基于Cauchy主值積分的高振蕩函數的數值計算

周勇攀

(武漢工程大學計算機科學與工程學院，湖北 武漢 430074)

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基于Cauchy主值積分的高振蕩函數的數值計算

周勇攀

(武漢工程大學計算機科學與工程學院，湖北 武漢 430074)

摘要：含高振蕩函數的Cauchy主值積分dx,-1<τ<1，基于解析延拓定理，用最速下降法將其轉化成在[0,+∞)上非振蕩且指數快速下降的積分，再利用Gauss-Laguerre求積法則高效逼近計算，最后用兩個數值實例來說明該方法的合理性.

關鍵詞：Cauchy主值積分；最速下降法；Gauss-Laguerre求積法則

0引言

我們討論含高振蕩函數的Cauchy主值積分

(1.1)

其中，f在包含[-1,1]的一個充分大的復區域內解析，如果f在[-1,1]上滿足霍爾德條件[4]，我們知道這個積分存在[5].對式(1.1)，用一個半圓包含奇異點τ的鄰域(圖1)，結合復積分方法和最速下降法得到4個在[0,+∞)上非振蕩且指數快速下降的積分，再用Gauss-Laguerre求積法則高效逼近計算[6-7].

圖1　原給異點τ的鄰

圖2　最速下降路徑

1計算結果

同理，

由于路徑Γ6是一個圍住z=τ的半圓，即z-τ=reiθ,0≤θ≤π,則

當r→0時，|z-τ|→0，f(z)在點τ處是連續的，即|f(z)-f(τ)|→0,

此時，再由定義的主值積分和式(1.2)，得到

(1.3)

其中，t=ωp.

計算得到的積分我們就可以用Gauss-Laguerre求積法則來估計，含振蕩函數的Cauchy主值積分估計得到

(1.4)

其中，xk和wk分別為n階Gauss-Laguerre公式的節點和權.

其中,ξ1、ξ2、ξ3、ξ4∈C，當ω?1，誤差的漸近估計為O(ω-2n-1)，因此計算的誤差精度隨著ω的增加而快速提高.

定理1假設f和g在一個包含區間[-1,1]的充分大的復區域D內解析，并且g的反函數在D內存在，如果下面的條件在D內滿足：

?m∈N∶|f(z)|=O(|z|m),?ω0∈R∶|g-1(z)|=O(eω0|z|),|z|→∞,

即對于x∈[-1,1]，存在一個函數F(x)，使得F(x)=∫Γxf(z)eiωg(z)dz，其中Γx是一個起始于x的一個路徑，hx(p)是Γx的一個參數化表示，p∈[0,∞)，誤差E=F(x)-QF[f,g,hx]的漸近估計為O(ω-2n-1)，其中QF[f,g,hx]是由n階Gauss-Laguerre求積法則得到的[2].

再用這個公式，我們能導出誤差的一個表達式E=F(x)-QF[f,g,hx];

其中，ξ∈C，誤差的漸近估計為O(ω-2n-1)得證.

2數值實例

表1　Filon方法計算的絕對誤差

可以看出，用Filon方法計算積分，對于固定的頻率ω，逼近的精度隨插值節點數目n的增加而提高，并且頻率越大，精度提高的越快.

表2　利用n點Gauss-Laguerre積分法

計算的絕對誤差.

從表2可以看出，對于含Cauchy核的高振蕩的數值積分，用數值最速下降法來計算，我們也得到同樣的結論，即對于固定的頻率ω，逼近的精度隨Gauss-Laguerre節點數目n的增加而提高，并且頻率越大，精度提高的越快；另外與表1對比，我們只需要取較少的節點，就可以得到相同的誤差精度.

3參考文獻

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(責任編輯趙燕)

Value integrals of highly oscillatory functions based on the evaluation of Cauchy principal

ZHOU Yongpan

(School of Computer Science and Engineering,Wuhan Institute of Technology,Wuhan 430074,China)

Abstract:The problem of numerical evaluation of Cauchy principal value integrals of highly oscillatory functions dx,-1<τ<1，had been discussed.Based on analytic continuation and the steepest descent method ,the integrals can be transformed into the problem of integrating on[0,+∞) with the integrand that does not oscillate,and that decays exponentially fast,which can be efficiently computed by using the Gauss-Laguerre rule.The validity of the method has been demonstrated in the provision of two numerical experiments and their results.

Key words:Cauchy principal valueintegrals;steepest descent method;Gauss-Laguerre rule

中圖分類號:O241.38；O174.41

文獻標志碼:A

DOI:10.3969/j.issn.1000-2375.2016.03.017

文章編號:1000-2375(2016)03-0267-04

作者簡介：周勇攀(1990-)，男，碩士生

收稿日期:2015-09-15