根定系數的三種類型

根定系數的三種類型

□畢 燕 左久剛

分式方程的“三根”是指分式方程的有根、無根（無解）和增根.利用分式方程的“三根”情況，確定分式方程的系數，不僅是近年中考的熱點題型，也是難點和棘手的問題.本文通過對近兩年的300多套中考題的篩選，選擇出了下列最有代表性的三例，進行解答和剖析，目的是使同學們對這部分問題做到胸中有數.

一、有根定系數——分母不為零

分式方程有根是指分式方程有正根、負根、非正根、非負根等，均稱為有根，通過有根的條件，確定方程的系數的范圍.但是要注意隱蔽的條件：分式方程有根，分式方程的分母不能為零.

A.m＞2B.m＜2

C.m＞－2D.m＜－2

又因為x－3≠0，所以x≠3，

故選擇B.

點評：解有關含有字母（非方程的未知數）的分式方程時，首先考慮用題目中含有的字母的代數式（如本題中的m）表示方程的解，然后根據題目的條件確定字母的取值范圍.解答時要注意字母的取值不能使分式方程產生增根.由分式方程有根確定系數時，不僅要考慮其根的正數、負數條件等，還要考慮其分母不為零.忽視了分母為0的隱含條件，就會出現取值范圍擴大的錯誤，所以必須牢記分母不為零.

二、增根定系數——分母必為零

如果分式方程有增根，這個增根一定使某個分母為零，所以使分母為零是確定方程有增根的必選條件.

A.m＝－1B.m＝0

C.m＝3D.m＝0或m＝3

解析：（1）方程兩邊都乘以最簡公分母（x－3），把分式方程化為整式方程，再根據分式方程的增根就是使最簡公分母等于0的未知數的值求出x的值，然后代入進行計算即可求出m的值.

方程兩邊都乘以（x－3），

得2－x－m＝2（x－3），

∵分式方程有增根，

∴x－3＝0，解得x＝3，

∴2－3－m＝2（3－3），

解得m＝－1.故選A.

（2）把a當已知數求出方程的根，根據方程的增根是1，確定a的值.

方程兩邊都乘（x－1），

得ax＋1－x＋1＝0，

（a－1）x＝－2，

點評：根據分式方程的增根，確定方程的系數，首先把分式方程轉化為整式方程.然后使原分式方程的分母為零，求出其增根.再將增根代入整式方程，確定方程的系數.注意：使分母為零，是解決有增根問題的關鍵.

三、“無根”定系數——注意“兩個數”

分式方程無解有兩種情形：一是將原分式方程兩邊都乘以最簡公分母，約去分母得到整理后的整式方程為ax＝b，此時若a＝0，且b≠0，則此整式方程無解，當然原分式方程無解；二是化分式方程為整式方程后，此整式方程的解是原分式方程增根，當然分式方程也無解.

A.－5B.－8 C.－2D.5

解析：（1）去分母得3x－2＝2x＋2＋m，由于分式方程無解，故x＋1＝0，即x＝－1.將x＝－1代入3x－2＝2x＋2＋m，解得m＝－5.故選擇A.

（2）去分母得x－a＝ax＋a，

整理得（1－a）x＝2a.

由于分式方程無解，所以有兩種情況：

①分母為0，即x＝－1，所以a－1＝2a，解得a＝－1；

②整式方程無解，即1－a＝0，解得a＝1.

綜上所述a＝±1.

點評：分式方程無解可能是解這個分式方程后，得到的根都是原分式方程的增根，所以原分式方程沒有解；也可能是把分式方程轉化為整式方程后，這個整式方程無解，導致分式方程無解.所以解答這類問題，必須考慮兩點，解題才是完整的.