(29)代入式(19)可得圓形剛性承載板載荷作用下的板的撓度：

(30)

4算例及參數影響分析

由于文獻[15]已經對水平剪切系數，壓縮系數、垂向阻尼系數以及板的相關參數對板動力響應的影響做了詳細討論并闡明了影響規律，作者若再進行分析，與前人工作有所重復；另外水平阻尼系數、摩擦系數、運動方向角三個參數與本文的創新之處密切相關，故根據前面推導的結果，以地基上三層板為例，本文僅分析水平阻尼系數Ch、摩擦系數λ、運動方向角θ三個參數對場坪垂向位移的影響，除上述3個參數外，其余參數取值如表1。

表1　參數取值

為方便說明地基板撓度變化規律，取7個典型點處的下沉量進行分析，典型點在板中位置如圖2所示。

圖2　典型點位置 Fig.2 Location of typical points

由于式(30)很難通過Laplace逆變換得到時域解析解，故采用數值Laplace逆變換的方法進行求解，具體是使用Fourier級數展開法快速地求解數值逆Laplace變換，在MATLAB軟件中編寫相關程序進行數值計算。

承載板上載荷平均集度f(t)變化規律如圖3所示。

圖3　載荷平均集度變化規律 Fig.3 Variation law of load average collection

4.1水平阻尼系數Ch對撓度的影響

計算時取摩擦系數λ=0.5，運動方向θ為45°，水平阻尼系數Ch單位為：N·s/m3。

由于篇幅限制，圖4～圖6只給出了不同水平阻尼系數Ch時，點1、點2、點3處垂向位移的變化規律，其余點的變化規律與此3個點相似。

圖4　不同水平阻尼系數時點1處撓度變化曲線 Fig.4 The deflection curves of point 1 under different horizontal damping coefficient values

圖5　不同水平阻尼系數時點2處撓度變化曲線 Fig.5 The deflection curves of point 2 under different horizontal damping coefficient values

從圖4～圖6中可以看出：

(1)由于阻尼力作用，考慮水平阻尼時典型點處的最大撓度要小于未考慮阻尼時的撓度。

(2)無水平阻尼時撓度最大值與載荷最大值在t=0.25 s處同時出現，而存在阻尼時板垂向位移峰值出現時刻相對于載荷峰值有一定滯后，且阻尼越大滯后時間越長。

(3)載荷加載階段，水平阻尼越大，板撓度增長速率越??；載荷卸載時，隨著阻尼的增大，垂向位移減小速率降低。

圖6　不同水平阻尼系數時下點3處撓度變化曲線 Fig.6 The deflection curves of point 3 under different horizontal damping coefficient values

4.2摩擦系數λ對撓度的影響

計算時取運動方向角θ為45°，水平阻尼系數Ch為0.25×106N·s/m3。

圖7為不同時刻時，摩擦系數λ與點1處板撓度的關系曲線，由圖7可知，摩擦系數對點1處的垂向位移沒有影響。

圖7　摩擦系數與點1處撓度的關系 Fig.7 Relation between friction coefficient and deflection of point 1

圖8、圖9描述了不同摩擦系數下點2、點3處板位移變化規律，由圖8～圖9可知：摩擦系數愈大，點2處的位移愈小，然而點3處的擾度隨著摩擦系數的增大而增大。

圖10為t=0.25 s時，各摩擦系數下，不同點處的垂向位移，從圖中可以看出：

(1)摩擦系數對各點處板位移的影響呈線性，對于序號為偶數的典型點處，下沉量隨摩擦系數增大而增大，λ=0.75時點3的位移達到0.6 mm，而對于序號為奇數的典型點(點1除外)，摩擦系數愈大板的撓度愈小，λ=0.75時點6處板的撓度為0.4 mm。另外，與點1距離相等的兩點對應的兩條直線，斜率符號相反，而絕對值相等，說明摩擦系數對兩點位移的影響幅度相同。

(2)從圖10中可以看出，距離點1越遠的點，其對應的直線越陡峭，即摩擦系數對此點位移的影響越大，點6、點7在λ=0.75時位移差值最大，達到0.13 mm。點2、點3在λ=0.75時垂向位移差值為0.05mm。

圖8　不同摩擦系數時點2處撓度變化 Fig.8 The deflection curves of point 2 under different friction coefficient values

圖9　不同摩擦系數時點3處撓度變化 Fig.9 The deflection curves of point 3 under different friction coefficient values

圖10　t =0.25 s時摩擦系數與點2～點7處撓度的關系 Fig.10 Relation between friction coefficient and deflection of point 2～7, at t=0.25 s

4.3運動方向角θ對撓度的影響

編程計算時取摩擦系數λ=0.5，水平阻尼系數Ch=0.25×106N·s/m3。

圖11為不同時刻時，方向角θ對點1處板撓度的影響，由圖11可知，各方向角下點1處在同一時刻的位移相同，說明運動方向變化對點1處的撓度的影響可忽略。

圖12、圖13分別為不同運動方向時點2、點3處板位移變化規律。從圖12～圖13可得：運動方向對板撓度有較大影響，對于點2處，同一時刻垂向位移由大到小排列，對應的方向角依次為30°、15°、0°、45°，而對于點3處相應的方向角分別是45°、0°、15°、30°，由此可知運動方向對點2、點3處位移的影響并不相同。點2、點3在對稱位置，若只存在垂向作用力則撓度變化規律相同，而水平力在點2處產生擠壓作用，在點3處主要呈現拉伸作用，由于擠壓和拉伸時板形變差別較大，因此水平力對點2、點3撓度的影響不相同，導致垂向載荷與水平載荷聯合作用下對稱點處撓度的變化規律出現偏差。

圖11　運動方向與1處撓度的關系 Fig.11 Relation between motion direction and deflection of point 1

圖12　不同運動方向時點2處撓度變化 Fig.12 The deflection curves of point 2 under different motion direction

圖13　不同運動方向時點3處撓度變化 Fig.13 The deflection curves of point 3 under different motion direction

圖14為t=0.25 s時，各方向角下，不同點處的垂向位移，由圖14可知：

(1)方向角對6個點處板撓度的影響規律近似為余弦曲線，6條曲線具有相同的周期，約為22°。序號為偶數的典型點的曲線與序號為奇數的點(點1除外)對應的曲線，兩者相位差約為半個周期。

(2)與點1距離相同的兩點對應的余弦曲線變化幅值相等，如點4、點5處曲線變化幅值為0.06 mm。距離點1越遠的點，曲線變化幅值越大，點6、點7處曲線變化幅值為0.09 mm，點2、點3處曲線變化幅值為0.002 mm。

(3)另外，與點1距離相同的兩點對應的曲線偏移量相同，點2、點3處曲線偏移量為0.575 mm，點4、點5處偏移量為0.53 mm，點6、點7處的偏移量為0.46 mm。

圖14　t =0.25 s時運動方向與點2～點7處撓度的關系 Fig.14 Relation between motion direction and deflection of point 2～7, at t=0.25 s

5結論

提出了考慮水平阻尼的雙參數地基模型，在此基礎上推導了多層地基板的中性面位置表達式，給出了水平動載荷與垂向動載荷聯合作用下板的運動微分方程。采用級數分解和拉氏積分變換相結合的方法，獲得了圓形剛性承載板對地載荷作用下的多層地基板的撓度解析表達式，以地基上三層板為例分析了水平阻尼系數，摩擦系數及運動方向對典型點處板撓度的影響，通過分析可得出以下結論：

(1)考慮水平阻尼時板的最大撓度要小于未考慮阻尼時撓度的最大值，存在阻尼時板下沉量峰值與載荷峰值不同時出現，而是有一定滯后且阻尼越大滯后時間越長。

(2)摩擦系數對多層板位移的影響呈線性，對遠離載荷作用區域圓心處點的響應影響較大。

(3)運動方向角對板撓度的影響規律近似為余弦曲線，與載荷作用面中心距離相等的兩點間余弦曲線的相位差約為半個周期，并且曲線偏移量相同。方向角的變化對遠離圓心處點的位移產生較大影響。

(4)摩擦系數、運動方向對載荷作用面中心處板撓度的影響可忽略。

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