一階時滯系統內?？刂频膬灮治?/h1>
2016-12-14 22:21詹莊春
安徽理工大學學報·自然科學版 2016年1期
詹莊春
摘要：基于IMC-PID原理，采取實際應用的PID模型，實現了理論算式與工程實際的結合。對不同時滯程度的一階系統進行參數整定，確定了λ的取值范圍。利用NCD解決了大量計算問題，為參數優化提供了有效途徑。通過設計舉例，顯示出系統具有良好的控制性能。再經過一般性分析，得出了內?？刂频囊话阋幝?，以供工程設計參考。
關鍵詞：一階時滯；IMC-PID；NCD；參數整定
中圖分類號：TP214 文獻標志碼：A文章編號：1672-1098（2016）01-0070-05
Abstract：Based on the IMC-PID principle， by using the practical PID model， the combination of theoretical calculation and practical engineering was realized. Through the different degree of first order delay system parameter setting， the value range of lambda is determined. By utilizing the NCD， a large amount of calculation can be performed， which provides an effective way for the parameter optimization. By giving a concrete example， the system showed good control performance. And after a general analysis， the general rule of the internal model control was obtained， which provides a reference to engineering design.
Key words： first-order plus dead-time； IMC-PID； NCD； parameter setting
一階時滯系統普遍存在于過程控制當中，對于時滯程度較大的系統，單純采用經典PID控制，其參數很難整定；最經典的控制方式有Simth預估控制法，但該方法對模型誤差和滯后時間較敏感，而系統的動態過程和干擾使被控對象的實際模型很難精確。1982年，文獻[1]提出的內?？刂疲↖nternal Model Control，IMC），繼承了Simth預估法的優點，并對模型失配有一定的魯棒性，經過多年的發展，理論比較成熟，出現了針對PID控制器設計的IMC-PID方法，且得到了廣泛應用，例如：基于分數階IMC-PID的鍋爐蒸汽溫度控制[2]。PID參數整定方法很多，對存在時變特性和嚴重不確定性的系統，采用ISTE最優參數整定法和魯棒PID參數整定法較好[3]，一般時滯系統可采用ISTE準則。非線性控制器優化設計（NCD）模塊基于ITSE準則，采用單純形法尋優，具有良好的收斂性[4]30。本文考慮理論的實際應用，從IMC-PID基本原理出發，充分利用參數優化軟件的強大計算功能，建立起一階時滯系統控制模型，并進行深入分析和研究。
1PID控制器模型設計
傳統反饋控制系統即PID控制系統，是由比例（P）、積分（I）和微分（D）三部分組成的。在模擬控制系統中，理想PID的數學模型為
u（t）=kpe+ki∫edt+kddedt （1）
式中：e為偏差；kp，ki，kd均為系數；u（t）為PID校正輸出。
由于理想PID控制器存在以下不足：①其階躍響應曲線初始值趨向無窮大，不利于實際應用；②在實踐中，純微分環節無法物理實現，并容易引入高頻干擾；③積分會增大超調量，不利于系統穩定。故應采取必要措施[5]，如在積分環節后增加飽和限幅器，采取在反饋通道中加積分的方式構成準微分環節，具體設計模型如圖1所示。在線性控制范圍內，實際應用的PID控制器傳遞函數為
2IMC-PID控制器參數的擴展整定
內?？刂疲↖MC）的設計思路是將對象模型與實際對象并聯，而將內?？刂破鞅平鼘ο竽Ｐ偷膭討B逆，在此基礎上，文獻[6]則對內?？刂埔幝傻乃惴ㄟM行了擴展。內?？刂婆c傳統反饋控制（即PID控制）的關系如圖2所示，再考慮干擾，由圖2可得等效內?？刂平Y構（見圖3）[7]。其中，P（s）為對象傳遞函數，M（s）為對象模型傳遞函數，C（s）為傳統反饋控制器傳遞函數，IMC（s）為內?？刂破鱾鬟f函數。當M（s）=P（s）時，稱模型匹配，否則為模型失配。
M（s）=M+（s）·M-（s） （3）
式中：M+（s）為包含s右半平面所有零極點和純滯后環節的部分，剩下部分為M-（s）。
IMC（s）=M-1-（s）·f （4）
式中：f為低通濾波器。
其濾波系數的整定應考慮在系統魯棒穩定性和性能指標ISE之間合理協調[8]，采取方式為
|f（jω）|≤1lm（ω）<1l（ω）=
M（jω）M（jω）-P（jω）ω （5）
式中：l（ω）為模型失配引入的誤差；lm（ω）為模型失配引入的誤差上限。
C（s）=M-1-（s）·f1-M+（s）·f （6）
對于一階時滯P（s）=KTs+1·e-τs，取f=1λs+1，當λ足夠大時，滿足式（5）。將e-τs用一階Pade逼近公式近似，可得近似的對象模型為
M（s）=M+（s）·M-（s）1-05τs1+05τs·KTs+1 （7）
將之代入式（6），可得：
C（s）=05τTK（λ+τ）s2+05τ+TK（λ+τ）s+1K（λ+τ）05τλλ+τs2+s （8）
將式（2）與式（8）比較，可得
kp=Tλ+05τ2+TτK（λ+τ）2
ki=1K（λ+τ）
kd=（05Tτ2-025τ3）λ+05Tτ3K（λ+τ）3
kf=05τλλ+τ （9）
其次，理論分析系統控制性能，其輸出響應為
Y（s）=IMC（s）·P（s）1+IMC（s）·[P（s）-M（s）]·R（s）+
1-IMC（s）·M（s）1+IMC（s）·[P（s）-M（s）]·D（s） （10）
從式（10）中的第一項可看出：系統輸出可以無靜差跟蹤給定輸入，從后一項可看出：系統擬制干擾的能力較強，進一步還可認識到系統控制性能只與λ的選取有關。
最后，整定參數歸結為一個λ，由此決定系統的靜動態性能。
3確定λ的取值范圍
λ的取值應考慮以下幾點：①讓內?？刂颇Ｐ捅平鼘ο竽Ｐ偷膭討B逆；②要求控制系統具有魯棒穩定性；③PID控制器的參數調節限制；④系統對上升時間、 超調量以及調節時間等動態性能的要求。
其中第2點需滿足式（5），即λ取的足夠大。第3點要求kf該指標稱為ITSE準則，反映了控制系統的快速性和精確性。具體算法必須在所給定動態要求的前提下，選擇合適的λ使J最小。其計算量極大，需借助計算機編制程序來完成，此過程即為文獻[4]30中提到的參數自尋最優。
4NCD模塊集的引入
在Matlab/Simulink工具庫中的非線性控制設計模塊集NCD（Nonlinear Control Design Blockset），具有基于圖形界面的模塊形式，為非線性系統的控制器優化設計和仿真提供了有效的手段。在不同MATLAB版本中，NCD模塊集名稱不一樣：NCD Outport（MATLAB65）、Signal Constraint（MATLAB75）以及Check Step Response Characteristics（MATLAB713）等，但其主要特點均有[11]：①模塊可添加到仿真圖中，對與其相連接信號進行約束，即自動將系統時域性能指標轉化為一個約束優化問題；②提供時域性能優化窗口，動態顯示優化效果；③用戶可任意選擇優化參數；④輸出顯示參數優化值。
通過上述可看出，NCD的引入為濾波系數λ的進一步優化創造了極好條件，其具體應用將結合仿真設計并作介紹。
5仿真設計與分析
舉例：某電烤箱系統的開環傳遞函數為
P（s）=KTs+1·e-τs=09189s+1·e-276s （13）
采用PID控制器構成單位反饋系統?，F通過調節PID參數，要求系統達到如下目標：穩態無靜差、具有魯棒穩定性、超調量小于5%、上升時間小于10 s、調節時間（1%）小于30 s。
第一步，構建該系統的仿真模型（見圖4）。被控對象由最小相位系統加純滯后環節構成，干擾信號采用時間選擇開關實現，參數優化模塊與輸出端直接相連。 圖4某電烤箱系統的仿真設計模型
系統輸出響應如圖5中曲線1和曲線2所示，模型匹配時的系統性能較好，兩者均有較強的魯棒穩定性，但超調量都較大。
第二步，參數λ的優化。參數優化模塊設置為Final value：10，Rise time：10，Setting time：30，% Setting：1，% Overshoot：5，以及添加優化參數λ。優化結果為
1） 當輸入K=10，τ=250，T=100，λ=063時，優化輸出λ=1543 7；
2） 當輸入K=091，τ=276，T=89，λ=063時，優化輸出λ=1301 2
優化后的系統輸出響應如圖4中的曲線3和曲線5所示。另外，更改各個干擾脈沖時間設置，以利于曲線分辨。在圖5中，針對同一被控對象，在同一目標要求下，優化后的曲線并不重合。進一步，當輸入對象模型參數也一樣，只改變λ初值，通過試驗可知λ優化解不相等，這就是所謂的“局部優化”問題[12]。
t/s
1. 模型失配優化前；2. 模型匹配優化前；3. 模型失配優化后；4. 2. 模型匹配優化后
第三步，一階時滯系統IMC-PID控制的一般性分析。設模型匹配，要求在不同時滯程度下，重點考察系統臨界無超調時的λ值和系統臨界穩定時的K值。計算λ時可借助優化軟件，其模塊設置為Final value：10，% Setting：0001，% Overshoot：0002，% Undershoot：0002。計算K值的步長選擇0001，兩者計算數據如表2所示。表2系統臨界無超調時的λ值和系統臨界穩定時的K值
τ/T0102505101525 λ090172500>458872>5361190>573--（K=1，T=10，λ0=λmin）tr=40，ts=50tr=75，ts=85tr=110，ts=120-- K（λ=λmax）0173 50257 50337 50425 50475 50530 5
從表2可看出，被控對象增益越大，對控制穩定性有利，但調節時間會越長。而且，還得出以下新的結論：①隨著時滯程度加劇，調節λ將越大，當時滯程度大于05時，采用IMC-PID控制方式不再理想；②當時滯程度達25以后，系統的單調性不可調，IMC-PID控制不再適用。
6結束語
通過設計舉例獲取一階時滯系統內?？刂频妮敵銮€，以此驗證了IMC-PID的良好控制性能。為有利于IMC-PID在一階時滯系統中得到很好地應用，又對其進行一般性分析，確定了IMC-PID在一階時滯系統中的適用范圍，并將仿真實驗數據列表，以供工程設計參考。另外，若模型失配，則一味地依靠優化來確定λ是不可取的；針對“局部優化”問題，目前提出了一種基于最大靈敏度的二自由度IMC-PID控制器參數整定方法[13]，但是在快速性控制要求方面有待比較。尚待進一步研究的還有：失配度對系統控制性能的影響以及如何通過失配度不斷逼近實際對象的問題。
參考文獻：
[1]GARICIA C E， MORARI M. Internal model control 1： a unifying review and some new results[J]. Ind Eng Chem Proc Des Dev，1982， 21（2）：308-323.
[2]王松， 張金環， 王曉燕， 等. 基于分數階IMC-PID的鍋爐蒸汽溫度控制[J]. 華北電力大學學報（自然科學版），2014， 41（3）： 70-75.
[3]邱麗， 曾貴娥， 朱學峰， 等. 幾種PID控制器參數整定方法的比較研究[J]. 自動化技術與應用，2005， 24（11）： 28-31.
[4]李華. 基于MATLAB環境下控制系統參數的優化設計[J]. 電氣傳動自動化，2002， 24（2）： 29-30.
[5]王福永. 非線性系統PID控制器的優化設計[J]. 蘇州大學學報（工科版）， 2005， 25（1）： 56-59.
[6]陳積玉， 何衍慶， 俞金壽. 基于內?？刂圃淼姆答伩刂破鞯恼╗J]. 華東理工大學學報，1994， 20（5）： 641-647.
[7]尹先斌， 周有訓. 基于Taylor和Pade能逼近的滯后系統MC-PID研究[J]. 昆明理工大學學報（理工版），2006， 31（2）： 76-81.
[8]龔劍平，朱鳳成. IMC-PID控制器參數擴展整定方法的改進[J].北京化工大學學報，2000，27（3）：75-76.
[9]龔曉峰， 高衿暢， 周春暉. 時滯系統PID控制器內模整定方法的擴展[J]. 控制與決策， 1998， 13（4）： 337-341.
[10]RIVERA D E， MORARI M， SKOGESTAD S. Internal model control 4： PID controller design[J]. Ind Eng Chem Pro Des Dev， 1986， 25：252-265.
[11]滕青芳. 基于NCD工具箱的非線性系統PID控制器優化設計[J]. 電氣傳動自動化，2002， 24（3）： 32-34.
[12]唐志航， 虞金有， 俞立. 基于MATLAB環境下模糊控制參數的優化設計與仿真[J]. 計算機仿真， 2003， 20（9）： 101-102.
[13]孫功武， 聶紅偉， 蘇義鑫，等. 時滯系統的二自由度IMC-PID控制研究[J]. 計算機應用研究， 2014， 31（8）： 2 357-2 360.
詹莊春
摘要：基于IMC-PID原理，采取實際應用的PID模型，實現了理論算式與工程實際的結合。對不同時滯程度的一階系統進行參數整定，確定了λ的取值范圍。利用NCD解決了大量計算問題，為參數優化提供了有效途徑。通過設計舉例，顯示出系統具有良好的控制性能。再經過一般性分析，得出了內?？刂频囊话阋幝?，以供工程設計參考。
關鍵詞：一階時滯；IMC-PID；NCD；參數整定
中圖分類號：TP214 文獻標志碼：A文章編號：1672-1098（2016）01-0070-05
Abstract：Based on the IMC-PID principle， by using the practical PID model， the combination of theoretical calculation and practical engineering was realized. Through the different degree of first order delay system parameter setting， the value range of lambda is determined. By utilizing the NCD， a large amount of calculation can be performed， which provides an effective way for the parameter optimization. By giving a concrete example， the system showed good control performance. And after a general analysis， the general rule of the internal model control was obtained， which provides a reference to engineering design.
Key words： first-order plus dead-time； IMC-PID； NCD； parameter setting
一階時滯系統普遍存在于過程控制當中，對于時滯程度較大的系統，單純采用經典PID控制，其參數很難整定；最經典的控制方式有Simth預估控制法，但該方法對模型誤差和滯后時間較敏感，而系統的動態過程和干擾使被控對象的實際模型很難精確。1982年，文獻[1]提出的內?？刂疲↖nternal Model Control，IMC），繼承了Simth預估法的優點，并對模型失配有一定的魯棒性，經過多年的發展，理論比較成熟，出現了針對PID控制器設計的IMC-PID方法，且得到了廣泛應用，例如：基于分數階IMC-PID的鍋爐蒸汽溫度控制[2]。PID參數整定方法很多，對存在時變特性和嚴重不確定性的系統，采用ISTE最優參數整定法和魯棒PID參數整定法較好[3]，一般時滯系統可采用ISTE準則。非線性控制器優化設計（NCD）模塊基于ITSE準則，采用單純形法尋優，具有良好的收斂性[4]30。本文考慮理論的實際應用，從IMC-PID基本原理出發，充分利用參數優化軟件的強大計算功能，建立起一階時滯系統控制模型，并進行深入分析和研究。
1PID控制器模型設計
傳統反饋控制系統即PID控制系統，是由比例（P）、積分（I）和微分（D）三部分組成的。在模擬控制系統中，理想PID的數學模型為
u（t）=kpe+ki∫edt+kddedt （1）
式中：e為偏差；kp，ki，kd均為系數；u（t）為PID校正輸出。
由于理想PID控制器存在以下不足：①其階躍響應曲線初始值趨向無窮大，不利于實際應用；②在實踐中，純微分環節無法物理實現，并容易引入高頻干擾；③積分會增大超調量，不利于系統穩定。故應采取必要措施[5]，如在積分環節后增加飽和限幅器，采取在反饋通道中加積分的方式構成準微分環節，具體設計模型如圖1所示。在線性控制范圍內，實際應用的PID控制器傳遞函數為
2IMC-PID控制器參數的擴展整定
內?？刂疲↖MC）的設計思路是將對象模型與實際對象并聯，而將內?？刂破鞅平鼘ο竽Ｐ偷膭討B逆，在此基礎上，文獻[6]則對內?？刂埔幝傻乃惴ㄟM行了擴展。內?？刂婆c傳統反饋控制（即PID控制）的關系如圖2所示，再考慮干擾，由圖2可得等效內?？刂平Y構（見圖3）[7]。其中，P（s）為對象傳遞函數，M（s）為對象模型傳遞函數，C（s）為傳統反饋控制器傳遞函數，IMC（s）為內?？刂破鱾鬟f函數。當M（s）=P（s）時，稱模型匹配，否則為模型失配。
M（s）=M+（s）·M-（s） （3）
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IMC（s）=M-1-（s）·f （4）
式中：f為低通濾波器。
其濾波系數的整定應考慮在系統魯棒穩定性和性能指標ISE之間合理協調[8]，采取方式為
|f（jω）|≤1lm（ω）<1l（ω）=
M（jω）M（jω）-P（jω）ω （5）
式中：l（ω）為模型失配引入的誤差；lm（ω）為模型失配引入的誤差上限。
C（s）=M-1-（s）·f1-M+（s）·f （6）
對于一階時滯P（s）=KTs+1·e-τs，取f=1λs+1，當λ足夠大時，滿足式（5）。將e-τs用一階Pade逼近公式近似，可得近似的對象模型為
M（s）=M+（s）·M-（s）1-05τs1+05τs·KTs+1 （7）
將之代入式（6），可得：
C（s）=05τTK（λ+τ）s2+05τ+TK（λ+τ）s+1K（λ+τ）05τλλ+τs2+s （8）
將式（2）與式（8）比較，可得
kp=Tλ+05τ2+TτK（λ+τ）2
ki=1K（λ+τ）
kd=（05Tτ2-025τ3）λ+05Tτ3K（λ+τ）3
kf=05τλλ+τ （9）
其次，理論分析系統控制性能，其輸出響應為
Y（s）=IMC（s）·P（s）1+IMC（s）·[P（s）-M（s）]·R（s）+
1-IMC（s）·M（s）1+IMC（s）·[P（s）-M（s）]·D（s） （10）
從式（10）中的第一項可看出：系統輸出可以無靜差跟蹤給定輸入，從后一項可看出：系統擬制干擾的能力較強，進一步還可認識到系統控制性能只與λ的選取有關。
最后，整定參數歸結為一個λ，由此決定系統的靜動態性能。
3確定λ的取值范圍
λ的取值應考慮以下幾點：①讓內?？刂颇Ｐ捅平鼘ο竽Ｐ偷膭討B逆；②要求控制系統具有魯棒穩定性；③PID控制器的參數調節限制；④系統對上升時間、 超調量以及調節時間等動態性能的要求。
其中第2點需滿足式（5），即λ取的足夠大。第3點要求kf 該指標稱為ITSE準則，反映了控制系統的快速性和精確性。具體算法必須在所給定動態要求的前提下，選擇合適的λ使J最小。其計算量極大，需借助計算機編制程序來完成，此過程即為文獻[4]30中提到的參數自尋最優。 4NCD模塊集的引入 在Matlab/Simulink工具庫中的非線性控制設計模塊集NCD（Nonlinear Control Design Blockset），具有基于圖形界面的模塊形式，為非線性系統的控制器優化設計和仿真提供了有效的手段。在不同MATLAB版本中，NCD模塊集名稱不一樣：NCD Outport（MATLAB65）、Signal Constraint（MATLAB75）以及Check Step Response Characteristics（MATLAB713）等，但其主要特點均有[11]：①模塊可添加到仿真圖中，對與其相連接信號進行約束，即自動將系統時域性能指標轉化為一個約束優化問題；②提供時域性能優化窗口，動態顯示優化效果；③用戶可任意選擇優化參數；④輸出顯示參數優化值。 通過上述可看出，NCD的引入為濾波系數λ的進一步優化創造了極好條件，其具體應用將結合仿真設計并作介紹。 5仿真設計與分析 舉例：某電烤箱系統的開環傳遞函數為 P（s）=KTs+1·e-τs=09189s+1·e-276s （13） 采用PID控制器構成單位反饋系統?，F通過調節PID參數，要求系統達到如下目標：穩態無靜差、具有魯棒穩定性、超調量小于5%、上升時間小于10 s、調節時間（1%）小于30 s。 第一步，構建該系統的仿真模型（見圖4）。被控對象由最小相位系統加純滯后環節構成，干擾信號采用時間選擇開關實現，參數優化模塊與輸出端直接相連。 圖4某電烤箱系統的仿真設計模型 系統輸出響應如圖5中曲線1和曲線2所示，模型匹配時的系統性能較好，兩者均有較強的魯棒穩定性，但超調量都較大。 第二步，參數λ的優化。參數優化模塊設置為Final value：10，Rise time：10，Setting time：30，% Setting：1，% Overshoot：5，以及添加優化參數λ。優化結果為 1） 當輸入K=10，τ=250，T=100，λ=063時，優化輸出λ=1543 7； 2） 當輸入K=091，τ=276，T=89，λ=063時，優化輸出λ=1301 2 優化后的系統輸出響應如圖4中的曲線3和曲線5所示。另外，更改各個干擾脈沖時間設置，以利于曲線分辨。在圖5中，針對同一被控對象，在同一目標要求下，優化后的曲線并不重合。進一步，當輸入對象模型參數也一樣，只改變λ初值，通過試驗可知λ優化解不相等，這就是所謂的“局部優化”問題[12]。 t/s 1. 模型失配優化前；2. 模型匹配優化前；3. 模型失配優化后；4. 2. 模型匹配優化后 第三步，一階時滯系統IMC-PID控制的一般性分析。設模型匹配，要求在不同時滯程度下，重點考察系統臨界無超調時的λ值和系統臨界穩定時的K值。計算λ時可借助優化軟件，其模塊設置為Final value：10，% Setting：0001，% Overshoot：0002，% Undershoot：0002。計算K值的步長選擇0001，兩者計算數據如表2所示。表2系統臨界無超調時的λ值和系統臨界穩定時的K值 τ/T0102505101525 λ090172500>458872>5361190>573--（K=1，T=10，λ0=λmin）tr=40，ts=50tr=75，ts=85tr=110，ts=120-- K（λ=λmax）0173 50257 50337 50425 50475 50530 5 從表2可看出，被控對象增益越大，對控制穩定性有利，但調節時間會越長。而且，還得出以下新的結論：①隨著時滯程度加劇，調節λ將越大，當時滯程度大于05時，采用IMC-PID控制方式不再理想；②當時滯程度達25以后，系統的單調性不可調，IMC-PID控制不再適用。 6結束語 通過設計舉例獲取一階時滯系統內?？刂频妮敵銮€，以此驗證了IMC-PID的良好控制性能。為有利于IMC-PID在一階時滯系統中得到很好地應用，又對其進行一般性分析，確定了IMC-PID在一階時滯系統中的適用范圍，并將仿真實驗數據列表，以供工程設計參考。另外，若模型失配，則一味地依靠優化來確定λ是不可取的；針對“局部優化”問題，目前提出了一種基于最大靈敏度的二自由度IMC-PID控制器參數整定方法[13]，但是在快速性控制要求方面有待比較。尚待進一步研究的還有：失配度對系統控制性能的影響以及如何通過失配度不斷逼近實際對象的問題。
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[13]孫功武， 聶紅偉， 蘇義鑫，等. 時滯系統的二自由度IMC-PID控制研究[J]. 計算機應用研究， 2014， 31（8）： 2 357-2 360.
