創設數學問題情境成就學生能力提升

朱清

在現代教學指導下的數學教學活動過程，應包括教師或學生在教與學中的“知識建構過程”“實踐過程”“心理變化過程”“發現探究過程”“信息處理過程”等若干的過程，而這些過程都是以“問題”作為依托，通過對問題的形成、推證和探究來實現的.

下面通過蘇科版八年級上冊“3.2勾股定理的逆定理”實例，談談初中數學課堂“問題解決”的教學探究.

【教學過程】

（一）問題情境

師：同學們欣賞埃及金字塔一組圖片，（圖略）這是一張衛星俯拍的照片，我們發現：最大的金字塔的塔基是邊長為230多米的正方形，然而，那時并沒有直角三角板，更沒有任何的先進的測量儀器.金字塔塔基的正方形的每一個直角，古埃及人究竟是怎樣確定的？

學生小聲討論.

師：我們來看一下古埃及人的做法：

古埃及人把一根長繩打上等距離的12個結，連成環狀（如圖），拉直點B到點C之間的5段繩子，然后在點A處將繩子拉緊，則∠BAC為直角.同學們能根據此提出怎么樣的問題？

生：能否通過三角形三邊的關系確定一個三角形是直角三角形？

（二）合作探究

師：同學們拿出作圖工具，完成活動一.

活動一：做出分別以下列各組數的長度為三邊的三角形（單位：cm）.

（1）30，40，50；（2）6，8，10；（3）5，12，13.

判斷：請判斷一下上述你所畫的三角形的形狀.

思考：所畫三角形的三邊有怎樣的數量關系？

師：你對這三個三角形的形狀有什么發現？

生：都是直角三角形.

師：所畫三角形的三邊有怎樣的數量關系？

生：三角形滿足較短的兩邊的平方和等于最長邊的平方.

師：同學們是否可以大膽地猜想一下：三角形的三邊之間滿足怎樣數量關系時，此三角形是直角三角形？

生：如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.

師：如何證明猜想？同學們思考交流一下.

（由勾股定理中直角三角形的三邊之間的關系，學生自然的猜想，勾股定理的逆定理）

師：同學們通過交流討論，能否得到猜想？

活動二：“如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形”嗎？

已知：如圖，在△ABC中，a2+b2=c2.

求證：△ABC是直角三角形.

……

（三）數學認識

如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.

∵，∴.（學生自主填寫幾何語言）

思考：這個結論與勾股定理有什么關系？

生：這個結論好像跟勾股定理是一個互逆的命題.

師：同學們可以給這個結論命名嗎？

生：勾股定理的逆定理.

（揭示勾股定理和勾股定理逆定理的聯系與區別，用整體的觀點聯系和區別這兩個定理）

（四）知識運用

下列幾組數能否作為直角三角形的三邊？為什么？

（1）15，8，17；（2）7，24，25；

（3）1.5，2，2.5；（4）13，14，15.

（本題是勾股定理逆定理的簡單運用，即能否由直角三角形的三邊長度判斷一個三角形是否是直角三角形.并揭示解題規范和一般方法）

師：對于練習中的兩組數（1）15，8，17；（2）7，24，25；我們還可以這么稱之為勾股數.

師：滿足關系a2+b2=c2的3個正整數a、b、c，稱為勾股數.

練習判斷下列各組數是不是勾股數：

（1）0.3，0.4，0.5；（2）11，60，61；（3）15，36，39.

（本問題的設置既考查了勾股數的定義，而且在第（2）、（3）小問中涉及大數的運算中，可以引入一種方法，通過判斷612-602是否等于112，其中612-602可以用平方差公式進行運算，大大降低了運算的難度）

……

（五）問題解決

師：通過本課的學習，同學們能否解釋古埃及人為什么這樣做直角？

古埃及人把一根長繩打上等距離的12個結，連成環狀，拉直點B到點C之間的5段繩子，然后在點A處將繩子拉緊，則∠BAC為直角.說明理由.

生：因為這樣做的話，三角形的三邊滿足勾股定理的逆定理，所以△ABC是直角三角形，且∠BAC為直角.

師：太了不起了！我們把古埃及人做直角的問題解決了.

【教學反思】

亞里士多德說：“思維從疑問和驚奇開始”，學生有疑而提出問題，須經歷一番思考的過程才有可能.

在數學教學活動中，以問題的提出作為思維的起點，以問題的解決貫穿教學活動的全過程，這樣，學生會養成良好的數學思維，并用以指導其人生各種活動.