多工況耐撞性拓撲優化中的碰撞載荷以大吃小問題分析

雷正保+劉助春+廖卓

摘 要：建立多工況應力約束下耐撞性拓撲優化模型，通過對多工況拓撲優化結果與單工況拓撲優化結果進行對比，證實了進行多工況耐撞性拓撲優化時，若工況間碰撞載荷相差較大，則拓撲構型基本由碰撞載荷較大的工況決定，碰撞載荷較小的工況對應的傳力路徑被刪除，出現碰撞載荷以大吃小現象，最終拓撲結果不是一個各工況傳力路徑的最優組合。然后基于二分法求解原理，依次改變工況間碰撞載荷比值，尋找到多工況耐撞性拓撲優化中以大吃小現象的碰撞載荷比值臨界點。

關鍵詞：多工況；耐撞性拓撲優化；碰撞載荷；以大吃小

中圖分類號：U461.91文獻標文獻標識碼：A文獻標DOI：10.3969/j.issn.2095-1469.2016.05.05

結構優化通常分為尺寸優化、形狀優化與拓撲優化，其中拓撲優化可以在滿足給定約束的條件下獲得一個最佳的材料分布形式，在結構設計領域非常重要[1-2]。傳統的拓撲優化方法是基于靈敏度進行分析，能夠很好地解決線性靜態問題，但并不適用于碰撞類的動態問題，這是因為在碰撞類的動態問題中，幾何形狀、網格以及載荷與邊界條件的瞬時性之間的復雜交互作用會讓靈敏度的計算變得極為困難[3-5]。對于動態拓撲優化，國內外學者都進行了一些研究。國外學者Inou等率先將元胞自動機（Cellular Automaton，CA）模型引入到拓撲優化中，改進了傳統拓撲優化方法[6]。Patel等結合Inou等的研究，再加入固體各向同性材料懲罰（Solid Isotropic Microstructures with Penalization，SIMP）模型（一種常用的密度-剛度插值模型），提出一種以獲得結構統一內能密度為目標的耐撞性拓撲優化方法——混合元胞自動機（Hybrid Cellular Automata，HCA）法[7]。Marklund等運用耐撞性拓撲優化方法針對側撞工況對車輛B柱進行了耐撞性優化設計[8]。國內學者對于耐撞性拓撲優化也進行了一些研究，但是研究的廣度與深度相對滯后。雷正保等基于耐撞性拓撲優方法對某車輛頭部進行了100%全寬碰撞拓撲優化[9]。高云凱等對保險杠橫梁進行了基于HCA的耐撞性拓撲優化[10]。

以上研究主要是對單個零部件進行單工況耐撞性拓撲優化，缺乏針對多工況耐撞性拓撲優化的研究。在多工況拓撲優化中，若各工況荷載數值相差很大，各工況下單元拓撲值也會相差懸殊，小荷載對應的單元拓撲值小于大荷載對應的單元拓撲值而被刪除，出現小荷載沒有傳遞到支座單元的現象，這一現象在傳統靜態拓撲優化中被稱為“荷載病態”，國內外很多學者對這個問題進行了研究并提出了一些解決方法[11-12]。這個問題在耐撞性拓撲優化中同樣存在，但目前尚無人對多工況耐撞性拓撲優化中的碰撞載荷以大吃小問題進行研究。在多工況耐撞性拓撲優化中，若工況間碰撞載荷相差較大，則碰撞載荷較大的工況對應的關鍵承力部件的材料會堆積過多，而碰撞載荷較小的工況對應的關鍵承力部件的材料則會被刪減過多，甚至完全刪除，最終構型幾乎完全由碰撞載荷大的工況決定。然而每個工況的力都對應一個最佳的傳力路徑，多工況耐撞性拓撲結果應該是各工況對應傳力路徑的一個最優組合，而不是某一個工況的傳力路徑。為了得到最佳的多工況耐撞性拓撲優化結果，意識到碰撞載荷以大吃小問題的存在并找到出現以大吃小現象的工況間碰撞載荷比值臨界點十分必要。

本文通過對同一耐撞性拓撲優化模型的多工況與單工況拓撲優化結果進行對比，證實了當工況間碰撞載荷相差較大時，多工況耐撞性拓撲結果完全由碰撞載荷較大的工況決定，而非各工況傳力路徑的一個最優組合，出現明顯的碰撞載荷以大吃小現象，并基于二分法求解原理，依次改變工況間碰撞載荷比值，最終找到出現以大吃小現象的碰撞載荷比值臨界點。由此可知碰撞載荷比值相差大于何值的工況不能直接進行并行拓撲優化，亦為合理消除各工況碰撞載荷數值差距，得到最佳的多工況耐撞性拓撲結構提供了參考。

1 耐撞性拓撲優化

本文采用的耐撞性拓撲優化方法為結合變密度法和非線性條件下的密度插值模型的HCA法。HCA利用CA單元來建立模型，通過有限元仿真方法來獲得模型信號，不需要計算靈敏度，能顯著提高運算效率，降低收斂時間。CA元胞單元的信息只被該單元和鄰近單元的狀態所決定，其利用相鄰的單元信息來實現自身信息的更新重組，這種單元的離散特性使其在拓撲優化過程中不需要再處理梯度信息，能夠很好地處理動態載荷的拓撲優化問題。

1.1 材料參數化

通過使密度法參數化，建立材料模型。該方法將設計變量直接鏈接到單個材料單元，每個變量都有自己的材料模型。材料性質則是通過插值模型來獲得，該模型按照冪次法則驅動中間材料特性向邊界移動，從而獲得構型。根據SIMP模型[13-14]，材料屬性可被定義為：

式中：為材料密度；E為彈性模量；為屈服應力；Eh為機械硬化模量；x為設計變量，在0～1之間變化，其中0表示空的，1表示滿材料。

1.2 設計目標和約束

拓撲優化的目的是為了獲得最優的材料分布形式。對于碰撞類的動態拓撲優化問題，往往要求結構在吸收最大能量的同時保持結構的穩定性與傳遞最大載荷的穩定性，故以統一內能密度為動態拓撲優化的目標，則該優化問題可被表述為：

式中：U為第i個單元的內能密度；Vi為第i個單元的體積；U *為目標內能密度；Ck為k單元的約束；L為工況個數；K為約束個數；l與u分別為約束的上、下限；N為單元數量，xi為單元代號；為密度；M為目標質量。

1.3 內能密度的獲取

仿真模型的單元在每次迭代中的刪減、增加是通過改變其對應的材料模型來完成的，第i個單元在第t個迭代的內能密度數值是本次迭代內能密度與前3個迭代的內能密度的加權和：

。

1.4 收斂規則

當總質量滿足約束后，變量在此次迭代中的總變化就會被計算出來，并且將不再更新，如果不滿足，則繼續循環迭代直至滿足質量約束。

。

當質量的改變量小于設定的公比值，迭代停止。

。

式中：為質量收斂誤差因子，文中為0.001。

2 多工況耐撞性拓撲優化分析

對同一耐撞性拓撲優化模型的多工況與單工況拓撲優化結果進行對比分析，證實了當工況間碰撞載荷相差較大時，多工況耐撞性拓撲構型完全由碰撞載荷較大的工況決定，而非所有工況對應的最佳傳力路徑的最優組合。

2.1 多工況耐撞性拓撲優化

建立多工況耐撞性拓撲優化模型，如圖1所示，約束橫梁的兩端，以整根橫梁為初始優化區域，進行多工況耐撞性拓撲優化。工況1為中間立柱以一定的速度垂直撞向橫梁，工況2為兩端兩根立柱以一定的速度垂直撞向橫梁，工況1的碰撞載荷為工況2碰撞載荷的100倍，優化區域目標質量分數為0.2。

經過43個迭代后，構型收斂，拓撲優化結果如圖2所示。

2.2 單工況耐撞性拓撲優化

建立單工況耐撞性拓撲優化模型，工況設置與多工況耐撞性拓撲優化中工況1一樣，如圖3所示。

經過40個迭代后，構型收斂如圖4所示。

對比圖2與圖4可知，當工況間碰撞載荷相差100倍時，多工況與單工況收斂構型的承力布局及孔洞關系基本一樣。說明當工況間碰撞載荷相差100倍時，多工況拓撲優化結果完全由碰撞載荷較大的中間工況決定，碰撞載荷較小的工況對應的傳力路徑完全被刪除。證實了進行多工況耐撞性拓撲優化時，若工況間碰撞載荷相差太大會出現碰撞載荷以大吃小的現象。

3 尋求出現以大吃小的碰撞載荷比值臨界點

上個章節通過對同一模型多工況與單工況拓撲構型的對比，證實了在多工況耐撞性拓撲優化中，當工況間碰撞載荷相差太大時碰撞載荷以大吃小現象的存在，但是到底工況間碰撞載荷相差多大時開始出現以大吃小現象，目前還沒有學者對此進行過研究，而這對于耐撞性拓撲優化研究極為重要。找到出現以大吃小現象的各工況間碰撞載荷比值臨界點，則能知曉碰撞載荷比值相差多大以上的工況不能直接同時進行拓撲優化，亦能為合理消除各工況碰撞載荷數值差距，得到最佳的多工況耐撞性拓撲結構提供參考及指導作用。由前文可知，當碰撞載荷相差100倍時會出現工況間以大吃小現象，由此可初步判斷出現以大吃小現象的工況間碰撞載荷比值臨界點在0～100之間，再運用二分法不斷縮小求解區間，找到碰撞載荷比值臨界點。

3.1 二分法求解原理

利用二分法求解首先要找到一個包含方程f（x）0的根的區間[a0， b0]，然后將[a0， b0]平分，令中點m0（a0+b0）/2，則[a0， m0]與[m0， b0]中必有一個區間，使f（x）在其兩端異號，將該區間記為[a1， b1]，再將[a1， b1]平分。重復上述過程，可得到一個長度依次減半的區間序列，{[ak， bk]}，當k適當大時，使bk-ak<ε，其中ε大于0，此時可將mk（ak+bk）/2作為根的近似解。

3.2 二分法查找臨界點

將工況間碰撞載荷的比值作為函數變量x，以是否出現碰撞載荷以大吃小現象為函數值f（x），若出現以大吃小現象則f（x）>0，若未出現則f（x）<0。由前文可知，當工況間碰撞載荷相差100倍時會出現以大吃小現象，所以在本文中，f（x）0的根的初始區間可定為[0，100]，記為[a0， b0]，將[0， 100]平分，令中點m050，即工況間碰撞載荷比值變為50倍，重新進行對比試驗。當工況間碰撞載荷相差50倍時，多工況與單工況的收斂構型對比情況與100倍時一樣，兩種構型承力布局及孔洞關系還是基本一樣，出現以大吃小現象，即f（50）>0，此時f（x）在[0， 50]兩端異號，根在區間[0， 50]內，將該區間記為[a1， b1]，將[0， 50]平分，令中點m125，再次調整工況間碰撞載荷比值為25，多工況與單工況收斂構型對比如圖5所示。

由圖5可知，碰撞載荷相差25倍時，多工況與單工況收斂構型的承力布局及孔洞關系有明顯的區別，此時碰撞載荷較小的工況對應傳遞力的承力單元得以保留，所得構型為各工況對應傳力路徑的組合，未出現以大吃小現象，即f（25）<0。此時f（x）在[25， 50]兩端異號，臨界點在區間[25， 50]內，將該區間記為[a2， b2]，將[25， 50]平分。按圖6所示的流程重復上述過程，文中取1。

經過7次循環，求解區間縮減為[40.625， 41.407]，此時b-a<1，取區間中點41.015為根的近似解，即多工況耐撞性拓撲優化中出現以大吃小現象的碰撞載荷比值臨界點。通過該對比試驗可知，進行多工況耐撞性拓撲優化時，當工況間碰撞載荷比值大于41倍時，開始出現明顯的工況間以大吃小的現象。

4 結論

本文通過對同一模型的多工況拓撲結果與單工況拓撲結果進行對比分析，證實了在多工況耐撞性拓撲優化中，若工況間碰撞載荷相差較大，則會出現碰撞載荷以大吃小現象，所得拓撲構型不是滿足所有工況的最優構型。然后基于二分法求解原理，查找到多工況耐撞性拓撲優化中以大吃小現象的各工況間碰撞載荷比值臨界點，由此可知碰撞載荷比值大于何值的工況不能直接并行拓撲優化。該結果亦對合理消除各工況碰撞載荷數值差距，得到最佳的多工況耐撞性拓撲結構具有指導作用。