在體驗中探尋　在嘗試中思考
——有關“一筆畫”的教學設計

汪松浩

在體驗中探尋在嘗試中思考
——有關“一筆畫”的教學設計

汪松浩

“一筆畫”這個經典的數學素材源于數學家歐拉提出的“七橋問題”。從數學教學素材的開發角度來看，“一筆畫”一直是小學數學課堂中用以引導孩子發現規律的上佳素材。常見的課堂探索方法是，引導孩子研究一定數量的圖形，并對其中的奇點與偶點個數進行觀察與統計，通過列表發現一筆畫的規律：奇點個數是0或2時，這個圖形是能夠一筆畫的。然后就是對這個規律的運用，對各種難度的圖形能否一筆畫進行判斷甚至嘗試畫出。這一類設計無疑是參考了歐拉研究該問題時的數學方法，但是很難回答這樣幾個問題：

1.孩子是如何將研究的對象自主確定到奇點、偶點上的？

2.獲取一筆畫蘊含的數學規律之后，用于進行判斷或繪畫，對思維訓練究竟有多大的意義？

3.規律雖然找到，為何這么奇怪偏偏是“0”或“2”個奇點數？背后的數理是什么？

由此看來，這一類設計雖然精彩，但顯然對訓練孩子的數學思維在若干細節上尚未得到落實，孩子在訓練過程中的探索還算不上是真探索。訓練素材要落實其訓練意義，必須是從孩子的原生認識出發，選擇適合孩子的認知方式，通過一個重過程、輕結果的探索過程來實現。正是基于以上考量，筆者將“一筆畫”引入了小學二年級的課堂，通過低學段孩子在課堂中的表現，反思利用這類素材訓練學生思維究竟該如何細化，才能真正發揮出其應有的作用，使思維訓練落到實處。

【教學過程】

一、“一筆畫”初步認知

教師徒手在黑板上畫了一幅“一筆畫”圖案（圖1），然后提問：你看到了什么？你們發現這幅圖的畫法有什么特別之處嗎？你知道“一筆畫”有什么要求嗎？

學生回答后，教師讓學生自由創作，初次體驗一筆畫。教師收集部分優秀作品進行展示、點評。

接著教師出示圖2，讓學生嘗試一筆畫。學生嘗試之后，發現這個圖形不能一筆畫。教師提問：究竟什么樣的圖形能一筆畫？（板書課題：一筆畫）

圖1

圖2

設計意圖：教者以畫開課，以“繪”相承，意在調動學生的學習興趣及參與熱情。在此基礎上出示圖2，讓學生從動手繪圖的體驗轉向數學規律的探索，進而明確本堂課的學習目標。

二、“一筆畫”規律探索

1.體驗像一根繩子一樣的一筆畫

教師手繪一組圖形（如圖3所示）。

圖3

學生一眼看出能一筆畫，還說出：不但能畫，而且都有兩種畫法，不僅可以從這端畫到那一端，也可以從那端畫到這一端。

教師要求學生討論兩個問題：

（1）這樣的簡單圖形一筆能畫是顯而易見的，那圖形能不能一筆畫一定與什么無關？

教師通過將線條畫得更長或擦掉一小節，或是將一部分改畫得歪斜一點，并在展示臺放大（縮?。﹫D形，讓孩子體會這些變化都不會改變這個圖形關于一筆畫的相關性質。（板書：有關，無關）

（2）手拿學生的鞋帶，提問：借助這根鞋帶，你能解釋這些圖形都有兩種畫法背后的理由嗎？

引導孩子用繩子類比一筆畫，一根繩子有兩個繩頭，所以有兩種畫法?；蛘哒f無論怎么畫都必須以某個繩頭為起點，不能從繩子的中間畫起。（板書：繩頭）

設計意圖：通過具體的圖形或實物，幫助學生在體驗中思考，體會在對規律的探索中什么是相關因素，什么是無關因素。尤其是借用鞋帶幫助孩子理解一筆畫，給了學生思維的“拐杖”。

2.尋找繩頭

教師手繪第二組圖形（如圖4所示），提問：孩子們，你們能找到這一組圖形的繩頭，并且成功地將它們一筆畫成嗎？

圖4

學生進行嘗試與體驗。接著教師讓學生挑戰第三組圖形（如圖5所示），提問：孩子們，你們覺得一筆畫能否成功，最關鍵的是什么？（板書：關鍵，尋找繩頭）

圖5

3.什么樣的點才是繩頭呢？

教師提出體驗要求：孩子們，我們已經找到了畫一筆畫的關鍵是尋找繩頭?，F在老師畫一個一筆畫圖形，請仔細觀察繩子不斷變長的時候，繩頭所在的點會有什么變化。

教師演示（如圖6所示）。

圖6

學生討論并回答：繩頭在三岔路口，其他點是十字路口或者拐彎路口。

教師追問：繩頭一定是在三岔路口嗎？還有別的情形嗎？

教師在原圖上繼續畫（如圖7所示），帶孩子體會“奇點”與“偶點”之間的轉化。

圖7

引導孩子體會點周圍相連的線條數量，由“三岔路口”提升認識到“單岔路口”，再總結到“單點”。（板書：單點）

教師繼續追問：繩頭有可能藏起來嗎？這個時候又是什么情形呢？

教師將剛才的圖形完成首尾相連的狀態（如圖8所示），讓孩子在體驗中提升認識：能一筆畫的圖形有一類是能找到2個單點，還有一類是沒有單點。

圖8

教師再次拿出鞋帶做道具，提問：你們知道繩頭哪去了嗎？你能用鞋帶說明嗎？

帶孩子體驗兩個繩頭相接的情況，體會單點是如何消失的，以及在這種情況下的起點和終點，即從任意一個點開始都可以一筆畫成。

設計意圖：繼續借助有梯度的畫圖體驗，讓孩子在畫圖的過程中體會什么是關鍵因素，關鍵因素具有什么特征，在不斷升級的體驗中，提升對問題的認識，形成準確的概念。

三、“一筆畫”游戲大挑戰

教師展示網絡游戲“一筆畫”，請孩子上臺挑戰。學生相繼上臺挑戰“一筆畫”。

四、課堂小結及作業

教師引導學生回顧這節課所學的內容，然后布置作業：請你畫一個有而且只有3個單點的圖形。如果你認為不能畫出，請說出理由。如果你認為能畫出，請提供畫好的圖形。

設計意圖：作業的設計意圖是引導學生從另一個角度反思剛才研究的問題，達到對新知的更深刻、全面的認識。孩子對數理關系的理解是有孩子的視角和方式的，必須要尊重這種狀態，才能領著孩子進入到數學的花園，體會到數學的美與趣味。

（作者單位：湖南一師一附?。?/p>

點評：“一筆畫”是一個叫圖論的數學分支中的問題。圖論以圖為研究對象。當然，由數學的抽象性不難知道，這里的圖不是通常意義上（比如美術、工程等）的圖，而是一個抽象的數學結構。圖中有兩種對象，一個叫點，代表事物，一個叫邊，代表事物之間的聯系。這個數學分支起源于一個類似游戲的問題，即哥尼斯堡七橋問題：一個散步者怎樣才能夠一次不重復地走遍如圖9所示的七座橋？這個問題可以抽象成能否一筆畫成如圖10所示的圖形，即所謂一筆畫問題。歐拉漂亮而徹底地解決了這個問題。

圖9

圖10

歐拉的結論是：一個圖（嚴格地說，應該說一個連通圖）能一筆畫成的充分必要條件是：這個圖有0個或2個奇點。結論如此簡潔，以至于問題的各種復雜性立刻煙消云散，一個圖能否一筆畫成幾乎是顯而易見的。

拿一筆畫來教學，通常有兩個價值追求：一是培養學生的抽象能力，主要關注從“能否不重復地走完七座橋”到“能否一筆畫一個圖”的轉化；二是培養學生歸納概括的能力，主要關注如何得出一個連通圖能否一筆畫成的判斷方法。

汪老師的課另辟蹊徑，創造性地提出了“一根繩子一樣的一筆畫”，“尋找繩頭”。這種思路的重要價值在于，它解決了一個問題：如何將能否一筆畫的問題與圖中點上的連線的奇偶性聯系起來。事實上，這個問題的解決是非常困難的。天才如歐拉才有可能把這兩個看起來無關的問題聯系起來。這個問題也是很重要的，尤其是對于低年級的孩子而言。因為他們基本無法體會將“能否不重復地走完七座橋”抽象成“能否一筆畫一個圖”的過程及其意義，也難以完成對一筆畫充要條件的歸納。若不解決這個問題，剩下能做的就只有教結論然后鞏固結論了，而這里的結論本身恰恰是很簡單且教育價值有限的。

“一根繩子一樣的一筆畫”“尋找繩頭”，這些是很高明的處理手段。對低年級的學生而言，點、線、奇、偶之類稍顯抽象，難以調動他們已有的經驗，而繩子、繩頭及其個數則直觀，也與他們的某些生活經驗相關。另外，若細想一下，一個圖能否一筆畫，不就是看它能否拉直成一根繩子嗎？如何拉直呢？不就是尋找繩頭（即確定從哪下手）嗎？

這種手段其實也暗合了歐拉最原始的思考方式。歐拉在1736年提交給彼得堡科學院一篇題為“問題解決與位置幾何”的論文（漢譯可見姜伯駒先生《一筆畫和郵遞路線問題》一書），就是解決七橋問題的。在歐拉的論文中并沒有畫出我們通常見到的圖10，而是畫出了下面的圖（圖11、圖12）。在這兩幅圖中，我們不難發現繩子的影子。

圖11

圖12

（長沙市教育科學研究院張新春）