自適應卡爾曼濾波在航空重力異常解算的應用研究

鄭崴， 張貴賓

1 中國地質大學(北京)地球物理與信息技術學院， 北京　100083 2 河南科技學院信息工程學院， 河南新鄉　453003

自適應卡爾曼濾波在航空重力異常解算的應用研究

鄭崴1,2， 張貴賓1*

1 中國地質大學(北京)地球物理與信息技術學院， 北京100083 2 河南科技學院信息工程學院， 河南新鄉453003

摘要依據航空重力測量基本原理，構建了航空重力異常解算的卡爾曼濾波模型，將新息自適應卡爾曼濾波器(IAE，Innovation based Adaptive Estimation)應用于量測噪聲未知的航空重力異常解算.針對IAE濾波器滑動窗口寬度難以準確確定的問題，通過對多個不同滑動窗口新息協方差估計的加權平均，獲得改進的IAE濾波器，該IAE濾波器不僅具有量測噪聲自適應估計能力，還能實現滑動采樣窗口的優化選取.試驗結果表明，IAE濾波器可以降低因量測噪聲統計信息不明引起的解算誤差，改進IAE解算的重力異常誤差約為1 mGal.

關鍵詞航空重力異常解算； 自適應卡爾曼濾波； 新息； 量測噪聲

1引言

航空重力測量是以飛機為載體，測量近地空中重力異常的重力測量技術，它綜合運用了航空重力儀，全球定位系統GPS(Global Position System)，慣性導航系統INS(Inertial Navigation System)，無線電等技術設備(張昌達，2005；熊盛青，2009a；王靜波等，2009，2010).航空重力測量數據經過后處理，便可得到所需的航空重力異常，這個數據后處理的過程稱為航空重力異常解算(簡稱為航重解算).近年來，差分GPS技術的進步使得航空重力測量精度大幅度提高，解算所得重力異常精度大部分可達到1～2 mGal(1 mGal=10-5m·s-2)，最高的已達0.5 mGal(郭志宏等，2008；熊盛青，2009b; 熊盛青等，2010；Cai et al.，2013).

航空重力測量是在高速飛行運動中進行的，測量數據必然會受到包括飛機運動產生的擾動加速度的干擾，干擾噪聲的幅度最高可達到106mGal以上(孫中苗，2004)，遠遠高于幾十到幾百毫伽的重力異常信號.航空重力測量數據的噪聲主要體現為高頻干擾，依據測量數據的頻域特點設計低通濾波器可消除噪聲影響提取所需的重力異常信號.目前，能夠實現線性相位的FIR(Finite Impulse Response)濾波器是航重解算普遍采用的低通濾波器，利用FIR低通濾波器可以獲得精度約1 mGal左右的航空重力異常(郭志宏等，2007, 2011).FIR濾波器的顯著優點是具有成熟的設計和實現方法，但由于重力信號與噪聲在頻譜上沒有明顯的分界線，為獲得高精度的解算輸出，需設計高階的低通濾波器以分離重力異常信號與噪聲(蔡劭琨等，2010；Cai et al.，2010；羅峰等，2012)，這加重了邊界效應對解算結果的影響.

部分學者致力于利用卡爾曼濾波器代替數字低通濾波器實現航空重力異常的解算(Bolotin et al.，2003；Bolotin and Popelensky，2007；Bolotin and Golovan，2013).卡爾曼濾波器通常是采用狀態空間模型在時間域對系統的運動狀態進行描述，因此卡爾曼濾波器是基于系統運動模型的濾波方法.狀態空間模型的應用將不可觀測的變量(狀態變量)并入可觀測的模型，并與其一起處理得到相應的估計輸出，所以卡爾曼濾波可實現多維信號的并行處理(王靜波，2010；王靜波等，2011).在進行航重解算時，還能夠對航空重力儀校準參數進行實時估計(Zhou and Cai，2013；Zheng et al.，2014).此外，航重解算是在線下進行的，可對卡爾曼濾波的估計結果進行平滑處理，獲得高精度的航空重力異常輸出(潘炎冰，2012；李瑞，2014).但是，卡爾曼濾波能夠獲得準確解算輸出的重要前提，是能夠掌握系統噪聲和量測噪聲的統計信息，而這一前提往往是難以滿足的.解決這一問題的辦法就是用自適應卡爾曼濾波器(AKF, Adaptive Kalman filter)代替傳統的標準卡爾曼濾波器(SK, Standard Kalman filter)進行航重解算.基于新息協方差估計的自適應卡爾曼濾波器(IAE, Innovation-based Adaptive Estimation)已證明可以提高噪聲統計特性不明時的估計精度(Mohamed，1999；Mohamed and Schwarz，1999)，IAE的優點在于實現方法簡單且能夠對量測噪聲協方差進行實時估計，但其新息協方差估計器的滑動采樣窗口寬度缺乏明確的確定方法.

航重解算中，卡爾曼濾波所需的量測量由GPS測定的位置或速度數據提供.由于測量過程中飛機運動狀態變化劇烈且具有不規律性，量測噪聲參數難以準確預設，因此這里著重討論利用IAE濾波器實現量測噪聲自適應的航重解算方法.本文將依據航空重力測量的基本原理，建立航空重力異常解算的卡爾曼濾波模型，設計適用于G型航空重力測量系統的IAE濾波器.另外，針對IAE濾波器的滑動窗口寬度難以準確確定的問題，采用多個不同滑動窗口寬度的新息協方差估計器，通過對多個新息協方差估計的加權平均，獲得滑動窗口寬度優化的改進IAE濾波器.最后，將IAE濾波器和改進的IAE濾波器用于實測數據的航重解算試驗.

2新息自適應卡爾曼濾波器及改進

2.1新息自適應卡爾曼濾波器

設在時刻k，離散線性系統的狀態方程和量測方程可分別表示為

(1)

(2)

Xk為k時刻的狀態變量；Φk,k-1表示由k-1時刻到k時刻的一步轉移矩陣；Γk-1為系統噪聲驅動陣；Zk為時刻k的量測量；Hk為量測陣；Wk-1為系統激勵噪聲序列；Vk為量測噪聲序列.Qk是系統噪聲的協方差陣；Rk為量測噪聲協方差陣，則標準卡爾曼濾波的算法為(秦永元等，2012)

狀態一步預測：

(3)

一步預測誤差：

(4)

濾波增益：

(5)

狀態估計：

(6)

估計均方誤差：

(7)

新息(Innovation)定義為k時刻濾波器的量測估計值與實際量測值之差，它表示由量測量帶來的、濾波器無法預測的那部分信息，即

(8)

新息序列的理論協方差為Crk，則有

(9)

當系統噪聲和量測噪聲服從不相關的高斯分布且新息序列滿足各態遍歷性時，可根據新息序列的滑動平均獲得新息協方差的極大似然估計，有(MohamedandSchwarz，1999；岳曉奎和袁建平，2005；卞鴻巍等，2006)

(10)

(11)

則量測噪聲協方差陣的自適應估計為

(12)

2.2滑動采樣窗口寬度的優化

實際應用中，如建立的系統模型不準確，不能真實反映物理過程時，易導致模型與獲得的量測值不匹配，將會出現濾波發散，這時需通過增大當前時刻量測信息在狀態估計中的加權系數來抑制濾波發散(秦永元等，2012).

圖1　滑動采樣窗口優化Fig.1　Structure of optimization for sliding sampling window

(13)

(14)

(15)

可見，相比于普通的IAE濾波器，改進的IAE濾波器配備有多個不同滑動采樣窗口寬度的新息協方差估計器，通過對不同采樣窗口的新息協方差估計進行加權平均，允許新息協方差估計器的滑動采樣窗口在一定范圍內動態變化，一方面可以減弱不當的滑動采樣窗口造成的解算誤差，另一方面也可以提高濾波器工作的穩定性，其估計精度劣于取最優滑動采樣窗口的情況，但優于其他滑動采樣窗口寬度的估計結果.多個新息方差估計器的結構如圖1所示.

2.3 RTS(Rauch-Tung-Striebel)平滑器

(16)

(17)

(18)

3航空重力異常解算的卡爾曼濾波模型

G型航空重力測量系統是三軸穩定平臺型測量系統，它包括一個具有水平穩定作用的慣性平臺(INS)，一個重力傳感器(航空重力儀)，以及機載GPS接收器(移動站)和地面GPS接收器(接收站).本部分將根據航空重力儀運動方程及GPS測量方程構建航重解算的卡爾曼濾波模型.

3.1航空重力測量的基本原理

航空重力測量的基本原理是從航空重力儀測得的比力數據(飛機運動加速度與重力加速度之和)中扣除飛機運動加速度的影響，獲得所需要的重力加速度(熊盛青等，2010).根據牛頓第二定律，航空重力儀(垂直加速度計)傳感器探測質量(SM，Sensitive Mass)在地理垂直方向上的動力學方程可表示為(Bolotin，2009)

(19)

厄特缶斯改正是為了補償因地球自轉產生的離心力和飛機運動產生的離心力附加在重力儀測量質點造成的測量誤差，可計算為

(20)

uE為地球自轉速度；φ為飛機所處地理緯度；vE、vN分別是飛機的東向速度和北向速度；RE、RN分別是地理東向和北向的曲率半徑.

重力正常場和高度改正項G0(φ,h)可由Helmert公式近似計算(Bolotin，2009)：

(21)

式中，G=9.7803 m·s-2，β=0.005302，

β1=-0.000007，β0=-0.00014 m·s-2，

ω0=0.00123 s-1.

不難看出，為獲得式(19)中的重力異常Δg，需要對航空重力儀測量數據進行一系列的改正.其中，一部分改正項有嚴密的解析公式，可以直接計算得到，如厄特缶斯改正、正常場和高度改正，它們統稱為解析類改正；而另一類改正無法直接用解析公式來計算，需借助濾波方法來實現，即垂直加速度改正.因此，利用卡爾曼濾波實現重力異常解算實際上是在消除噪聲干擾的同時實現垂直加速度改正的過程.3.2卡爾曼濾波模型的建立

將航空重力儀SM的實時高程，作為卡爾曼濾波的量測方程，寫為

(22)

h′為重力儀SM所處的實時高度；h為SM的實際高度；δh為測量誤差.

航空重力儀及兩個水平加速度計的測量方程可表示為(Bolotin，2009)

(23)

將式(23)代入式(19)聯立并整理得

(24)

其中

(25)

fΣ為已知的作用在SM上的合力產生的加速度總和；qΣ為系統噪聲項.為實現航重解算，將重力異?？醋餮販y線分布的隨機過程，并用濾波器表示，有

(26)

將式(24)和式(26)合并作為卡爾曼濾波的系統方程，式(22)為卡爾曼濾波的量測方程，并用狀態空間形式表示為

(27)

(28)

其中，Xf為狀態向量，重力異常Δg為其分量，即

(29)

Af為動力學矩陣；Bf為系統噪聲驅動矩陣；Cf為控制項驅動矩陣；qf和δh分別為系統噪聲和量測噪聲項；uf為系統的固定控制項.將式(27)和(28)進行離散化，再利用設計的IAE濾波器和RTS平滑器進行處理，即可實現重力異常的估計.

4航空重力異常解算試驗

4.1測量基本情況

我們在2007年利用G型航空重力測量系統在某地進行了實地測量.實驗所用數據為第五架次飛行測量數據，飛行時間為4 h.此次測量是為了驗證系統工作的穩定性及重復測量結果的一致性.圖2為測線位置示意圖，圖中橫軸為相對經度，縱軸為相對緯度.由圖可知，此次測量共有6條東西方向的飛行測線，其中1號、2號、3號及6號測線為四條短測線，它們是沿同一位置往返飛行4次的重復測線；4號測線和5號測線為兩條長飛行測線，其中5號測線相較其他測線有約0.002°的北向偏移.測量選取在氣象條件較好的夜間進行，以減小氣流對測量結果的影響.測量中，設計飛行高度為400 m，實際飛行測量高度在設計飛行高度的±15 m范圍內波動，圖3為飛行測量高度變化示意圖.此外，飛行測量中的設計飛行速度為60 m·s-1.

圖2　測線位置示意圖Fig.2　Position diagram of survey lines

圖3　飛行高度示意圖Fig.3　Chart of flight height

剔除實測數據中的非測線數據，并進行解析類改正后，所得結果(未濾波)如圖4所示.不難看出，航空重力測量信號受噪聲干擾非常嚴重，幾十到幾百毫伽的重力異常完全被數萬毫伽的噪聲所淹沒.

關于解算試驗有以下兩點需要說明，第一，由于暫無法獲得實際地面重力測量數據，試驗過程中將航空重力測量系統配套軟件解算結果作為解算參考標準，將本試驗的解算結果與參考標準進行對比研究；第二，由于RTS平滑后的重力異常精度高于只使用卡爾曼濾波器估計的重力異常精度(潘炎冰，2012；李瑞，2014)，因此后文解算結果如無特別說明均是指平滑處理后的重力異常.

4.2不同預設量測噪聲的航空重力異常解算試驗

將SK解算的重力異常與參考標準進行對比，通過反復調整量測噪聲和系統噪聲，獲得與解算參考標準誤差最小時的量測噪聲和系統噪聲分別為R0=(0.0153)2和Q0=diag[0,(3.5×10-5)2,0,0,0,0,0,(0.85×10-7)2]，diag[·]為取對角線元素符號.實驗中SK和IAE的系統噪聲設定為Q0，初始量測噪聲R分別預設為R/R0=0.01、0.25、25、100進行解算.同時，為確保新息協方差估計的準確性，IAE的滑動采樣窗口寬度暫設為80.

SK和IAE在不同預設量測噪聲時，解算的重力異常如圖5所示.為方便分析，將解算所得6條飛行測線的重力異常按時間順序連接組成一條曲線，紅色曲線為解算參考標準，藍色曲線為SK解算的重力異常曲線，黑色曲線為IAE解算的重力異常曲線.由圖可見，SK解算的重力異常曲線隨著預設R的變化出現較大的波動，而且預設的R與R0的偏差越大，SK解算重力異常的誤差也越高；而在同樣的量測噪聲條件下，IAE解算的重力異常曲線基本保持穩定，即IAE可降低因預設量測噪聲不當引起的解算誤差.

統計SK和IAE解算輸出與參考標準的誤差，如表1所示.可以看到，在預設量測噪聲R=0.01R0時，SK解算結果的均方誤差高達3.423367mGal；當預設量測噪聲R=0.25R0時，SK解算重力異常與參考標準的均方誤差為1.198765mGal.在IAE解算誤差一欄中，不同預設量測噪聲條件下，IAE解算重力異常的最大均方誤差為0.923542mGal，最小均方誤差為0.887827mGal，兩者的差距僅為0.035715mGal，而且IAE解算結果與解算參考標準的誤差都保持在1 mGal以下.所以，IAE濾波器在解算過程中對量測噪聲協方差進行實時的估計和修正，減弱了解算精度對先驗量測噪聲統計信息的依賴.因此，相比基于SK的航重解算方法，利用IAE進行航重解算更具有普遍性的意義.

圖4　未濾波航空重力異常Fig.4　Un-filtered airborne gravity anomaly

解算濾波方法比較點數誤差統計項預設量測噪聲(R/R0)0.010.2525100SK19518平均誤差(mGal)3.0827970.9786831.9484592.57978619518均方誤差(mGal)3.4233671.1987652.0226482.652140IAE(N=80)19518平均誤差(mGal)0.6822390.6834810.7147730.71157719518均方誤差(mGal)0.8878270.8891970.9235420.920205

圖5　SK、IAE與解算參考標準解對比圖(a) R/R0=0.01； (b) R/R0=0.25； (c) R/R0=25； (d) R/R0=100.Fig.5　Airborne gravity anomaly of SK、IAE VS reference

4.3不同滑動窗口的航空重力異常解算試驗

由IAE算法步驟可知，滑動采樣窗口寬度N直接關系到新息協方差估計的結果，不當的滑動采樣窗口也會導致IAE解算精度的下降.本部分將利用不同滑動窗口的IAE濾波器和改進IAE濾波器進行解算試驗，驗證改進IAE濾波器的優化效果，并討論N對IAE解算重力異常精度的影響.試驗中，IAE濾波器的滑動采樣窗口取N=40、80、120、160、200分別進行解算；改進IAE濾波器的新息協方差估計器設定為5個，各新息協方差估計器的采樣窗口分別為N1=40，N2=80，N3=120，N4=160，N5=200.

圖6為不同滑動窗口的IAE濾波器估計的量測噪聲協方差.由圖可見，在測線上進行飛行測量時，飛機的運動狀態平穩，此時量測噪聲協方差估計曲線變化平緩；當飛機由一條測線轉飛向另一條測線時(A、B、C、D、E指示的部分)，飛機的運動狀態變化劇烈，量測噪聲協方差估計曲線出現較大的跳動，而且曲線的跳動頻率和幅度隨著滑動窗口寬度的增加而減小，即滑動窗口越寬，IAE對量測噪聲的估計越平穩，反之，IAE估計的量測噪聲曲線跳變越劇烈.

統計不同滑動窗口的IAE與改進IAE的解算誤差，如表2所示.不難看出，在N=80時，IAE的解算輸出與解算參考標準的誤差最小，此時的滑動采樣窗口寬度兼顧了系統的運動狀態變化和新息協方差估計的準確性；而在其他采樣窗口寬度條件下，IAE的解算結果誤差均高于N=80的情況.這也印證了前述的滑動窗口寬度選取的不宜太大也不宜太小.

注意到利用改進IAE解算的重力異常與參考標準的均方誤差在1.021047 mGal，解算精度劣于N=80時IAE的解算結果，但優于其他的滑動窗口寬度的情況.因此，改進的IAE可以減小由于滑動采樣窗口寬度選取不當引起的解算誤差.

圖6　IAE估計R變化曲線(N=40、80、120、160、200)Fig.6　Estimated R by IAE (N=40,80,120,160,200)

濾波方法比較點數最大誤差(mGal)最小誤差(mGal)平均誤差(mGal)均方誤差(mGal)改進IAE195184.660951-3.9856210.7810011.021047IAE(N=40)195186.116302-3.9087150.8110201.069920IAE(N=80)195183.872649-3.0882630.6840910.889861IAE(N=120)195184.070119-3.6601320.8671471.063740IAE(N=160)195184.310235-3.9103800.9236401.104894IAE(N=200)195184.645537-3.6042080.9348591.102127

5結語

本文利用新息自適應卡爾曼濾波器及改進的新息自適應卡爾曼濾波器實現航空重力異常解算，并得出如下結論：

(1) 新息自適應卡爾曼濾波器的應用，可以降低量測噪聲協方差選取不準確造成的解算誤差，減弱了解算精度對量測噪聲先驗統計信息的依賴性；

(2) 對新息自適應卡爾曼濾波器進行改進，即在新息自適應卡爾曼濾波器中設計多個不同采樣窗口的新息協方差估計器，實現新息協方差估計器的滑動采樣窗口優化.解算結果表明，改進的新息自適應卡爾曼濾波的應用能夠減小由滑動采樣窗口選取不當造成的解算誤差.

為獲得精度更高、更有普遍意義的航空重力異常解算方法，建議進一步加強對自適應卡爾曼濾波器設計方法的研究.同時，還應繼續加強對航空重力測量系統的研究，進一步完善航空重力異常解算的卡爾曼濾波模型，提高解算精度.

致謝感謝中國國土資源航空物探遙感中心的熊盛青、周堅鑫、郭志宏和周錫華對本研究的大力支持和幫助.

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(本文編輯胡素芳)

Application research on adaptive Kalman filtering for airborne gravity anomaly determination

ZHENG Wei1, 2, ZHANG Gui-Bin1*

1DepartmentofGeophysicsandInformationTechnology,ChinaUniversityofGeosciences,Beijing100083,China2DepartmentofInformationEngineering,HenanInstituteofScienceandTechnology,XinxiangHenan453003,China

AbstractBased on the basic principle of airborne gravimetry, Kalman filtering model for airborne gravity anomaly determination is established and innovation-based adaptive estimation Kalman filter (IAE) is applied to estimate the airborne gravity anomaly when measurement covariance is unknown. At the same time, improved IAE filter installing several innovation covariance estimators is designed to reduce the difficulty of sampling window width selection. It is can be seen from the experimental result that IAE is able to reduce gravity anomaly determination errors caused by lack of statistical information of measurement noise. Moreover, the improved IAE filter can decrease the rate of determination errors introduced by the improper selection of sampling window width, and the error of gravity anomaly determined by improved IAE is nearly 1 mGal.

KeywordsAirborne gravity anomaly determination； Adaptive Kalman filtering； Innovation； Covariance of measurement noise

基金項目國家高技術研究發展計劃(863計劃)(2011AA060501)資助.

作者簡介鄭崴，男，1984年生，博士，主要從事航空重力測量技術的研究. E-mail:13667060@qq.com *通訊作者張貴賓，男，1958年生，教授. 主要從事地球物理反演、重磁電勘探等研究. E-mail:gbzhang@cugb.edu.cn

doi:10.6038/cjg20160410 中圖分類號P223,P631

收稿日期2015-09-14，2015-12-24收修定稿

鄭崴， 張貴賓. 2016. 自適應卡爾曼濾波在航空重力異常解算的應用研究. 地球物理學報，59(4):1275-1283,doi:10.6038/cjg20160410.

Zheng W, Zhang G B. 2016. Application research on adaptive Kalman filtering for airborne gravity anomaly determination.ChineseJ.Geophys. (in Chinese),59(4):1275-1283,doi:10.6038/cjg20160410.