滲透數學史料，弘揚傳統文化朱

田晟驁

《普通高中數學課程標準》（實驗）在“課程基本理念”中指出：“數學是人類文化的重要組成部分.數學課程應反映數學的歷史、應用和發展趨勢，數學對推動社會發展的作用，數學的社會需求，社會發展對數學發展的推動作用，數學科學的思想體系，數學的美學價值，數學家的創新精神.數學課程應幫助學生了解數學在人類文明發展中的作用，逐步形成正確的數學觀.為此，高中數學課程提倡體現數學的文化價值，并在適當的內容中提出對數學文化的學習要求.”

數學文化的價值主要體現在數學對于人們觀念、精神及思維方式的養成所起的十分重要的影響，這種影響是潛移默化的.在近年的高考試題、各地的模擬試題中，常出現一類以數學文化為背景、滲透數學傳統文化的問題.例如，2015年高考，全國一卷第6題的“委米依垣內角”、全國二卷第8題的“更相減損術”，設計思路都來源于《九章算術》，湖北卷第2題選自《九章算術》中的“米谷粒分”問題，滲入其中的是我國古代數學最樸實的統計抽樣的思想方法.2015年北京中考數學試題注重對中國傳統數學文化的考查，意在重視學生數學文化底蘊的積累.例如，第4題，在“剪紙”中認識圖形；第8題，利用平面直角坐標認識我國古代文明建筑——故宮；第13題，介紹《九章算術》，讓學生了解《九章算術》在數學史中的重要地位.這類試題蘊涵著濃厚的數學文化氣息，將數學知識、方法、文化融為一體，考查學生在新情景下對知識的理解及遷移到不同情境中的能力，能夠檢測學生思維的廣度、深度和進一步學習的潛能.

數學史是研究數學科學發生發展及其規律的科學，簡單地說就是研究數學的歷史，它是數學文化的重要組成部分.在數學史中尋找命題背景常被命題者所推崇.這里，以近年出現的以中國數學文化史為背景高考試題（模擬試題）為例，呈現傳統數學文化與試題的融合，關注依托數學史料、彰顯數學文化的新探索，揭示其數學文化背景.

例1（依垣內角）（2015年高考數學全國卷1）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有（ ）

解析此題取材于《九章算術》卷五商功（二五），劉徽注曰：其依垣者，“居圓錐之半也.”其依垣內角者，“角，隅也，居圓錐四分之一也.”

例2（更相減損術）（北京市東城區2015—2016學年度第二學期高三綜合練習）右邊程序框圖的算法思路來源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”.執行該程序框圖，若輸入a，b，i的值分別為6，8，0，則輸出a和i的值分別為（ ）

《九章算術》是中國古代數學專著，它的出現標志著中國古代數學體系的形成.后世的數學家大都是從《九章算術》開始學習和研究數學知識的.唐宋兩代都由國家明令規定為教科書.1084年由當時的北宋朝廷進行刊刻，這是世界上最早的印刷本數學書.

《九章算術》的內容十分豐富，全書采用問題集的形式，收有246個與生產、生活實踐有聯系的應用問題，其中每道題有問（題目）、答（答案）、術（解題的步驟，但沒有證明），有的是一題一術，有的是多題一術或一題多術.這些問題依照性質和解法分別隸屬于方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程及勾股.

《九章算術》分為九章.它們的主要內容分別是：

第一章“方田”：主要講述了平面幾何圖形面積的計算方法.包括長方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圓形、扇形、弓形、圓環這八種圖形面積的計算方法.另外還系統講述了分數的四則運算法則，以及求分子分母最大公約數等方法.

第二章“粟米”：谷物糧食的按比例折換；提出比例算法，稱為今有術；衰分章提出比例分配法則，稱為衰分術.

第三章“衰分”：比例分配問題.

第四章“少廣”：已知面積、體積，反求其一邊長和徑長等；介紹了開平方、開立方的方法.

第五章“商功”：土石工程、體積計算；除給出各種立體體積公式外，還有工程分配方法.

第六章“均輸”：合理攤派賦稅；用衰分術解決賦役的合理負擔問題.今有術、衰分術及其應用方法，構成了包括今天正、反比例、比例分配、復比例、連鎖比例在內的整套比例理論.西方直到15世紀末以后才形成類似的全套方法.

第七章“盈不足”：即雙設法問題；提出了盈不足、盈適足和不足適足、兩盈和兩不足三種類型的盈虧問題，以及若干可以通過兩次假設化為盈不足問題的一般問題的解法.這也是處于世界領先地位的成果，傳到西方后，影響極大.

第八章“方程”：一次方程組問題；采用分離系數的方法表示線性方程組，勾股定理求解相當于現在的矩陣；解線性方程組時使用的直除法，與矩陣的初等變換一致.這是世界上最早的完整的線性方程組的解法.在西方，直到17世紀才由萊布尼茲提出完整的線性方程的解法法則.這一章還引進和使用了負數，并提出了正負術——正負數的加減法則，與現今代數中法則完全相同；解線性方程組時實際還施行了正負數的乘除法.這是世界數學史上一項重大的成就，第一次突破了正數的范圍，擴展了數系.外國則到7世紀印度的婆羅摩及多才認識負數.

第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各種問題.勾股章還有些內容，在西方卻是近代的事.例如勾股章最后一題給出的一組公式，在國外到19世紀末才由美國的數論學家迪克森得出.

《九章算術》對中國古代的數學發展有很大影響，這種影響一直持續到清朝中葉.《九章算術》的敘述方式以歸納為主，先給出若干例題，再給出解法，不同于西方以演繹為主的敘述方式，中國后來的數學著作也都是采用敘述方式為主.

《張丘建算經》成書于5世紀，比《孫子算經》稍晚.作者張丘建，河北清河人.該書共三卷92題，包括測量、紡織、交換、納稅、冶煉、土木工程、利息等各方面的計算問題.比較突出的成就有最大公約數與最小公倍數的計算，各種等差數列問題的解決、某些不定方程問題求解等.

例5（牟合方蓋）“牟合方蓋”是我國古代數學家劉徽在研究球的體積的過程中構造的一個和諧優美的幾何體.它由完全相同的四個曲面構成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側面上，好似兩個扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）.其直觀圖如下左圖，圖中四邊形是為體現其直觀性所作的輔助線.當其主視圖和側視圖完全相同時，它的俯視圖可能是（ ）

解析：由直觀圖可知，俯視圖是正方形加對角線，答案為B.

牟合方蓋是一種幾何體，是兩個等半徑圓柱躺在平面上垂直相交的公共部分，因為像是兩個方形的蓋子合在一起，所以被稱作「牟合方蓋」.牟合方蓋被1994年哈佛大學主編的《微積分》教材收錄，牟合方蓋是中國古代最被忽略的偉大數學成就.

劉徽在他的注中對“牟合方蓋”有以下描述：

“取立方棋八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸.規之為圓囷，徑二寸，高二寸.又復橫規之，則其形有似牟合方蓋矣.八棋皆似陽馬，圓然也.按合蓋者，方率也.丸其中，即圓率也.”

劉徽希望構作一個立體圖形，它的每一個橫切面皆是正方形，而且會外接于球體在同一高度的橫切面的圓形，而這個圖形就是“牟合方蓋”，因為劉徽只知道一個圓及它的外接正方形的面積比為π：4，他希望可以用“牟合方蓋”證實《九章算術》的公式有錯誤.當然他也希望從這方面入手求球體體積的正確公式，因為他知道“牟合方蓋”的體積跟內接球體體積的比為4：3，只要有方法找出“牟合方蓋”的體積便可.只是劉徽始終不能解決，他只可以指出解決方法是計算出“外棋”的體積，但由于“外棋”的形狀復雜，因此沒有成功，無奈地只好留待有能之士圖謀解決的方法：“觀立方之內，合蓋之外，雖衰殺有漸，而多少不掩.判合總結，方圓相纏，濃纖詭互，不可等正.欲陋形措意，懼失正理.敢不闕疑，以俟能言者.”

200多年后，中國偉大數學家袓沖之及他的兒子祖暅，他們承襲了劉徽的想法，利用“牟合方蓋”解決了球體體積公式的問題.

例6（祖暅原理）（楊浦區2015學年度第二學期高三年級學業質量調研）課本中介紹了應用祖暅原理推導棱錐體積公式的做法.祖暅原理也可用來求旋轉體的體積.現介紹祖暅原理求球體體積公式的做法：可構造一個底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱，然后在圓柱內挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐，用這樣一個幾何體與半球應用祖暅原理（圖1），即可求得球的體積公式.在研究和理解球的體積公式求法的基礎上，解答以下問題：已知橢圓的標準方程，將此橢圓繞y軸旋轉一周后，得一橄欖狀的幾何體（圖2），其體積等于 .

解析：祖暅沿用了劉徽的思想，利用劉徽“牟合方蓋”的理論進行體積計算，得出“冪勢相同，則體不容異”的結論.“勢”即是高，“冪”是面積.

為了利用祖暅原理計算某個幾何體的體積，常要構造一個幾何體，此幾何體必須符合兩個條件：①它的計算公式是已知的；②它符合祖暅原理的條件，即該幾何體與原幾何體能夾在兩個平行平面之間，且用平行于這兩個平面的任意一個平面去截它們時，截得的截面面積總相等.

考慮半個橄欖狀的幾何體，構造一個底面半徑為2，高為5的圓柱，然后在圓柱內挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐.如圖所示，

《算數書》是1983年中國考古學家在湖北漢代古墓中發現的竹簡.經過發掘，從淤泥中整理出160多件文物，包括從M247號古墓出土的《算數書》散亂竹簡200多枚，其中180枚完整，其余殘缺.《算數書》竹簡，每枚長約30厘米，寬6至7毫米，上下各有竹節，上竹節離開竹簡上端約1.5厘米，下竹節在竹簡下端之上2厘米.《算數書》竹簡的文字為7000余字隸書，用墨書寫在每枚竹簡正面兩竹節之間，每枚竹簡上書寫的字數，從3字到36字，多少不等，其中第六枚竹簡的背面上書“算數書”三字.

經學者鑒定，《算數書》成書于前202年至前186年之間，是中國最古老的數學書，比《九章算術》早三百余年.《算數書》的發現，改寫了中國古代數學史.《算數書》有68個算題.在《算數書》發現之前，《九章算術》被認為是中國最古老的數學書.《算數書》的發現，改寫了中國古代數學史，將中國古代數學的歷史推前了三百年.

將《算數書》和《九章算術》共同研究，比較其異同，成為中國古代數學史研究中一個熱門課題.有些學者認為，《算數書》和《九章算術》有許多相同的風格、度量衡、算題和方法，《算數書》很可能是張蒼編寫《九章算術》時的母本之一.中國《算數書》與古埃及紙草書、巴比倫數學泥版、古希臘數學文獻，古印度《圣壇建筑法典》并列為世界五大古文明的數學經典.

“調日法”是南北朝數學家何承天發明的一種系統地尋找精確分數以表示天文數據或數學常數的內插法，以有理分數逼近實數，發展了古代的不定分析與數值逼近算法.調日法的發明，為數學的發展作出了貢獻，在天文學上也有一定的作用.

科學和人文始終是人類進步的雙翼.數學是人類文化的重要組成部分，是人類進步的產物，也是推動社會發展的動力.我國數學文化歷史悠久，有許多不同于西方數學文化的鮮明特點：注重歸納、強調實用、講究算法.將數學文化滲透于數學教學已成為數學課程的目標.以上試題的編擬，選取了體現中國古代優秀數學文化并與中學數學內容結合緊密的素材，要求考生運用所學的基礎知識、基本思想方法解決問題.在高考試題（模擬試題）中滲透中國古代數學文化，強調中國古代數學文化的傳統特色，使學生在考查過程中，潛移默化地接受我國古代數學文化的熏陶，自覺形成嚴謹、務實的治學態度，傳承中華優秀傳統文化，弘揚愛國主義精神.在教學中滲透數學傳統文化，將數學文化自然地滲透于數學練習題，是數學教師應予思考的課題，值得重視和關注.