用等效的思想求簡諧運動的周期

陳剛　王金聚

摘 要：一些振動裝置看上去雖非單擺、彈簧振子，但通過與單擺、彈簧振子模型作比較，卻可以找出與模型中的擺長、重力加速度、振子質量、勁度系數相等效的量，將這些量代入兩模型的周期公式，同樣可求出這些振動裝置的振動周期。

關鍵詞：單擺；彈簧振子；振動裝置；等效量；周期

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2016）11-0051-3

單擺、彈簧振子是簡諧運動的兩個常見的理想模型，其振動周期分別為T=2π 和T=2π 。但有時我們會遇到一些與單擺、彈簧振子模型相類似的振動裝置，這些裝置的振動周期雖然不能利用上述公式直接得出，但若將它們與單擺、彈簧振子模型作比較，卻可以找到與兩模型周期公式中某些量相對應的等效參量，如等效重力加速度、等效擺長、等效質量、等效勁度系數等；利用這些等效量同樣可以求得這些裝置的振動周期。

1 等效重力加速度

真空中單擺小球的受力最為簡單：擺線拉力和重力。其受力特點是：重力是一個恒力。但有些擺動的物體受力雖然較多，但除了擺線的拉力外，其余各力的合力仍為一個恒力，則這一恒力就相當于一個等效的重力，可視為mg′，則g′就是一個等效的重力加速度，將其代入單擺的周期公式，就可以求得這類擺擺動的周期。

例1 如圖1所示，一質量為m的擺球固定在邊長為l0、質量不計的等邊三角支架ABC的頂角A上。三角架可繞固定邊BC自由轉動，BC邊與豎直方向的夾角為α，求小球m做小幅度振動的周期T。

解析 如圖2所示，過A點作BC的垂線交BC于O點。擺球做微小振動時，其軌跡處在過A點、垂直于BC的平面內，且在以O為圓心、OA為半徑的一段圓弧上。將重力mg沿OA和垂直于OA的方向分解，則二分力大小分別為mgsinα、mgcosα。與單擺模型相比較，可把該裝置等效于一個懸點在O點、擺長為OA的單擺，其等效重力沿OA方向，大小為mg=mgsinα。所以，等效重力加速度g=gsinα，等效擺長l=l0sin60 °= l0，代入單擺周期公式得該小球的振動周期為：

T=2π =2π 。

2 等效擺長

單擺的擺長是懸點到擺球重心的距離。單擺的懸點只有一個，但對雙線擺而言，卻有兩個懸點，如果我們想比照單擺的規律尋找雙線擺的周期，則要在腦子里把雙線擺的雙線等效轉化成單線，即把本來是兩個懸點的問題轉化成一個懸點的問題。那么，轉化后的這 “一個懸點”在哪里呢？就需要我們依照單擺的結構特點去尋找。

例2 如圖3所示，由質點小球和兩根細繩組成的擺，兩繩長分別為L1、L2，且相互垂直，不等高的懸點O1、O2的水平距離為L，求該擺在垂直于紙面方向做微小振動的周期。

解析 如圖4所示，連接O1、O2，作 ⊥ ，垂足為M點。在球擺動的過程中，△O1O2P以O1O2為軸轉動，P點的軌跡是以M點為圓心、MP為半徑的一段圓弧。

實際上，在例1的解析中我們不僅借助了等效加速度，同時還借助了等效擺長的概念。如果沿用例1中“雙等效”的思路，則圖4中的M點就是我們所要尋找的“一個懸點”，即可以把該擺看作是以MP為擺長、gcosθ為等效重力加速度的一個單擺，設∠OPM=θ，則周期就可以通過公式T=2π 來計算了。

如果我們僅利用等效擺長的概念能否解決該題呢？答案是肯定的。

從P點作一豎直線交O1O2連線于O點，在原雙線擺擺動的過程中，PO連線上只有O點未發生移動，根據單擺懸點的特點，O點就是等效單擺的懸點，即我們所要尋找的“一個懸點”。OP的長度就是等效擺的擺長，設 =l，則周期為T=2π =2π ，這與上述用“雙等效”的思路推出的結果完全一致。

3 等效質量

一些含有彈簧的振動裝置，與彈簧相連的可能不是一個簡單的振動小球，而是有幾個物體構成的連接體。要想求得在此種情況下該裝置的振動周期，就需要把這些連接體等效轉化成一個振動小球來看待。如果連接體內的物體處在加速狀態，我們還要借助牛頓運動定律來計算振動小球的等效質量。

例3 一簡諧運動系統如圖5所示，彈簧下端固定，滑輪質量不計，繩不可伸長，彈簧及兩滑輪外的細繩都呈豎直狀態，不計一切摩擦。已知m1、m2的質量及彈簧的勁度系數k，求m2上下振動的周期T。

解析 由于題中沒有給出m1、m2的量值大小關系，故系統平衡時彈簧是伸長還是壓縮狀態我們無法確定。在不影響最終結果的前提下，我們不妨任意假設一種情況——設系統平衡時彈簧是伸長的，其伸長量為x0。則對m1有

與牛頓第二定律比照可知：式中的m1+ 可視為m1、m2組合的等效質量。將該等效質量代入彈簧振子的周期公式T=2π ，即可求得該裝置的振動周期T=2π 。

4 等效勁度系數

在光滑水平面上振動的彈簧振子受力最為簡單：所受合力就是彈簧的彈力，其大小滿足胡克定律F=kx，其中k是彈簧的勁度系數，F與x方向相反。有些振動裝置雖無彈簧，且看上去與彈簧振子模型相去甚遠，但我們仍可把它與彈簧振子模型相類比，找出振子所受回復力與位移的大小關系式F=F（x）。如果回復力與位移大小成正比，即F∝x，則我們就可以把比例系數 =k等效看作是某一彈簧的勁度系數，將k值代入T=2π 同樣可求得這些裝置的振動周期。

例4 如圖6所示，一質量為m的柱體圓木，直立于密度為ρ的液體中，浸沒部分的體積為V0，圓木橫截面的直徑為D?，F用手緩緩將圓木下按后釋放，圓木就會上下振動。水的阻力不計，已知重力加速度為g，試求這一振動的周期T。

等效法在生活中有著廣泛的應用，像曹沖稱象、阿基米德測量皇冠的體積等故事，都巧妙地利用等效的觀點解決了一些看似難以解決的問題。但是，我們在利用等效法處理問題時務必要小心謹慎、三思而后行，切記利用等效法的前提是等效。不抓住等效這一先決條件，主觀臆斷，將本不等效的東西生拉硬扯地作“等效處理”，就會得出錯誤的結果。

參考文獻：

[1]陳棟梁，陳鋼.“面擺”的等效擺長[J].物理教學，2014（12）51—52.

[2]扈劍華.首輔一號[M].北京：光明日報出版社，2004.

（欄目編輯 陳 潔）