郭計敏
鶴壁職業技術學院 河南鶴壁 458030
多元函數的極值的判別準則
郭計敏
鶴壁職業技術學院 河南鶴壁 458030
多元函數極值判別是高等數學研究中的非常重要的內容,對研究活動開展和思維能力培養具有重要作用。本文結合高等數學研究的具體內容,就多元函數極值判別準則的意義、實例、需要注意的問題進行探討分析,提出相應的對策,希望能為研究工作順利開展和研究活動有效進行提供啟示與借鑒。
多元函數;極值;判別準則
整個高等數學《數學分析》課程中,多元函數極值判別是其中非常重要的內容。不管是理論研究,還是實踐應用,多元函數極值判別準則都具有重要作用,也受到研究工作者和研究人員的重視。本文將結合工程實例,就多元函數極值判別準則進行探討分析,并通過具體實例進行介紹,希望能為研究工作的有效開展提供借鑒。
多元函數極值問題一直是高等數學研究的重要內容,也吸引眾多學者的注意。其中,比較有代表性的學者如朱張興、王大胃、張靜、荊慶林等,這些學者從不同的角度入手,對多元函數極值判別準則進行研究,并提出相應對策,對研究活動有效開展具有積極作用。通常來說,函數極值分為普通極值問題和條件極值問題。對于不同類型的極值問題,應該有針對性的采取對策,掌握有效的解題方法,為研究活動順利開展創造條件。普通極值問題常稱為無條件極值問題,但不管怎樣,有條件和無條件極值問題,都是相輔相成的,對研究活動開展具有積極作用。一般來說,在研究過程中,解決好無條件極值問題,有助于解決條件極值問題,同時,解決好條件極值問題,對解決無條件極值問題具有促進作用。因而在研究過程中,必須清楚明了二者的聯系與區別,然后采取有效的研究方法,對二者進行更為深入合理的研究。同時在研究過程中,大部分函數是隱性給出的,應該結合多元函數的具體內容,掌握所給出的條件,深刻領悟其中的隱性條件,然后應用極值判別準則,對極值問題進行有效研究和判斷。進而深化對極值問題的認識,為更好開展研究工作提供便利。
為深化對多元函數極值判別準則的認識,提高研究工作者的思想認識,讓研究人員有效掌握判別準則,為科研活動順利開展提供便利,下面將結合實例對多元函數極值的判別準則進行探討分析。
(一)
定理1
設二元函數f(x,y)在點P0(x0,y0)的某鄰域內具有三階連續偏導數,且P0是穩定點,又
則當
時,f(x,y)在點P0(x0,y0)不取極值。
證明:
由給出的條件及Taylor展開公式,就有:
然后分三種情況討論,當
時,f(x,y)在點P0(x0,y0)均不取極值
同理,當
時,f(x,y)在點P0(x0,y0)均不取極值
綜上所述,當
時,f(x,y)在點P0(x0,y0)不取極值,定理證明完畢。
實例1
討論:
f(x,y)=2x3-3xy3+5y3在點(0,0)是否取極值?
解:
通過計算分析得知,f(x,y)在點(0,0)的一階、二階偏導數都為0,由此可以得知,判別極值的充分條件失效。但是,
二元函數f(x,y)=2x3-3xy2+5y3在點(0,0)不取極值。
(二)
定理2
設f(x,y)在點P0(x0,y0)的某鄰域內具有四階連續偏導數,且P0是駐點。又對任意的h,k使得
則有,當
當det[S(P0)]小于0時,f(x,y)在點P0(x0,y0)不能取得極值
當det[S(P0)]等于0時,f(x,y)在點P0(x0,y0)是否取得極值
證明:
由給出的條件及Taylor公式得知:
當det[S(P0)]小于0時,f(x,y)在點P0(x0,y0)不能取得極值
當det[S(P0)]等于0時,不能肯定f(x,y)在點P0(x0,y0)是否取得極值。證明完畢。
實例2
討論函數
在(0,0)是否取極值?
解:
計算得知,f(x,y)在(0,0)點的一至三階偏導數全為0,由定理2得知,
在研究和實踐應用中,多元函數的極值問題具有重要作用。在這樣的背景下,加強研究工作,掌握多元函數的極值判斷準則是不可忽視的。本文介紹了多元函數極值判別準則的意義,結合具體實例進行研究和分析,有助于深化對極值判別準則的認識,加深研究者的印象。但需要注意的是,多元函數極值判別準則研究是比較難的內容,應該做好審題工作,把握題目給出的隱性條件,對題目中給出的條件有深刻和全面的認識。另外還要善于應用創造性思維,敢于突破和創新,對多元函數極值判別準則有更為全面的認識,為研究工作順利開展創造便利。
總之,在多元函數極值判別中,應該認識其重要作用,掌握應用準則。同時還要善于總結經驗,發揮創造性思維,激發研究人員的興趣和熱情。作為研究人員,應該重視判別準則的引導和應用,合理將定理應用到研究活動當中,并對相關內容進行深入分析,并解答研究中遇到的疑惑。從而讓研究人員更好融入研究活動,有效掌握多元函數極值判別準則,為研究活動順利進行和研究人員的工作效率提升創造條件。
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