第二十一屆國際天文奧林匹克競賽理論試題詳解

□ 李 昕

第二十一屆國際天文奧林匹克競賽理論試題詳解

□ 李 昕

本屆國際天文奧林匹克競賽的理論環節高、低年組各5道題，每題8分，總分40分。同學們完全可以不按試卷上給的題號順序答題，建議通讀一遍題目后，挑選容易有思路的題目開始作答。

α-1火星衛星

首先，如題意要在火星的人造衛星上看到與地球情況相同的日食，就是要讓衛星與火星所處的距離恰好能使火星與太陽的角直徑相同。設衛星與火星距離為A，火星與太陽距離為L，太陽和火星的直徑分別為D和d。為使角直徑相同需滿足：d/A=D/(L+A)，查表代入已知數據可解得A≈1.11×108km。

有的同學認為到這里本題已經作答完畢，實際上這里的分值只有1分。本題的關鍵是要討論是否會有距離火星如此遠的衛星。為此我們計算火星的第二拉格朗日點位置，衛星如果比L2點還遠，火星的引力就將無法束縛它。設其距離火星Λ，有GMS/(L+Λ)2+GMM/Λ2=ω2(L+Λ)，其中MS和MM分別為太陽和火星質量，ω為衛星角速度，同時也是火星公轉角速度；上式解起來比較復雜，尤其是對低年組的同學，但我們可以將其化繁為簡。由于有MS＞＞MM，L＞＞Λ，因此GMS/L2=ω2L，ω2=GMS/L3，再代入原式即有：MS/(L+Λ)2+MM/Λ2=MS(L+Λ) /L3；Λ=L×(MM/3MS)1/3=1.08×108km。

可見A＞Λ，因此衛星已經超過了火星L2點，不能再作為它的衛星，這種情況也就不可能成立。最后不要忘記用英文寫上：impossible situation，此題才能得到滿分。

β-1戴森球

我們都知道行星繞中心恒星的公轉周期僅與中心恒星的質量和軌道半徑有關。即t=2π/ω，ω2R=GM/R2。

題目中說行星就是在參宿四表面上運行，因此這里面的R即是軌道半徑，又是恒星的半徑，這道題的重點就是求參宿四的半徑。

根據斯特藩·玻爾茲曼定律我們可知L～R2T4，我們可以引入太陽的數據求出參宿四的半徑。其中太陽半徑R⊙、表面溫度T⊙、參宿四的表面溫度TB，以及兩者的質量都可以從常數表查得。光度L雖然不能直接查得，但可以通過視星等（0.5m）和距離（197pc）來計算。

根據距離模數公式：m-M=5logD-5，可以計算出參宿四與太陽的絕對星等差Δm=10.8m，因此有：LB/ L⊙=100Δm/5=21000。

根據已知條件，我們就可以求出R=(21000)1/2R⊙(T⊙/ TB)2。

再計算出t≈247天。

考慮到這種計算周期的方法是估算，因此結果不能這么精確，大約是250天，這個粗略的結果占1分，如果你的結果過于精確的話就不能得到這1分了。

α-2一天的長度

本題提出了一個很有趣的問題，地球兩極冰川的消融導致海平面上升，從而使自轉變慢。

地球自轉滿足角動量L守恒，我們可以將其寫成L0=I0·ω0=(2/5M0R2+Iice)ω0，其中I是轉動慣量，常數表里有固體球轉動慣量公式，ω是角速度；當一部分冰融化以后，地球半徑增加了Δh，角動量：L1=I1ω1=(2/5M0R2+2/3ηρSΔh(R+Δh/2)2) ω1，其中的S為地球表面積，ρ為海水的密度，η為海洋占地球表面積的百分比，這里可以取0.7，當然±0.05都算正確。

那么ηρSΔh就是冰融化導致的海平面升高所產生的質量，由于Δh＜＜R，上式最后那部分的(R+Δh/2)2可以近似為R2。

由于動量守恒，即L0=L1，因此有：(2/5M0R2+Iice) ω0=(2/5M0R2+2/3ηρSΔhR2) ω1。

冰融化前主要是在兩極地區，因此Iice也是極小量，可以忽略。又有ω=2π/T，這里的T就是地球自轉周期。于是我們可以得到：8/3πηρR4Δh (2π/T1)= 2/5M0R2(2π/T0-2π/T1)= 2/5M0R22π(T1-T0)/T1T0。

由于T1≈T0≈T，有：8/3πηρR4Δh=2/5M0R2ΔT/T，代入所有已知數據可得Δh/ΔT=0.11m/ms。

從圖中可測量出1995年到2003年每天的長度縮短了1.8ms，因此海平面降低了0.2米。

β-2一天的長度

本題解法與α-2基本相同，找到Δh與ΔT的關系，根據圖中找出每個比較明顯的天長變化ΔT，計算出相應的Δh。在找出ΔT時，同學們要考慮到天長變化最長周期的影響因素，即每千年增加16ms。在圖中給出的1830年至2014年的將近200年里，這個變化導致天長增加了3.2ms，而這并非是由海平面上升引起的。因此最后畫出的縱坐標為Δh的圖會比給出的圖更向下傾斜，如圖所示。

αβ-3 天兆，兩顆彗星

3、4兩題雖出自一段歷史故事，但它們考查的要點完全不同。第3題主要涉及行星軌道和角分辨率的知識。

題中提到兩顆彗星的公轉周期都是3年，我們立刻想到根據開普勒第三定律T2/a3=1，可以計算出其軌道半長徑a=2.08au。

又有彗星遠日點位于小行星帶中間位置，我們可以回憶谷神星就在小行星帶中間位置，它到太陽的平均距離大約是2.8au，當然數據表里也有。那么彗星的近日點就在2a-2.8=1.36au的位置。

題中還有一個重要的已知條件，即彗星位于遠日點時正好相對地球沖日，也就是說彗星、地球和太陽在一條直線上。那么近日點時，也就是半個公轉周期，即1.5年以后，它依然相對地球沖日。因此遠日點時它與地球相距1.8au，近日點時為0.36au。

接下來討論兩顆彗星之間的距離，設其遠日點時距離為LA，近日點時為LP。根據開普勒第二定律有：LA×1.8au=LP×0.36au，也就是另一種形式上的單位時間掃過的面積相等。

遠日點時，兩顆彗星在肉眼看上去恰好是一個點，我們人眼的分辨率大概是1′。

最后在兩個三角形中，我們就可以解出近日點期間兩顆彗星的角距離大約是7′。

αβ-4天兆，月亮和彗星

本題一看就是要進行日期的精確計算，因為子問題中涉及了月球在哪個星座，上一屆IAO也考了類似的問題。

4.1 題中說彗星從月牙的亮面出來。我們都知道月球相對背景星空的自行是由西向東，而且肯定比彗星自行得快。除非彗星距離地球比月球還要近，但根據題意這是不可能的。因此如果彗星從亮面出現肯定是蛾眉月的月相，那么一定是在日落后的黃昏時段看到這一天象。

4.2 題中提到月相是非常細的月牙，因此也就是農歷初二或者初三前后，即月球位于太陽東側30°左右。題中說的觀測日期大約是6月22日，這段時間太陽位于金牛座，那么月球應該位于雙子座。

4.3 根據題中幾支軍隊的地理位置，拜占庭的軍隊被包圍在君士坦丁堡，保加利亞軍隊位于西北方，希臘軍隊位于東南方。這時候大家需要把腦洞打開到無限大。夏至前后的日落會在西北方，日落后的月亮和彗星也會位于相近的方位。古人對彗星非?？謶?，認為彗星是不祥之兆。希臘軍隊面向西北，看到這個天象自然會很害怕。保加利亞軍隊也會很害怕，因為他們的背后出現了“刀光劍影”。

4.4 圖片的藝術性在這里不進行討論，但圖中需要標明方位，以及月球的角直徑等信息。

4.5 這是本題中占分值最大的一部分。要想知道看到這一天象是哪天，必須根據之前得到的月相進行精確計算。我們知道最近的一個初三是2016年10月3日（如果你看了月亮應該會知道），當然記得9月1日有日食的話也能推斷出。接下來計算其到公元813年一共有多少天。

我們知道每年有365天，4年一個閏年有366天，每逢整百的年份不置閏，但400的整數年份又是閏年。因此有：天數N=(2016-813)×365+int[(2016-813)/4]-9+103，103是10月3日與6月22日相差的天數。

有一個重要的問題，上述的置閏規則是對應新的格利高里歷，但在舊歷法儒略歷轉化為格利高里歷的1582年實際上少了10天（1582年10月5日被人為規定為10月15日），所以有的同學認為應該減去這10天，其實不然。我們在計算時就是在用格利高里歷算的，就不用再去考慮這10天的問題了，大家可以再思考一下原因。

上面求得的N=439490。接下來我們計算這么多天相當于多少個朔望月，有些同學直接拿29.5或者29.53來計算，其實是不正確的。因為在很多天里，朔望月周期取值的不精確會造成很大的誤差。在這大約14883個朔望月里，周期取值相差0.005，就會差出大約74天。因此我們要計算更精確的朔望月周期。

在數據表中可以查到月球公轉周期是27.3217天，恒星年是365.25636天，它們的會合周期就是朔望月，因此有T=T1T2/ (T2-T1)=29.5306天。因此有439490/29.5306=14882.47個朔望月。由此我們可以推斷出觀測到該天象的日期是6月22日之前的14天，大約是6月8日前后。

本題主要考查對歷法知識的精確掌握，農歷在我國使用也很廣泛，因此應該很占便宜，但同學們普遍作答得不好。

αβ-5尋找小行星

往屆的國際天文奧賽中曾經考過類似的題目。有些同學的思路是通過分辨率公式計算望遠鏡的口徑，再求它在柯伊伯帶距離上的分辨率。其實這樣考慮不夠全面，而且也繞了彎路。

我們設望遠鏡要想“觀測到”小行星或者柯伊伯帶天體，接收到的光通量是φ。很容易知道φ與天體光度L成正比，與天體到我們的距離D的平方成反比。但小行星不一樣，它們本身不發光，而是反射太陽光，實際上它們的光度L與其表面積（直徑d的平方）成正比，與其表面反照率α成正比，與它們到太陽的距離R的平方成反比。因此有：φ～R-2D-2d2α。

同樣都是“觀測到”，所以φ1=φ2，所以我們找到上述參數的關系就可以求出d2了。

小行星主帶和柯伊伯帶天體到太陽的距離R分別為2.8au（這個必須記?。┖?5au～50au（行星數據表里能查到，但也應該記?。?。

那么它們到我們的距離D就是上述取值再減1au。

反照率α也可以分別從數據表中查出，谷神星是0.09，Eris是0.9，Makemake是0.77，柯伊伯帶天體的反照率可以取兩者的平均值。但經過領隊討論，這里只要考慮反照率因素，無論取值多少都給了分。

最后代入所有數據，d1=2.5km，可以計算出d2大約是300km，當然本題也是估算，最后答案的數值如果太精確也是得不到最后的1分的。

（責任編輯 馮翀）