“南水”雙屈服面模型的兩點修正

王庭博， 陳生水， 傅中志

(1. 同濟大學，土木工程學院， 上海 200092; 2. 南京水利科學研究院， 巖土工程研究所， 南京 210029；

3. 水利部土石壩破壞機理與防控技術重點實驗室， 南京 210024)

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“南水”雙屈服面模型的兩點修正

王庭博1,2， 陳生水2,3， 傅中志2,3

(1. 同濟大學，土木工程學院， 上海 200092; 2. 南京水利科學研究院， 巖土工程研究所， 南京 210029；

3. 水利部土石壩破壞機理與防控技術重點實驗室， 南京 210024)

摘要：基于堆石料大型三軸試驗數據，分析研究了其切線模量和切線體積比與應力狀態的關系，建立了切線模量和體積比與應力比之間的函數關系式，并將其引入“南水“雙屈服面彈塑性模型中.運用修正模型對不同應力路徑下堆石料的大型三軸壓縮試驗結果進行了模擬，結果表明，修正模型在未增加參數的情況下較好克服了原模型在描述堆石料應力-應變關系，特別是剪脹(縮)特性方面的不足，可更好地模擬堆石料的強度和變形特性.

關鍵詞：雙屈服面； 彈塑性模型； 切線模量； 切線體積比； 堆石料

堆石料具有壓實性能好、透水性強、填筑密度大、抗剪強度高、沉陷變形小、承載力高等工程特性，在高土石壩建設中得到了廣泛應用[1].早在20世紀70年代，Duncan等[2]就在試驗基礎上提出了著名的雙曲線模型，描述堆石料的應力-應變關系，并因其參數確定簡單在土石壩應力-變形有限元計算中得到廣泛運用.但Duncan模型本質是非線性彈性模型，對堆石料體變的模擬通過泊松比與應力狀態的關系實現，故很難合理反映堆石料顯著的剪脹(縮)特性.此外，Duncan模型運用于實際工程時通常會高估大壩沉降.為克服上述問題，沈珠江以Duncan模型為基礎，采用拋物線描述堆石料的體變曲線，并引入兩個屈服面分別反映剪脹和剪縮特性，建立了“南水” 雙屈服面彈塑性本構模型[3].由于“南水”模型參數同樣只需常規三軸壓縮試驗確定，且預測的大壩位移與實測資料更為吻合，故在國內高土石壩工程中得到普遍運用和廣泛認可.然而，拋物線型體變曲線會明顯高估堆石料的峰后體脹，特別是在描述較為松散的堆石料或高圍壓下堆石料三軸壓縮試驗時差異明顯.此外，模型中破壞比參數的運用使試樣始終處于硬化狀態，很難正確模擬堆石料的破壞過程.

張丙印等[4]提出了堆石體的修正Rowe剪脹方程，并將其用于描述堆石料體變特性，使用常規和復雜應力路徑的三軸試驗成果對修正后的模型進行了驗證，結果顯示其較好克服了采用拋物線型體變曲線模擬的缺陷.米占寬等[5]提出了考慮顆粒破碎的剪脹方程，對南水模型中切線體積比μt進行了修正，提出了考慮顆粒破碎的粗顆粒料本構模型，通過與三軸試驗成果的對比分析表明了其所提模型可較好地反映體變特性，但修正后比原模型增加了3個參數.

本文基于堆石料大型三軸試驗數據，建立了切線模量Et和切線體積比μt分別與應力比η的關系，將峰值應力比Mf和臨脹應力比Mc兩個控制應力峰值和體變特性的特征應力比引入“南水”雙屈服面彈塑性本構模型，結果表明，修正模型在未增加參數的情況下較好克服了原模型在描述堆石料應力-應變關系，特別是剪脹(縮)特性方面的不足，可更好地模擬堆石料的強度和變形特性.

1“南水”雙屈服面模型

1.1Et和μt的表達式

“南水”雙屈服面模型沿用了Duncan-Chang模型切線模量Et表達式，即

(1)

式中:(σ1-σ3)為軸向偏應力；K為量綱一的初始彈性模量系數；n為初始彈性模量隨圍壓變化的冪次；pa為標準大氣壓，pa=101 kPa；Rf為破壞比，c和φ分別為材料的粘聚力和內摩擦角，對于堆石料c=0，內摩擦角由式(2)計算：

(2)

式中：φ0是圍壓σ3為大氣壓力pa時的峰值摩擦角；Δφ是圍壓σ3增加一個數量級時峰值摩擦角降低的角度.卸荷一再加荷條件下切線模量由式(3)計算：

(3)

式中：Kur為量綱一的卸載回彈模量系數；n為量綱一冪次.而體積應變與軸向應變(εv-ε1)的關系曲線則假定為拋物線[6]，如圖1所示，其方程為

(4)

式中:εvd為最大體縮應變；εd為與最大體縮應變所對

(5)

式中:Ei是初始彈性模量;Sl是應力水平，cd，nd，Rd為3個試驗參數，分別代表σ3=1個大氣壓時的最大體應變，體應變隨σ3變化的冪次和最大體應變發生時的應力比，由式(6)—(7)決定：

(6)

(7)

“南水”雙屈服面模型共涉及9個計算參數，分別為c、φ、Rf、K、Kur、n、cd、nd、Rd，均可由三軸固結排水剪切試驗得出.

圖1　三軸試驗曲線的擬合

1.2“南水”雙屈服面模型模擬結果

采用“南水”雙屈服面模型對某高土石壩堆石料三軸試驗結果進行模擬.“南水”雙屈服面模型參數見表1.試驗數據和模擬結果見圖2.其中，散點為試驗結果，曲線為模擬結果.從圖2a軸向應力應變關系曲線中可以看出，盡管堆石料峰值摩擦角是根據試驗資料直接整理得出的，但式(1)并未合理反映出堆石料的破壞特點，主要原因是式(1)中破壞比參數(Rf<1)的運用，使材料在應力水平達到1時切線模量仍然始終為正，無法模擬應力不變條件下，應變無限增長的破壞特點；“南水”雙屈服面模型的另一個不足之處是，無論在低圍壓還是高圍壓狀態下，均高估了堆石料的剪脹，如圖2b所示，顯然，拋物線型體變曲線不能很好模擬堆石料的剪脹(縮)規律.

表1　三軸試驗模型計算參數

a (σ1-σ3)-ε1擬合曲線

b εv-ε1擬合曲線

2“南水”雙屈服面模型的修正

2.1堆石料的軸向應力-應變關系

圖3中整理了4種不同圍壓下堆石料切線模量與應力比的關系，圖中橫坐標為應力比η與峰值應力比Mf的比值，擬合曲線和方程表達式如圖所示.從圖中可以看出，初始切線模量Ei與圍壓σ3相關，圍壓越大，初始模量越大，此處仍采用以下公式[7]：

(8)

式中:K和n是兩個參數，可根據不同圍壓的試驗值求出.

a 400 kPa

b 800 kPa

c 1 200 kPa下Et與η的關系

d 3 000 kPa下Et與η的關系

加載過程中，隨著應力比η(η=q/p)的增加，切線模量Et逐漸衰減.在η達到峰值應力比后，Et最終趨于0.本文采用式(7)描述切線模量Et的變化規律：

(9)

式中:α為量綱一參數；Mf為峰值應力比，確定如下：

(10)

式中，φf為峰值摩擦角，用來描述堆石料的強度非線性特性，由式(2)計算確定[8].

顯然，η=Mf時，切線模量Et=0.此時，在不施加軸向應力的情況下，軸向應變持續發展，達到破壞狀態.

2.2堆石料的體變特性

圖4中繪制了4種堆石料在不同圍壓下切線體積比與應力比的關系.圖中橫坐標為應力比η與某一臨界狀態應力比Mc的比值，擬合曲線和方程表達式如圖4所示.

從圖中可以看出，在初始加載階段，切線體積比μt很快地發展到最大值，然后隨著應力比η的增加，μt逐漸減小，而大部分點都位于μt的減小區.需要指出的是，在最初加載發生的一瞬，試樣實際上是有體變發生的，至于一開始μt值為零，是由于試驗中排水管道過長，水未來得及排出，體積變化發生滯后所致.

a 堆石料I

b 堆石料II

c 堆石料III

d 堆石料IV

基于上述分析，本文采用式(11)描述切線體積比μt隨應力比η的變化：

(11)

式中：μt0為初始切線體積比；Mc定義為臨脹應力比，由式(12)確定：

(12)

式中，ψc為臨脹摩擦角，用來描述堆石料的剪脹(縮)性與圍壓σ3之間的非線性關系，即：

(13)

式中：pa為標準大氣壓，101 kPa；ψ0為圍壓σ3為大氣壓力pa時的剪脹摩擦角；Δψ為圍壓σ3增加一個數量級時剪脹摩擦角降低的幅度.

顯然，三軸試驗條件下，初始切線體積比μt0<1.而當η=Mc時，μt=0，此時為體積由剪縮變為剪脹的轉折點.剪脹特征點對應的摩擦角稱為臨脹摩擦角ψc，其對應的應力比即為臨脹應力比Mc.

綜上所述，“南水”雙屈服面模型修正后的兩個基本變量切線模量Et和切線體積比μt可以表示為應力比η的函數：

(14)

式中：Mf為峰值應力比；Mc為臨脹應力比，μt0為初始切線體積比.修正后，冪次α代替原模型中破壞比Rf參數；μt0、ψ0、Δψ代替原模型中cd、nd、Rd三個參數.

3參數確定與模型驗證

3.1參數測定

峰值應力比Mf和臨脹應力比Mc分別由峰值摩擦角φf和臨脹摩擦角ψc計算確定.峰值摩擦角參數φ0、Δφ由φf～lg(p/pa)關系曲線的截距和斜率確定，剪脹摩擦角參數ψ0、Δψ由ψc與lg(p/pa)關系曲線的截距和斜率確定；參數α通過擬合Et-η曲線確定.與“南水”模型相比，修正后的模型參數個數并未增加，且均可由三軸固結排水剪切試驗確定.

3.2不同堆石料的試驗驗證

將本文建議的切線模量Et和切線體積比μt的表達式引入到南水模型，并對某面板堆石壩兩種典型筑壩堆石料的三軸試驗進行了模擬.堆石料I巖性為玄武巖，屬堅硬巖；堆石料II巖性為灰巖，巖石堅硬，呈弱風化較完整狀態.表2為相應的模型計算參數，圖5和圖6中對比了兩種材料的試驗和模擬結果.從圖中可以看出，通過修改切線模量表達式，修正模型較好地反映了堆石料在不同圍壓下的破壞情況，即應力不變時應變的無限發展；通過修改切線體積比表達式，修正模型能夠較好地反映堆石料的初始剪縮，且克服了原始模型后期剪脹過大的缺點.臨脹應力比相關的兩個摩擦角參數的引入能夠合理地反映堆石料低圍壓下剪脹，高圍壓下剪縮的特點.

表2　三軸試驗修正模型計算參數

a 堆石料Ⅰ，(σ1-σ3)-ε1

b 堆石料Ⅰ，εv-ε1

3.3不同應力路徑的試驗驗證

為驗證修正模型的適用性，對某高心墻堆石壩主堆石料弱風化花崗巖3種不同應力路徑下的試驗進行了模擬.三種應力路徑分別為三軸壓縮試驗(k=dσ3/dσ1=0)、等p加載(k=-0.5)和等比例加載(k=0.4).每種應力路徑都進行了一個卸載和再加載的循環.常規三軸在軸向應變達到15%時進行卸載再加載；等p試驗在即將達到破壞強度時，按原路徑卸載至q=0，再保持p不變，增大q，加載至試樣破壞；等應力比試驗在圍壓力達到1.6 MPa時進行一個卸載和再加載的循環，再加載到圍壓至2.5 MPa時結束試驗[9].根據室內常規三軸排水剪切試驗確定了該堆石料的本構模型參數，見表3.本文只模擬單調加載的情況，模擬結果與試驗結果的對比見圖7-9.

由圖7—9可以看出：(1)k<0時，低圍壓下堆石料很快產生剪脹，剪縮過程較短，隨著圍壓的增大，剪脹程度逐漸減弱直至只有剪縮發生.修正“南水”模型較好地反映了堆石料這一剪脹(縮)規律；(2)k>0時，模型預測的體積變形與軸向變形基本呈線性

a 堆石料Ⅱ，(σ1-σ3)-ε1

b 堆石料Ⅱ，εv-ε1

材料φ0/(°)Δφ/(°)ψ0/(°)Δψ/(°)μt0KKurnα堆石料III49.49.047.27.10.95710.01420.00.250.8

a k=0，(σ1-σ3)-ε1

b k=0，εv-ε1

a k=-0.5，(σ1-σ3)-ε1

b k=-0.5，εv-ε1

a k=0.4，p-εv

b k=0.4，εv-ε1

關系，在應變較小時與試驗結果吻合良好，但當應變較大時，模型預測結果與試驗結果差異增加.但總體而言，修正模型可以較好地預測不同應力路徑下堆石料的應力-應變關系.

4結論

通過分析三軸壓縮試驗結果，分別建立了切線模量Et和切線體積比μt與應力比η的關系表達式，并將其引入南水雙屈服面模型中，修正了“南水”雙屈服面模型在反映堆石料破壞和剪脹(縮)變化規律方面的不足.修正后的“南水”模型具有下述3個特點：

(1)模型在切線模量中未使用破壞比參數，修正后切模量最終趨于0，較好地反映了堆石料在達到峰值應力后保持不變，應變持續發展的破壞特點；

(2)在切線體積比中引入臨脹應力比Mc，通過剪脹摩擦角ψc較好地反映了堆石料在低圍壓下剪脹，高圍壓下剪縮的剪脹(縮)的變化規律；

(3)修正“南水”模型未增加試驗參數，且各參數均可由室內常規三軸試驗確定.

運用不同堆石料，多種圍壓和應力路徑下的試驗結果對修正“南水”模型進行了驗證，表明其可更好地反映堆石料的強度和剪脹(縮)特性.

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Two Modifications to the Shen Zhujiang's Double Yield Surface Model

WANG Tingbo1,2, CHEN Shengshui2,3, FU Zhongzhi2,3

(1. College of Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 20092, China; 2.Geotechnical Engineering Department, Nanjing Hydraulic Research Institute, Nanjing 210029, China; 3. Key Laboratory of Earth-Rock Dam Failure Mechanism and Safety Control Techniques, Ministry of Water Resources, Nanjing 210024， China)

Abstract：Taking the original triaxial test data as the basis, this study analyzed the relationship between the tangential modulus, or the tangent bulk ratio and the stress state. The corresponding relational expression were proposed, respectively. Then, the two new expressions were introduced into Shen’s elastoplastic model with double yield surfaces to replace the old ones. The triaxial simulated results of rockfill materials showed that the modified model can overcome the disadvantages of using the damage stress ratio to control the final strength, especially the inadequate characteristics of shear dilatation (contraction). And the simulated results of different stress-path triaxial tests confirmed the new model can well simulate the strength and deformation characteristics of rockfill.

Key words：double yield surfaces; elastoplastic model; tangential modulus; tangent bulk ratio; rockfill

文獻標志碼：A

中圖分類號：TU43

通訊作者：陳生水(1962-)，男，工學博士，教授級高級工程師，博士生導師，主要研究方向為土石壩工程.E-mail:sschen@nhri.cn

基金項目：國家自然科學基金(91215301，51379130)；中央級公益性科研院所基本科研業務費專項資金項目(Y314011，Y315005)

收稿日期：2015-04-14

第一作者： 王庭博(1987-)，男，博士生，主要研究方向為高土石壩工程.E-mail:1310176@#edu.cn