基于數據驅動的KPI系統最優濾波器設計

姚智剛　 彭開香

(北京科技大學自動化學院,北京100083)

基于數據驅動的KPI系統最優濾波器設計

姚智剛 彭開香

(北京科技大學自動化學院,北京100083)

摘要:為了優化基于數據驅動的嵌入式故障診斷濾波器設計,采用KPI(key performance index)思想設計FDI(fault detection and isolation)殘差,研究基于mDOs觀測器的閉環Kalman濾波器設計方法,實現故障診斷和系統狀態的有效觀測.首先,基于采樣數據得到大型復雜系統的KPI子空間模型,定義了跟蹤誤差,得到了閉環濾波器;其次,將殘差序列表示為Hankel模型,通過定義正交投影補矩陣并選擇恰當的數據列,構建出新的閾值矩陣;最后,得到Kalman濾波增益的計算方法,并給出了最優Kalman濾波器的設計步驟.結果表明,優化后殘差的幅值降低至優化前的1/2.基于數據驅動的KPI系統最優濾波器設計,可提高對弱小故障監測的靈敏度,實現系統狀態估計和故障診斷的性能優化.

關鍵詞:KPI;殘差;觀測器;濾波器

近幾十年來,基于解析模型的故障診斷理論和方法得到了深入發展,其基本原理是通過比較實際測量的信息與解析模型的測量估計來構建殘差,進一步對殘差進行優化,并與閾值進行比較以判斷是否有故障發生[1-7].但是對于大型復雜系統,存在模型龐大、模型不確定、建模困難等實際問題.采用數據驅動故障診斷方法,尤其是子空間輔助的數據驅動FDI(fault detection and isolation)系統,可擺脫對模型的依賴,通過構建并分析殘差,達到故障診斷的目的.大型復雜系統數據的維數和數量過于龐大,基于數據驅動的設計方法可能導致FDI系統的階數過高,從而降低殘差數據對某些重要參數和信號的靈敏度,造成漏報現象.KPI(key performance index)思想最早源于經濟學,并被廣泛應用于汽車系統設計與管控中.將KPI思想引入FDI系統殘差的設計中,基于KPI選擇關鍵參數后FDI系統的階次降低,可以減小FDI設計的難度和工作量,提高殘差信號對系統重要參數和信號的靈敏度,從而構建出數據驅動KPI-FDI系統.

嵌入式診斷濾波器備受關注.基于故障診斷系統與被控對象的對應關系,在實現對被控對象故障異常監視與診斷的同時,還可達到對系統狀態的有效觀測.Steven等[8]在數據驅動的故障診斷系統設計基礎上,進一步研究了系統狀態估計問題,提出了一種基于數據驅動的觀測器設計方法,并指出其對于基于數據驅動的控制器設計的重要意義;但是, 設計中無差拍觀測器在處理隨機擾動時的性能有待于進一步提高.

本文以某復雜系統為例,引入KPI思想,研究了基于數據驅動的故障診斷濾波器優化設計問題.

1KPI系統子空間模型

穩態下的大型復雜系統可以表示為線性時不變系統,其模型描述如下:

(1)

式中,E()為方差；Q，R，S為噪聲矩陣.

為了解決復雜系統輸出變量過于龐大的問題,定義如下的KPI變量:

(2)

式中,Wy為權重函數.

進一步給出KPI模型為

(3)

假設系統矩陣A,B,C，D,系統階數n和矩陣Q，R，S均未知.對采集的數據進行處理,構建如下的Hankel數據結構:

X(i)∈Rn×N,U(i)∈Rl×N,Y(i)∈Rm×N

W(i)∈Rl×N,V(i)∈Rm×N,Usp-1∈Rspl×N

Ysp-1∈Rspm×N, Usf-1∈Rspl×N, Ysf-1∈Rspm×N

Zsp-1∈Rsp(l+m)×N,Zsf-1∈Rsf(l+m)×N

Wsf-1,u∈Rspl×N,Vsf-1,f∈Rsfm×N

式中,N為測試數據長度;sp,sf為整數,且大于n.

參考文獻[9],將式(3)改寫為 References)

(4)

式中,K表示Kalman增益;e表示白噪聲.

基于式(4),構建KPI模型的Hankel等式:

Ysf-1=Γsf-1X(i)+Hsf-1,uUsf-1+Hsf-1,wWsf-1,u+

Vsf-1,f=Γsf-1X(i)+Hsf-1,uUsf-1+Hsf-1,eEsf-1

(5)

式(5)即為大型復雜系統的KPI子空間模型.

利用Zsp-1,Usf-1和Ysf-1構建如下的QR分解:

(6)

求解齊次方程組

(7)

(8)

2KPI系統多通道殘差生成器設計

本文考慮KPI離散線性時不變系統,基于文獻[8]的研究結果,可得多通道殘差生成器mDOs的緊湊形式為

(9)

式中

基于文獻[8],Luenberger方程中的矩陣T滿足條件rank(T)=n,由此可構建全狀態觀測器為

(10)

式中

Ax=T-AzT∈Rn×n,Bx=T-Bz∈Rn×1

Lx=T-L∈Rn×m,Cx=G-1CzT∈Rm×n

Dx=G-1Dz∈Rm×l

3基于mDOs觀測器的Kalman濾波器設計

mDOs觀測器設計沒有充分考慮系統噪聲的影響,而是根據等價空間設計了無差拍觀測器.當系統中存在未知噪聲時,無差拍觀測器的估計精度將受到影響.除了狀態估計外,殘差信號同樣受到噪聲的影響,如果設計的殘差不考慮噪聲,則故障診斷系統性能將有所下降.假定系統噪聲為高斯白噪聲, Kalman濾波器被公認為該情況下的最優觀測器.本節主要研究在mDOs觀測器的基礎上,如何基于數據進一步設計Kalman濾波器,實現系統狀態估計與故障診斷的性能優化.

假定在KPI白噪聲模型中白噪聲e的方差為Σe,穩態卡爾曼增益為Kz.根據mDOs觀測器,可得到如下的閉環濾波器:

(11)

式中

Kz,u=[Kz,u,1Kz,u,2…Kz,u,su]∈Rsu×m

u=1,2,…,m; Kz,u,j∈Rm; j=1,2,…,su

(12)

由式(12)可知, 如果存在Kz使得

TK-L=KzG

(13)

則式(11)所表示的閉環濾波器即為Kalman濾波器.

mDOs與白噪聲模型的誤差方程為

(14)

將式(14)進行擴展可得

(15)

式中

Hsf-1,k=

Ξsp-1rsp-1(k-sp+1)≈Ξsp-1rsp-1(k-sp+1)

(16)

式中

綜合式(15)和(16),殘差序列rsf-1可通過esf-1(k)和rsp-1(k-sp+1)直接表述為

rs(k)=Hsf-1,rrsp-1(k-sp+1)+Hsf-1,kesf-1(k)

(17)

式中,Hsf-1,r=Γsf-1Ξsp-1.與Yf和Yp相似,將式(17)表示為如下的Hankel模型:

Rsf-1(k)=Hsf-1,rRsp-1(k-sp+1)+

Hsf-1,kEsf-1(k)

(18)

假設殘差序列為某一靜態零均值隨機噪聲,當s≥n時,Rsf-1(k)與Rsp-1(k-sp+1)不相關,則有

(19)

定義Rsp-1(k-sp+1)的正交投影補矩陣為

Rsp-1(k-sp+1)

(20)

且式(20)滿足

(21)

由此可得數據矩陣Σr為

(22)

根據式(20)～(22)可得

[Hsf-1,rRsp-1(k-sp+1)+Hsf-1,kEsf-1(k)]T=

(23)

(24)

由此可得

(25)

(26)

4仿真分析

圖1為某型火控系統的原理框圖[10].該系統由多個傳感器、執行器和子系統組成,共計30余個單體設備,其中火控計算機為系統的核心,單體之間的連接和數據通信以總線為主.其工作過程概略為:在獲取目標位置的基礎上,采集各傳感器的信息,包括裝備所處陣地的氣象信息、火藥溫度、裝備所處的地理坐標、車體平面的姿態量和身管的空間指向等數據;其次,以火控計算機為主動方,向隨動系統、發射控制系統、操作顯示系統和通訊管理系統等發送命令,并進行數據交互,在火控計算機內部完成射擊所需的控制量計算;最后,各執行器在接收到命令數據后,迅速調整車體平臺姿態,并控制身管迅速轉向預定的空間指向.為了確保射擊精度,要求車體平臺的姿態量和身管空間指向的輸出誤差限制在10個密位以內.

圖1　某型火控系統原理框圖

本文采用數據驅動的方法,從若干輸出量中將對系統性能影響最大的5個輸出量(平臺北向角y1、縱傾角y2、橫傾角y3、身管方位角y4、身管高低角y5)選擇為KPI參量,基于數據構建KPI-FDI系統.

Az=diag(Az,1,Az,2,Az,3,Az,4，Az,5)

Bz,1={-0.07,0.14,0.02,-0.07,-0.24,

-0.05,0.17,0.03,0.10,-0.34,0,

0.12,0,0.04,-0.33,-0.03,0.15,

0.03,0.12,-0.35,-0.04,0.11,0.08,

0.11,-0.23,-0.03,0.03,0.05,-0.09,

-0.10,0,0.03,0.02,0.03,-0.03,

-0.05,0,0.07,-0.13,-0.05,-0.02,

0,0.08,-0.01,-0.10,-0.03,0.13,

0.03,0.07,-0.27}

其余Bz,i∈R50與此類似.

觀測增益矩陣表示為

Lz,1={0,0.01,-0.03,-0.02,0.01,0,0.03,

0.01,0,0.15,0.02,-0.06,0.03,-0.16,

-0.14,0.02,0.01,0.09,-0.02,0.03,

-0.06,-0.11,-0.11,-0.09,-0.03}

其余Lz,i∈R25與此類似.

其他矩陣表述如下:

Cz=diag(Cz,1，Cz,2,Cz,3,Cz,4,Cz,5)

在辨識等價空間及其向量和構建mDOs觀測器后,對基于mDOs觀測器的Kalman濾波器增益設計方法進行驗證,y1,y2,y3,y4,y5的KPI輸出誤差曲線如圖2所示(Ey1,Ey2,Ey3,Ey4,Ey5為誤差幅值),對應的Kalman增益為

圖3給出了優化之后的Kalman濾波器的KPI輸出估計誤差曲線.由圖可知,優化后殘差的幅值降低至優化前的1/2,從而驗證了數據驅動設計針對mDOs觀測器的Kalman濾波器的有效性.

5結語

本文針對故障診斷濾波器的最優化問題進行了研究,提出了一種數據驅動的基于mDOs觀測器的Kalman濾波器設計方法及實施步驟,并利用某型火控系統進行了驗證.結果表明,優化后殘差的幅值降低至優化前的1/2,從而故障診斷系統可對更小的故障進行監測.但是在所提算法中,采用數據驅動方式設計并使用mDOs觀測器狀態,往往存在因階數過大而求逆困難的問題,可通過對觀測器的重新設計解決這一問題.

(a)y1輸出誤差曲線

(b) y2輸出誤差曲線

(c) y3輸出誤差曲線

(d) y4輸出誤差曲線

(e) y5輸出誤差曲線

(a) y1輸出誤差曲線

(b) y2輸出誤差曲線

(c) y3輸出誤差曲線

(d) y4輸出誤差曲線

(e) y5輸出誤差曲線

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Data-driven based optimal filter design for KPI system

Yao Zhigang Peng Kaixiang

(School of Automation and Electrical Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China)

Abstract:In order to optimize the data-driven design of embedded fault diagnosis filters, a FDI (fault detection and isolation) residual generator is presented based on KPI (key performance index), and a design method for the closed-loop Kalman filter based on the multi-diagnostic observers (mDOs) is studied to realize fault diagnosis and effective observation for system status. First, the KPI subspace model for the large complex system is obtained based on the sampling data. The tracking error is defined, and the closed-loop filter is realized. Then, the residual sequence is expressed as the Hankel mode. A new threshold matrix is constructed by defining an orthogonal projection complement matrix as well as selecting appropriate data columns. Finally, the calculation method for the Kalman filter gain is obtained, and the design steps for the optimal Kalman filter are described. The results show that the amplitude of the optimized residual is half that of the pre-optimized residual. The data-driven based optimal filter design for the KPI system can improve the monitoring sensitivity for tiny fault and optimize both status estimating and fault diagnosis.

Key words:KPI(key performance index); residual; observer; filter

DOI:10.3969/j.issn.1001-0505.2016.02.004

收稿日期:2015-08-04.

作者簡介:姚智剛(1980—)，男，博士，講師，xyhk_yzg@163.com.

基金項目:國家自然科學基金資助項目(61473033).

中圖分類號:TP29

文獻標志碼:A

文章編號:1001-0505(2016)02-0249-06

引用本文: 姚智剛,彭開香.基于數據驅動的KPI系統最優濾波器設計[J].東南大學學報(自然科學版),2016,46(2):249-254. DOI:10.3969/j.issn.1001-0505.2016.02.004.