基于移動-多面函數的高程異常擬合方法

周長志,孫佳龍,郭淑艷

(1. 山東省國土測繪院,山東 濟南 250102； 2. 淮海工學院測繪與海洋信息學院, 江蘇 連云港 222001； 3. 海島(礁)測繪技術國家測繪地理信息局重點實驗室, 山東 青島 266590； 4. 江蘇省海洋資源開發研究院, 江蘇 連云港 222001)

基于移動-多面函數的高程異常擬合方法

周長志1,孫佳龍2,3,4,郭淑艷2

(1. 山東省國土測繪院,山東 濟南 250102； 2. 淮海工學院測繪與海洋信息學院, 江蘇 連云港 222001； 3. 海島(礁)測繪技術國家測繪地理信息局重點實驗室, 山東 青島 266590； 4. 江蘇省海洋資源開發研究院, 江蘇 連云港 222001)

將多面函數擬合法獲得局部區域的最優結果作為移動二次曲面擬合時選擇搜索半徑的依據。然后，將獲得的搜索半徑作為最優擬合距離，運用移動二次曲面法實現了高程異常擬合，即移動-多面函數擬合方法。以某區域獲取的高程異常作為實例，比較了3種方法的擬合精度。結果顯示，移動二次曲面法、多面函數和移動多面函數的中誤差分別為1.499、0.870和0.304 m，可見，移動-多面函數法比另外兩種方法的擬合精度都高。

高程異常；移動曲面擬合法；多面函數擬合法

確定高程異常的傳統方法有很多種，主要包括平面擬合法、曲面擬合法、加權均值法、多面函數法、移動曲面法等。這些方法將所有待估參數作為非隨機的變量，然后根據經典的最小二乘原理來解算最佳估值[1-3]。然而，擬合函數僅僅可看作高程異常數值的一個趨勢面，其與實際的高程異常之間不可避免地會存在差別。其中，在有復雜地質條件的高山地區，這個差異會增大。目前，國內大量的實際運用和國外學者的研究成果顯示，在地形出現起伏較陡或測區范圍很大時，似大地水準面可能會出現較為復雜的形狀[4-6]。在不同的GPS測區中，這些擬合GPS高程的模型法根據自身的特點分別適用于不同的測區中。本文根據移動曲面擬合法和多面函數曲面擬合法的特點，將移動曲面擬合法和多面函數曲面擬合法結合起來，提出了移動-多面函數法，并應用該方法進行了GPS高程擬合。

一、移動-多面函數擬合方法

移動曲面擬合法利用每一個數據點作為內插點，依據移動法利用該點四周的數據點解算其內插值，因為各個數據點沒有參加內插，因此它可以給出可靠的精度估計信息[7-8]。用多面函數擬合法進行內插求值，核函數的選取、圓滑因子的選取與函數結點的選取都是待解決的關鍵[10]。利用移動曲面擬合法高精度的優點進行多面函數擬合法中函數結點的選擇，將兩個方法結合形成移動-多面函數的高程異常擬合方法。

基于移動-多面函數的高程異常擬合方法根據多面函數擬合法獲得局部區域的最優結果，將該結果作為移動二次曲面擬合時選擇搜索半徑的依據。然后，根據選出的搜索半徑作為最優擬合距離，運用移動二次曲面法得到高程異常。

根據該方法的理論，假設已知的高程異常點個數為m，待定的點個數為s。具體計算步驟如下：

1) 采用移動二次曲面擬合方法前，計算某一個待定點A到所有已知高程異常點的距離。

2) 選取距離高程異常待定點A最近的n個已知點為多面函數核函數的結點(n為計算多面函數的最少已知點個數)，利用多面函數計算所有待定點的高程異常值。

3)n依次遞增，直至n=m。

4) 比較以多面函數的核函數作為距離指標，計算n個已知點在核函數距離范圍內的待定點的高程異常變化值Δξ及其變化值的平均值。

5) 以平均值最小時所對應的n作為A點進行移動二次曲面擬合時選取的已知點的范圍，再根據步驟1)計算的A點到各已知點的距離，確定移動二次曲面擬合時的搜索距離。

6) 依此類推，將移動二次曲面擬合和多面函數擬合結合確定所有待定點的高程異常值。

二、算例分析

本文數據為某區域D級控制網布設的17個控制點，以兩個控制點間的距離作為搜索半徑，經過計算，將6000—8000作為搜索半徑的取值范圍。在取值范圍內選取不同的搜索半徑，運用移動二次曲面法對數據進行高程異常擬合試驗，擬合的結果如圖1所示。

圖1 移動曲面法搜索半徑不同時高程異常曲線

從圖1可以看出，運用移動二次曲面法對數據進行高程異常擬合時，不同的搜索半徑下擬合所得結果與實際值相差較大，且不存在規律性。然而，搜索半徑在移動二次曲面法中是關鍵參量，因此，選取一個合適的搜索半徑是至關重要的。圖1中顯示，當搜索半徑取7000時，試驗擬合出的高程異常值很接近實際值。因此，當選取一個合適的搜索半徑時，運用移動二次曲面法可以得到精度較高的擬合結果。

在17個控制點中，按點號順序分別選取不同數量的點作為已知點。當已知點數量分別為3、4、5、6、7時，運用多面函數法對數據進行高程異常擬合試驗，擬合的結果見表1。

表1 多面函數法不同已知點數下高程異常數據表

在選取不同數量的已知點時，試驗擬合結果的變化如圖2所示。

圖2 多面函數法不同已知點數下高程異常曲線

從表2可知，運用多面函數法對數據進行高程異常擬合時，不同數量的已知點下擬合所得結果與實際值之間均存在差值，但擬合結果存在一定的規律性。當已知點數量逐漸增多時，擬合結果逐漸向實際值逼近。圖2中，更加清晰地反映了該規律，當已知點數量為7時，試驗擬合出的高程異常值最接近實際值。因此，在控制點數量范圍內，選取的已知點數量越多，運用多面函數法擬合高程異常的精度將越高。在圖2中，13號點的高程異常值在不同已知點數下均與已知值有較大差異。結合表1可分析得出，由于13號點Y坐標最小，與已知點距離相差較遠，所處地點較偏導致上述差異。因此，可以猜測已知點分布情況不同，即已知點選取方式不同可能影響多面函數法擬合高程異常的精度。

在所有控制點中，按不同方式選取n個點作為已知點。將所有數據分別按X坐標、Y坐標遞增和遞減進行排列，選取前n個點作為已知點，本文中根據上一試驗選取7個點。另外，將X坐標、Y坐標排序，選取其最大值最小值和中間值，即分布在測區4個邊和中心的點，并且選取高程異常相差最大的兩個點作為已知點，這些點均勻分布在測區中。在本文中，選取1、3、4、13、2、7、12這7個點作為均勻分布的已知點。在已知點選取方式不同的情況下，運用多面函數法對數據進行高程異常擬合試驗，對擬合結果求中誤差，最終結果見表2。在已知點選取方式不同時，試驗最終結果的變化如圖3所示。

表2 多面函數法已知點選取不同時高程異常中誤差數據

圖3 多面函數法已知點選取不同時高程異常中誤差曲線

由表2可知，已知點分布情況不同時，運用多面函數法對數據進行高程異常擬合所得到的結果精度不同，擬合結果也不存在規律性。當已知點均勻分布時，擬合結果的精度最高。圖3清晰地反映了當已知點均勻分布時，試驗擬合出的高程異常中誤差最小，精度最高。因此，運用多面函數法進行高程異常擬合時，選取均勻分布的控制點作為高程異常擬合的已知點，擬合得出的結果精度最高。

綜上，移動-多面函數法需要選取合適的搜索半徑和已知點個數，并且選取的點應該均勻分布在測區中。首先根據算法流程，利用多面函數法擬合可得到局部區域的最優結果，該結果可作為移動-多面函數法的搜索半徑。本文中，運用Matlab對該算法進行了運算，最終計算得出合適的搜索半徑為7120。其次，通過比較和分析，可以得出在該算例中，多面函數法已知點為7個時精度達到最高。因此，本文中移動-多面函數法選取7個點作為已知點。最后，關于選取測區中分布均勻的點作為已知點這一方法，由于無法用算法的形式進行表達，暫時只能人為進行選取，這一點仍需改進。本文中，通過人工選取的7個均勻分布的點作為移動-多面函數法擬合高程異常時的已知點。

在上述分析的基礎上，將17個控制點中的8—17號點作為高程異常檢核點，運用移動-多面函數法進行高程異常擬合試驗。將移動-多面函數法擬合得到的結果與上述兩種方法進行對比分析，3種方法所得高程異常數據見表3。3種不同方法下，高程異常擬合的結果變化如圖4所示。

從表3可知，3種方法擬合出的高程異常值各不相同。通過分析高程異常中誤差發現，移動二次曲面法、多面函數和移動多面函數的中誤差分別為1.499、0.870和0.304 m，可見，移動-多面函數法比另外兩種方法的擬合精度都高。圖4展示了3種方法之間的對比，可以看出，多面函數法存在較大的異常值，移動二次曲面法雖然變化趨勢與高程異常真值比較接近，但與真值之間存在較大的平均誤差，只有移動-多面函數法與真值變化趨勢基本一致。

表3 3種方法下高程異常數據

圖4 3種方法下高程異常值曲線圖

三、結 論

通過對移動二次曲面法和多面函數法不同情況下的多次試驗，充分了解兩種方法的優缺點，將兩種方法結合為移動-多面函數的高程異常擬合方法。該方法不盲目地選擇搜索半徑，不僅顧及了局部擬合效果與整體擬合效果的統一性，也顧及了多面函數的核函數與歐氏距離之間的差異性。然而，利用該方法進行擬合時，對于多面函數的核函數和平滑因子的選取并未顧及，這些問題需要進一步研究。

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Height Anomaly Fitting Method Based on Mobile-Polyhedral Function

ZHOU Changzhi,SUN Jialong,GUO Shuyan

2016-04-11

國家自然科學基金(40974016)；江蘇省海洋資源開發研究院科技開放基金(JSIMR201416)；海島(礁)測繪技術國家測繪地理信息局重點實驗室基金(2014B09)

周長志(1971—)，男，工程師，主要從事GPS數據分析和管理工作。E-mail: sdcors@163.com

周長志,孫佳龍,郭淑艷.基于移動-多面函數的高程異常擬合方法[J].測繪通報，2016(12)：25-27.

10.13474/j.cnki.11-2246.2016.0394.

P224

B

0494-0911(2016)12-0025-03