機械臂工作空間全局相對可操作度圖的構建方法

李憲華+疏楊+張雷剛+郭帥+張軍

摘要：針對機械臂工作空間的靈活性問題，提出了一種全局相對可操作度圖的構建方法。該方法首先將機械臂工作空間進行網格化處理，得到離散位置；然后在離散位置的均布小球上建立直角坐標系，通過繞坐標軸旋轉的方式完成機械臂姿態的離散；而后將每個離散位置上的位姿進行逆運動學解算，并計算得到該位置上的最大相對可操作度；最后采用可視化的方法繪制出機械臂工作空間的相對可操作度分布圖，進而揭示機械臂在其工作空間內的靈活性分布規律。該方法為機械臂的設計提供了相關理論依據，為機械臂的任務操作規劃奠定了基礎。

關鍵詞：機械臂；相對可操作度圖；逆運動學

中圖分類號：TP241文獻標志碼：A文章編號：1672-1098（2016）01-0056-06

Abstract：Aiming at the flexibility of manipulators in working space， a method of constructing global relative manipulability map was proposed. In this method， the working space of the manipulator was processed by grid， and the discrete positions were obtained； then the rectangular coordinate system was set up on the discrete positions， and the discrete positions of the manipulator were accomplished by rotating the coordinate axis； the position and pose of each discrete position were calculated by inverse kinematics， and the maximum relative operational degree of the position was calculated； finally， the visual method was used to draw the relative operational degree distribution map of the manipulator in the working space to reveal the flexibility distribution of the manipulator in its working space. The method provides a theoretical basis for the design of the manipulator， and lays the foundation for the task operation planning of the manipulator.

Key words：manipulator， relative manipulability map， inverse kinematics

機械臂是模仿人體手臂而設計的一種自動化操作裝置，其運動靈活性反映了對任務操作的轉換能力，靈活性指標對于機械臂的設計、評價與運動規劃有非常重要的作用，機械臂運動靈活性是機器人運動學研究的一個重要內容。

可操作度、條件數和最小奇異值是比較經典的三個靈活性指標[1]，其中可操作度應用較為廣泛，其物理意義可以解釋為機械臂各運動方向上能力的綜合度量。Yoshikawa將雅可比矩陣與其轉置矩陣乘積的行列式的之值定義為機械臂的可操作性指標，并提出了可操作度橢球的概念對機械臂的靈活性進行描述[2]；姚建初等利用方向可操作度對冗余度機械臂進行運動規劃，提高了機械臂的運動能力[3]；Hammond等利用加權各向同性指標，對機械臂進行優化設計，并提出了力矩加權各向同性指標，同時考慮了運動靈活性與關節力矩[4]；謝碧云等提出基于條件約束的方向可操作度指標，通過優化側重點的改變，最大限度地保留了方向可操作度[5]；趙京等采用相對可操作度指標對構型不同的機械臂靈活性分析，篩選出最佳串聯仿人機械臂構型[6]。以上對于機械臂靈活性的研究大多針對機械臂工作空間任意點的運動能力進行評價，而對機械臂整個工作空間的靈活性分布情況未進行研究。

本文針對國內外研究的上述不足之處，以機械臂可操作度為基礎，建立全局相對可操作度指標，通過對機械臂的位姿離散的方法，結合機械臂逆運動學，基于Matlab平臺繪制機械臂全局相對可操作度圖，進而從宏觀角度出發對機械臂的整個工作空間的靈活性加以分析。本文以Puma560機械臂為示例，研究機械臂工作空間相對可操作度圖的構建過程。

1運動學與可操作度

11運動學分析

Puma560是機械臂研究中的典型，由6個旋轉關節組成，本體如圖1所示。利用D-H法對機械臂建模已成為機械臂運動學研究的標準方法，圖2為采用該方法建立的Puma560機械臂坐標系，表1為其DH參數。對于其正逆運動學的求解…[7]，在此不再贅述。借助于機器人工具箱，可以完成Puma560的正運動學解算，并可以得到8組逆運動學封閉逆解。

|det[J（q）]|；機械臂處于奇異形位時，w=0。很容易地可以看到：機械臂除了位于奇異形位時，可操作度指標總是大于零的。此度量指標可以用來衡量機械臂距離奇異形位的遠近程度，可以用來衡量機械臂的靈活性。在評價機械臂靈活性過程中，總是希望得到統一量綱指標，為此定義機械臂工作空間的全局相對可操作度指標來對機械臂的可操作性度量指標進行歸一化處理[6]，如式（2）所示。

μi=wiwmaxi=1， 2，…，n （2）

式中：wi為機械臂工作空間點pi處的可操作度值，wmax為機械臂工作空間中的可操作度的最大值，μi為上述兩者間的比值，稱為全局相對可操作度值。當μi=0時，表示該點處于奇異形位；當μi=1時表明該點操作度達到最大值，靈活性最好，顯然μi的取值范圍是[0，1]。對于Puma560機械臂，在已知各關節角度情況下，采用機器人工具箱可以完成可操作度的計算，本文采用蒙特卡羅方法，完成對Puma560機械臂工作空間的最大可操作度值wmax的求取，再通過式（2）可以得到該形位下機械臂的相對可操作度。

2相對可操作度圖構建

21工作空間離散

以兩倍的機械臂長度lws為邊長，建立一立方體，顯然此立方體將機械臂工作空間包含于其中；對該立方體進行網格化處理，將每條邊分成長度為lc的nc份，如式（3）所示，如此便把大立方體分成了n3c個小立方體，其邊長lclws，工作空間離散化網格劃分如圖3所示。

機械臂工作空間中任一點都可以劃分到各小立方體中，通過式（4）可以計算出所屬的小立方體，其中（tx，ty，tz）為機械臂工作空間中的任意點；反之，通過式（5）可以計算出任一小立方體的中心坐標位于機械臂基坐標系下的坐標。采用此種離散方法，機械臂工作空間中的任意位置都可以進行定向分析，每個小立方體22姿態離散

為了將機械臂工作空間任意位置上的姿態進行離散，首先將上述離散空間中的小立方體用與其各面都相切的球體代替，可見當小立方體的邊長趨于無窮小時，該球體與小立方體完全一致。采用螺旋點均布算法[8]，在球體表面均勻分布np個小球體，如圖5所示，每個小球體的坐標以球坐標的形式給出，如式（6）～（9）所示。

θk=arccos hk，hk=-1+2（k-1）N-1，

1≤k≤N （6）

k=（k-1+36N11-h2k ）（mod 2π），

2≤k≤N-1，1=N=0（7）

xk=lc2·sin θk·cos k

yk=lc2·sin θk·sin k

zk=lc2·cos θk （8）

pi=[xkykzk]T （9）

假設大球體和均布的小球體球心都固接有坐標系，大球體坐標系各軸方向與基坐標系一致，小球體坐標系的z軸為由大球體球心與小球體球心的連線，并且指向為大球體球心到小球體球心，通過式（10）與（11）可以得到小球體坐標系到大球體坐標系的變換矩陣，均布小球體的坐標系z軸如圖6所示。

至此，可以把Fi，0看作為機械臂的工具坐標系位于大球體下的位姿，而Ri，0就是機械臂的某一姿態。

為了進行姿態離散，將小球體上的坐標系繞其z軸每隔Δ°0旋轉一次進行離散，共分成m0份，如式（12）所示，旋轉矩陣如式（13）所示，則當小球體上的坐標系旋轉過α°k后，其位于大球體下的坐標如式（14）所示。至此，可以將小球體上的任一坐標系位于基坐標系下的坐標通過式（15）和（16）得到，從而完成了機械臂工作空間的任意位姿的離散。

m0=360Δ0（12）

Fz（αk）=Rz（αk）0

0T1αk=k·Δ0k≤m0 （13）

Fi，αk=Fi，0·Fz（αk）=F（Rot（i，k），pi） （14）

TBaseSphere （g）=F（I，w（g））=Iw（g）

0T1 （15）

FBaseTCP=TBaseSphere （g）·Fi，αk=F（I，w（g））·Fi，0·Fz（αk） （16）

23可操作度圖構建

通過以上步驟可以實現機械臂工作空間的任意位置和姿態，然而機械臂各關節由于機械結構的限制并非所有的姿態都能到達，Puma560機械臂各關節角度旋轉范圍如表1所示。因此，在完成機械臂工作空間的位姿離散后，要將每一個位姿進行逆運動學驗證，已驗證該位姿是否存在逆解。若逆解存在則計算該構形下的相對可操作度，否則按順序選取下一組位姿值進行計算，重復上述步驟，直至機械臂工作空間所有位姿選盡，程序流程如圖7所示。

24Puma560相對可操作度圖及分析

按照圖7所述機械臂工作空間相對可操作度圖構建流程，以Matlab為平臺，結合機器人工具箱，進行Puma560機械臂的全局相對可操作度圖構建。當Puma560關節?。?，0，-π2，0，0，0）時，機械臂伸直，為所能到達的最長距離，所以大正方體的邊長取此時度的2倍為17272 mm，小正方體邊長取35 mm，大球體上小球的數量取11，姿態按繞z軸每隔80°取。

為Puma560的全局相對可操作度圖，從圖中可以看出該機械臂的最大可達空間為一球面，而由于關節機械結構的限制，該球體并不完整，主要表現在從外到內在機械臂第一關節為極限位置時有一個斷裂帶，并且該球體為中空的。理論上分析，可操作度圖球體表面應全為紅色即相對可操作度為0，即機械臂處于奇異，而由于位置離散時小正方體的邊長取值相對較大，因此球體邊緣部分點可操作度較小，但并非為零。為了便于觀察機械臂相對可操作度的分布情況，對上述全局相對可操作度圖的球體進行剖視，如圖9所示。通過圖9可以看出，Puma560工作空間的全局相對可操作度大體成帶狀分布，且大部分空間的相對可操作值達08～10。位于可操作度圖球體邊緣的點操作度較小，當向球體中心移動時，相對可操作度值變大，然后再變小。圖8Puma560工作空間相對可操作度圖

3結論

本文從機械臂的工作空間出發，以相對可操作度為基礎，通過將機械臂工作空間位置離散與姿態散的方法，完成對機械臂整個工作空間的位姿離散，對位姿離散的方法進行了詳細論述，而后以逆運動學為基準，對離散的位姿進行篩選，對于滿足逆運動學的位姿進行計算全局可操作度，采用三維直觀圖對機械臂工作空間的相對可操作度分布情況進行描述，通過圖譜可以直觀地看出機械臂工作空間內其相對可操作度的分布情況。

參考文獻：

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