Ceva定理在線共點問題上的應用

焦晶晶

【摘要】本文利用向量法和坐標法證明Ceva定理，并進一步推廣，使其也適用于過三角形三頂點的三線交點在三角形外這種情況，并且予以證明，最后我們利用Ceva定理解決三線共點問題.

【關鍵詞】Ceva定理；向量法；坐標法；線共點

一、引言

線共點問題在解析幾何中是比較常見，也是比較難的一類問題，對于解決這類問題的方法有很多種，例如向量法、坐標法、解析法等等.本文介紹另外一種方法——應用Ceva定理來證明.

Ceva定理是由意大利水利工程師、數學家Giovanni Ceva提出的，并且于1678年發表在《直線論》中.Ceva定理是關于過三角形的三個頂點的三條直線位置關系的一個定理，它在證明三線共點方面有著非常重要是作用，尤其是應用在關于三角形中三條中線共點、三條高共點等問題上是非常簡單方便的.雖然在解析幾何中沒有介紹，但是我們做題或看一些資料的時候會有所接觸，因此本文就此定理和他的應用做一簡單的介紹.

我們在證明Ceva定理時需要用到下面的定理：

定理在平面上三條直li：Aix+Biy+Ci=0（i=1，2，3）共點的充要條件是A1B1C1A2B2C2A3B3C3=0.

二、Ceva定理

Ceva定理：如圖1，在△ABC的三邊AB，BC，CA上有三點P，Q，R，使得APPB=λ，BQQC=μ，CRRA=γ，則AQ，BR，CP三線共點的充要條件是λμγ=1.

這里要注意一下Ceva定理中的線段為有向.

分析Ceva定理內容是關于三線共點的，而證明三線共點方法有很多種，比如先設兩線交與一點再證第三條直線過其交點，或證三條直線都過共同的一點或利用向量法來證明等等.在這里我們利用向量法和坐標法來證，首先看向量法，我們讓AQ，BR兩條直線交于一點O1，讓AQ，CP兩條直線交于一點O2，證明O1，O2兩點重合即AO1=AO2.其次對于坐標法，我們把平面上的線共點問題轉換為在放射坐標系下的點的坐標、直線度方程的計算問題.對于這兩種方法來說，第二種方法思路簡潔，方法直觀，學生更容易掌握.下面我們就用這種兩種方法來證明.

證明方法一：

設AQ，BR交于點O1，AQ，CP交于點O2，AB=e1，AC=e2，并且由條可知λ，γ，μ都不為-1，

∵APPB=λ，BQQC=μ，CRRA=γ，

∴AP=λPB，BQ=μQC，CR=γRA，

即AP=λλ+1AB，BQ=μμ+1BC，CR=γγ+1CA.

∵AO1=nAQ=nAB+BQ=n（AB+μμ+1BC）

=n[AB+μμ+1（AC-AB）]=nμ+1AB+nμμ+1AC，BO1

=mBR=m（BC+CR）=mAC-AB+γγ+1CA

=mγ+1AC-mAB.

又∵AB=AO1+O1B，

∴AB=nμ+1AB+nμμ+1AC-mγ+1AC+mAB.

即nμ+1+m-1AB+（nμμ+1-mγ+1）AC=0.

由于AB，AC不共線，

所以nμ+1+m-1=0nμμ+1-mγ+1=0，解得n=μ+1μ+1+μrm=μ+μγμ+1+μγ，

∴AO1=1μ+1+μγAB+μμ+1+μγAC.

同理可知AO2=pμ+1AB+pμμ+1AC，

CO2=λqλ+1AB-qAC.

∵AC=AO2+O2C，

∴AC=pμ+1AB+pμμ+1AC-λqλ+1AB+qAC，

即pμ+1-λpλ+1AB+pμμ+1+q-1AC=0.

由于AB，AC不共線，

所以pμμ+1+q-1=0pμ+1-λqλ+1=0，解得q=λ+1λ+1+λμp=λ+λμλ+1+λμ，

∴AO2=λλ+1+λμAB+λμλ+1+λμAC.

若AQ，BR，CP三線交于一點時，則AO1=AO2，

即λλ+1+λμ=1μ+1+μγλμλ+1+λμ=μμ+1+μγ.

可得λμγ=1；

若當λμγ=1時，可得到AO1=AO2，則AQ，BR，CP三線交于一點因此，AQ，BR，CP線共點λμγ=1.定理得證.

方法二：建立放射坐標系{A；AB，AC}，

則A（0，0），B（1，0），C（0，1），

∵APPB=λ，BQQC=μ，CRRA=γ，

∴AP=λPB，BQ=μQC，CR=γRA，

即AP=λλ+1AB，AR=1γ+1AC，BQ=μμ+1BC，

∴AP=AB+BQ=AB+μμ+1BC=AB+μμ+1（AC-AB）=1μ+1AB+μμ+1AC，

∴Pλλ+1，0，Q1μ+1，μμ+1，R0，1γ+1，

即線段AQ，BR，CP所在直線方程分別為：μx-y=0；x+（γ+1）y-1=0；（λ+1）x+λy-λ=0.

∴μ-101γ+1-1λ+1λ-λ=-λμ（γ+1）+λ+1+λμ-λ=-λμγ+1.

由定理1可知，若AQ，BR，CP三線共點，

即μ-101γ+1-1λ+1λ-λ=0，則λμγ=1；

若λμγ=1，即μ-101γ+1-1λ+1λ-λ=0，則AQ，BR，CP三線共點.

因此，AQ，BR，CP三線共點λμγ=1.定理證畢.

三、Ceva定理的推廣

Ceva定理只是研究了O點在三角形內的任意位置，卻沒有研究O點在三角形三邊所在直線上、三角形外且不在三邊所在直線上的這兩種情況.

下面就這兩種情況，我們進行討論.

首先，我們討論交點在三角形外且不在三邊所在直線上的情況.

命題1如圖2，在△ABC外取一點O，O點不在三邊的延長線上，連接AO，BO，CO分別交對邊于D，E，F，BDDC=λ，CEEA=μ，AFFB=γ，則λμγ=1.

證明建立仿射坐標系{A；AB，AC}，

則A（0，0），B（1，0），C（0，1），

因為BDDC=λ，CEEA=μ，AFFB=γ，

所以AE=1μ+1AC，AF=γγ-1AB，

AD=AB+BD=AB+λλ-1BC=AB+λλ-1（AC-AB）=-1λ-1AB+λλ-1AC，

即D-1λ-1，λλ-1，E0，1μ+1，Fγγ-1，0，

那么，線段AD，BE，CF所在直線方程分別為：λx+y=0，x+（μ+1）y-1=0，（γ-1）x+γy-γ=0.

因為AD，BE，CF三線交于O點，由定理1可知

λ101μ+1-1γ-1γ-γ=0，即λμγ=1.

由命題1可知當交點在三角形外且不在三邊所在直線上時，三線交三邊線段的比例值之積等于1（如BDDC·CEEA·AFFB=1）是成立的.那么，對于它的逆命題是否成立呢？也就是說，在△ABC的AC上取一點E，在BA，BC的延長線上分別取點F、D，使得BDDC=λ，CEEA=μ，AFFB=γ，連接BE、CF、AD，若λμγ=1，則BE、CF、AD三線交于一點，這個命題是否正確.顯然對這個命題是正確的，它的證明過程和命題1的證明過程是相似的，它利用了定理1的充分條件得到結論，我們在這里就不再重復了.

這樣我們就得到一個定理：

定理2如圖2，在△ABC的AC上取一點E，在BA，BC的延長線上分別取點F、D，使得BDDC=λ，CEEA=μ，AFFB=γ，連接BE、CF、AD，則BE、CF、AD三線交于一點的充要條件為λμγ=1.

定理2的證明就是整合命題1和它的逆命題的證明的，在這就不詳述了.

定理2把Ceva定理進一步的推廣了，也就是說過三角形三個頂點的三線交點可以在三角形的外邊.在這里我們有一特殊情況，就是交點O與一頂點的連線平行于該頂點的對邊（如圖3）.那么我們就有下面一個定理.

定理3如圖3，在△ABC的AC上取一點E，在BA的延長線取點F，連接CF，在CF上取一點O，使得AO//BC，并且CEEA=μ，AFFB=γ，則CF、BE交于點O的充要條件為μγ=1.

證明由于AO//BC，則AFFB=AOBC，AOBC=AEEC，

所以有AFFB=AEEC，得AFFB·CEEA=1，

即μγ=1連接BO，交AC與E′，

由于AO∥BC，則AFFB=AOBC，AOBC=AE′E′C，所以有AFFB=AE′E′C，

又由于μγ=1，即CEEA·AFFB=1，則點E、點E′重合，

即CF、BE交于點O.

綜合上述，CF、BE交于點O的充要條件為μγ=1.

其次，我們討論交點在三角形三邊所在直線上的情況.

命題2如圖4，在△ABC的BC邊上任取一點O，則ACOB·COBA≠1.

證明假設ACOB·COBA=1，即COOB=BAAC，而O點是任取的，即O點在BC邊上移動，所以COOB≠BAAC，與假設矛盾，所以結論正確.

說明：（1）當交點在三角形三邊的延長線上，命題2也是正確的（如圖5）.

（2）命題2的逆命題不一定成立.

因此，由上面討論的得到的兩個命題和定理可知道，Ceva定理適用于交點在三角形內或三角形外，而對于交點在三角形三邊所在直線上的情形就不再適用了.

四、Ceva定理的應用

前面幾節，我們對Ceva定理做了一定的了解，并對它進行了推廣.在這一節中，我們就Ceva定理在線共點問題上的應用舉例說明.

例1證明三角形的三中線共點.

證明如圖6，在△ABC內AD，BE，CF為中線，

即AFFB=1，BDDC=1，CEEA=1，所以AFFB·BDDC·CEEA=1.

由Ceva定理可知AD，BE，CF三中線交于一點.

例2證明三角形三條高交于一點.

證明如圖7，在△ABC內AE，BF，CD為三角形的三條高，

由于CDAD=tgA，CDDB=tgB，AEBE=tgB，AEEC=tgC，BFCF=tgC，FBFA=tgA，

所以ADDB=tgBtgA，，BEEC=tgCtgB，CFFA=tgAtgC，

即ADDB·BEEC·CFFA=tgBtgA·tgCtgB·tgAtgC=1，

由Ceva定理可知三角形的三條高AE，BF，CD交于一點.

例3證明三角形的三條角平分線交于一點.

證明如圖8，AN，BP，CM分別為△ABC的三條角平分線，

由角平分線的性質可知AMMB=ACCB，BNNC=ABAC，CPPC=BCBA，

所以AMMB·BNNC·CPPC=ACCB·ABAC·BCBA=1，

由Ceva定理可知三角形的三條角平分線AN，BP，CM交于一點.

例4證明三角形的一個角的角平線和不相鄰的兩外交的角平分線共點.

證明如圖9，AD為△ABC中∠A的角平分線，CN，BM分別是△ABC兩外角∠MCB，∠CBN的角平分線，由角平分線定理和外角平分線定理可知ANNB=ACCB，BDDC=ABAC，MCMA=BCAB，

所以ANNB·BDDC·MCMA=ACCB·ABAC·BCAB=1，有定理2可知，AD，BM，CN三線交于一點.

通過上面幾個例題，我們了解用Ceva定理證明三線共點的問題是比較簡單方便的，我們學習了Ceva定理后，就有多了一種解決三線共點問題的方法.Ceva定理也有其局限性，它只適應用平面幾何，并且是三線分別過三角形三頂點的這種情況，對于其他情況就不能用Ceva定理了.