淺埋單層三跨地下結構在豎向地震作用下的動力響應

楊謹瑞，　戚承志，　魏小琨，　劉天添

(北京建筑大學 土木與交通工程學院 北京市高校工程結構與新材料工程研究中心， 北京　100044)

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淺埋單層三跨地下結構在豎向地震作用下的動力響應

楊謹瑞，戚承志，魏小琨，劉天添

(北京建筑大學 土木與交通工程學院 北京市高校工程結構與新材料工程研究中心， 北京100044)

摘要：采用結構動力學方法，通過求解地下結構頂板的動力響應得到了單層三跨地下結構中柱在豎向地震分量作用下的動力響應. 地下結構首先被看作是剛體，利用與地基的相互作用得到地下結構在豎向地震分量作用下的動力響應. 其次，由于地下結構的對稱性，取一半進行簡化分析，側墻對于頂板的約束用抗彎彈簧代替. 再次，根據邊界條件將之前的剛體動力響應作為輸入，可以求得頂板的剪力. 最后，通過之前求得的頂板剪力進而求得中柱的受力情況. 結果表明，豎向地震分量對中柱的作用是顯著的，甚至會對地下結構中柱產生嚴重的破壞.

關鍵詞：豎向地震分量； 單層三跨； 中柱； 動力響應

早期地震工程中認為，地下結構受地震的影響很小. Newmark N.M.等[1]是最早研究豎向及水平地震峰值的學者之一. 他們的研究表明，豎向地震加速度峰值可以比較安全地取為水平分量的2/3. 有記錄表明，有些地震產生的豎向加速度不僅相對于水平地震分量來講很高，而且絕對值也很大. 在地鐵車站中柱發生不同程度的破壞中，觀測到中柱中間部分有環向和豎向裂紋或者屈曲、被壓碎. 在日本阪神地震中，大開地鐵車站破壞最為嚴重，有一半以上中柱倒塌，這就導致了頂板的坍塌和上覆土層的大量沉降，沉降量最大的地方達2.5 m. 因為對于對稱結構來講，在水平地震動作用下，中柱中間部分的彎矩基本上為零，因此中柱中間部分的環向、豎向裂紋、屈曲與壓碎破壞不能夠認為是水平地震動引起的.

豎向地震分量對于地下結構的影響，相關專家學者也取得了一些成果. 姚小彬等[2]發展了一種求解淺埋地下結構頂板頻率和振型的方法. 于翔等[3]通過沖量原理分析了豎向地震分量對于地鐵結構破壞的影響，發現豎向地震作用的破壞也是非常大的. 李信橋等[4]采用ABAQUS軟件對地下結構受豎向、橫向以及橫豎向地震分量共同作用下的動力響應進行了模擬. 楊春田[5]采用沖量原理計算豎向地震作用，針對日本阪神地震中柱破壞進行了定量分析,認為豎向地震動必須在地下結構的計算中考慮. 戚承志等[6]給出了一種箱形地下結構抗震計算方法. 王越等[7]認為研究豎向地震分量對于地下結構的作用主要應該針對豎向地震分量作用的定量研究. 在文獻[8]中，戚承志等研究了淺埋地下結構頂板在豎向地震作用下的動力響應，但是沒有研究中柱和底板的動力響應.

對于地下結構，有時豎向地震分量的作用是顯著的，有時還是很嚴重的. 由于中柱是地下結構在地震時最薄弱的部位. 目前對于地下結構在豎向地震作用下的動力響應的研究較少，且主要集中于數值模擬，缺乏理論模型. 本文將基于土與結構相互作用的解析模型研究豎向地震作用下淺埋地下結構中柱的動力響應. 由于單層三跨地鐵站為對稱結構，為簡化計算，取一半進行分析，首先將地下結構看作是剛體，得到剛體在豎向地震分量作用下的動力響應. 之后側墻對于頂板的約束用抗彎彈簧代替，根據邊界條件，將之前的剛體動力響應作為輸入，可以求得底板與頂板的彎矩和剪力，從而求得中柱的受力情況.

1單層三跨地下結構運動規律的近似求解

選取的單層三跨地下結構如圖1所示. 當頂板在中柱所在截面的剪力已知時，即可得到中柱受力. 求解頂板動力響應時所需的邊界條件根據側墻的運動規律給出. 將地下結構看作剛體，則側墻的運動規律可以通過剛體與地基的相互作用得到. 地下結構的位移與底板在x=0與x=L處的位移相等.

(1)

由達朗貝爾原理，可以得到結構的運動方程為：

(2)

其中，將結構與覆土看作整體，質量為M:

地下結構的絕對位移：

(3)

2求解地下結構頂板動力響應

利用結構的對稱性可以使問題的分析簡化，所

以取地下結構一半進行分析說明，設側墻與底板為剛性的，頂板為彈性的，側墻剛性聯結在底板上. 該地下結構的縱向尺寸遠大于其直徑及其邊長，將頂板沿軸線方向取單位長度，這樣可以將頂板簡化為梁.

取微元體進行受力分析，根據豎直方向平衡條件和力矩平衡條件，略去二階微量，可得頂板的自由振動方程與強迫振動方程[9]：

(4)

(5)

由于式(4)為線性的，采用分離變量法來進行求解[10]. 得到兩個獨立的常微分方程:

(6)

(7)

Y(x)=A1coskx+A2sinkx+

A3coshkx+A4sinhkx

(8)

為了分析較為簡便，使用抗彎彈簧來代替側墻對于頂板的抗彎作用，抗彎彈簧系數為kφ，如圖3所示.

那么，頂板梁的邊界條件為：

x=0時，Y′(0)=0，Y″(0)=0

x=L時，Y(L)=0，DY″(L)=ML=-kφY′(L)

將以上兩組邊界條件分別帶入式(8)，整理可以得到頂板梁的頻率方程：

(sinkLcoshkL+coskLsinhkL)+

上式為關于kL的超越方程，通過數值法可以得到kL的值，然后可以得到頂板的振動頻率，之后可以求得A1～A4的值，最后便可得到頂板的振型方程. 對于頂板振動第一振動模態，特征值為(kL)1=2.891 2.

3算例

設側墻墻厚δw=0.7m，頂板內側板面與底板內側板面之間的距離hw=5.5m，中柱截面尺寸1.5m×1.5m，側墻的抗剪系數kτ=0.7×108N/m3，混凝土楊氏模量E=2.35×1010N/m2，泊松比ν=0.16，地基系數kg=2.0×108N/m3，頂板梁長度L=8m，頂板厚δc=0.7m，頂板梁密度ρc=2 400kg/m3，覆土層厚度為4m，密度ρs=1 800kg/m3.

7.244×108Nm

振型為：

Y1(x)=coskx+0.923 8sinkx+

coshkx-0.923 8sinhkx

(9)

其中:

利用振型的正交性來求解頂板的運動方程，得到有阻尼運動方程：

(10)

式中,Mn為廣義質量,Pn(t)為廣義力. 對于第一振型，可以求得廣義質量與廣義力分別為M1=16.190m，P1(t)=50.130msin50t，可以得到廣義坐標方程為:

當ζ1=0.1時，穩態解的形式為:

φ1=A1sin(50t-φ1)

其中:A1=2.54×10-3m

對于第一振型：

coshkx-0.923 8sinhkx)sin(50t-φ1)

頂板受到的剪力為：

DA1k3(sinkx-0.923 8coskx+

sinhkx-0.923 8coshkx)sin(50t-φ1)N

那么可以得到中柱所在截面處頂板剪力大小為：

2.74×105×sin(50t-φ1)N

當柱間距取3m時，中柱所受到的軸向力大小為:

F=3×Fs(3.15,t)=8.23×105×sin(50t-φ1)N

地下結構頂板與覆土的靜重力:

G=2.32×105N

通過以上計算看以看出，在豎向地震作用下，中柱的受力是顯著的，約為靜重力的3.55倍.

4結論

本文采用結構動力學方法，通過求解地下結構頂板的動力響應得到了單層三跨地下結構中柱在豎向地震分量作用下的受力情況. 地下結構首先被看作是剛體，利用地下結構與地基的相互作用得到地下結構在豎向地震分量作用下的動力響應. 其次，由于地下結構的對稱性，取一半進行簡化分析. 再次，側墻對于頂板的約束用抗彎彈簧代替，根據邊界條件，將之前的剛體動力響應作為輸入，可以求得頂板的剪力. 最后，通過之前求得的頂板的剪力進而求得中柱的受力情況. 通過算例中的計算結果可以看出，豎向地震分量對中柱的作用是顯著的，甚至會對地下結構中柱產生破壞，所以豎向地震作用對于地下結構的影響是不能忽視的.

參考文獻：

[1]Newmark N M, Blume J A, Kapur K K. Seismic design spectra for nuclear power plants[J]. Journal of Power Division, 1973, 99(2): 287-303

[2]姚小彬，戚承志，陳國興.一種求解地下結構頂板頻率和振型的方法[J].防災減災工程學報，2011，31(6)：687-694

[3]于翔，錢七虎，趙躍堂，等.地鐵工程結構破壞的豎向地震力影響分析[J].解放軍理工大學學報(自然科學版)，2001，2(3)：75-77

[4]李信橋，戚承志，李國華.淺埋地下結構受豎向地震作用的數值模擬[A]∥第二屆全國工程安全與防護會議論文集[C]. 2010:832-841

[5]楊春田.日本阪神地震工程的震害分析[J].工程抗震，1996，17(2)：40-42

[6]Qi Chengzhi, Chen Canshou, Davis C A, et al. Simplified analysis model of seismic soil-underground box-type structure interaction[J]. In: Challenges and Advances in Sustainable Transportation Systems, 2014:691-699

[7]王越，戚承志.豎向地震分量對于地鐵站動力反應影響的研究[J].山西建筑，2009，35(1)：81-83

[8]戚承志，陳燦壽，錢七虎，等.淺埋地下結構頂板在豎向地震作用下的動力響應[A]∥第二屆全國工程安全與防護會議論文集[C]. 2010：691-697

[9]楊桂通.彈性力學[M].北京：高等教育出版社，1998：179-184

[10]劉晶波，杜修力.結構動力學[M].北京：機械工業出版社，2007：160-162

[11]龍馭球.彈性地基梁的計算[M].北京：人民教育出版社，1981：90-94

[責任編輯：佟啟巾]

Dynamic Response of Mid-Pillar Under Vertical Seismic Excitation in Treble-Span Shallowly Buried Underground Structure

Yang Jinrui,Qi Chengzhi,Wei Xiaokun, Liu Tiantian

(School of Civil and Traffic Engineering, Beijing Higher Institution Engineering Research Center of Structure and New Materials, Beijing University of Civil Engineering and Architecture, Beijing 100044)

Abstract:Using the structural dynamics method the dynamic response of mid-pillar under vertical seismic excitation in treble-span shallowly buried underground structure is gained by solving dynamic response of underground structure roof slab. Firstly, underground structure is treated as rigid body and the dynamic response of structure under vertical seismic excitation is obtained by analyzing the interaction between rigid body and foundation. Secondly, due to the symmetry of the underground structure, half of the structure is taken into consideration. Bending restraint of side wall which is replaced by bending spring is taken into consideration. Shear forces of roof slab is obtained by inputting the dynamic response of the rigid body obtained previously as boundary condition of roof slab. Finally, the stress of mid-pillar is obtained. The results show that the effect of vertical seismic excitation is significant for mid-pillar, even causes serious damage for the mid-pillar of underground structure.

Key words:vertical seismic excitation; treble-span; mid-pillar; dynamic response

中圖分類號：P315.9; TU435

文獻標志碼：A

作者簡介：楊謹瑞(1990—)，男，碩士研究生，研究方向：結構抗震、巖土力學.

基金項目：國家自然科學基金項目(51174012，51174012);北京市屬高等學校創新團隊建設與教師職業發展計劃項目(IDHT20130512);國家重點基礎研究發展計劃(973)項目(2015CB0578005)

收稿日期：2015-10-03

文章編號：1004-6011(2016)01-0042-04