整體教學：兒童數學教學的智性建構

張衛娥

摘 要：“整體教學”立足于數學知識的有機整體和學生數學素養的整體提升，用一種結構性觀點、聯通性思維考量兒童、數學與兒童數學教學。在兒童數學“整體教學”中，可以對知識本體進行整合，對知識結構進行類化，對數學思想進行敞亮。由此凸顯知識的本質內涵，讓學生獲得對數學的整體感悟，進而優化教學的整體效度。

關鍵詞：整體教學；整體思維；智性建構

數學本體性知識是有機的結構性統一體。但是由于數學教材文本表達的局限性，許多數學知識之間的關系被隱藏、懸置、遮蔽起來了。由此導致學生的數學認知被肢解、思維被固化、創造被弱化?！罢w教學”從數學知識的有機整體和學生生命生長的全視野出發，把握數學知識的整體格局，努力彰顯、弘揚數學、兒童與兒童數學教學的整體特質。

一、“整體教學”的內涵及其維度

“整體教學”理論認為，“知識體系”的整體大于“知識體系”的各部分之和。在數學教學中，所謂的“整體教學”就是要用數學的“高觀點”、學習的“長任務”、教學的“大問題”來將數學知識中的相同或相似乃至相對、相反的意義模塊進行統整、優化、組合，使得數學知識成為更具生長力的結構體。

1. 數學：結果與過程的辯證統一

兒童數學知識是“過程與結果”辯證統一的耦合體。它既表現為特定的思考、認知對象，又是具體的操作、推理過程。教學中，必須從相互關聯的視角去把握“結果與過程”，謹防“結果”對“過程”的僭越。例如教學“通分和約分”（蘇教版小數教材五年級下冊），立足于整體教學的視角，引導學生圍繞“為什么要學習通分、約分？”（為后續學習分數加減法和分數乘除法奠基）、“怎樣進行通分和約分？”（運用最小公倍數和最大公約數）、“通分和約分的依據是什么？”（分數的基本性質）三個維度進行探究討論。教學中，學生對“約分和通分”知識的前后姻緣、來龍去脈有了回溯和展望，對約分和通分的產生過程和操作形式有了完整的把握。這里，知識不再是支離破碎的灌輸，而是一種整體習得。

2. 學生：認知建構的螺旋上升

學生的數學認知建構是一個矛盾發展、螺旋上升的過程，需要經歷“不平衡——平衡——不平衡”的過程，這是一個伴隨著不斷“建構——解構——重構”的學習心理過程。教學中，教師要洞悉兒童的學習心理，努力讓看似無序的學習“有序化”。例如“認識小數”的內容在小學是分階段分散進行教學的，其中三年級的“認識小數”的主要內容是“一位小數”的認識，教學時可以密切聯系學生的生活實際，如人民幣單位、長度單位的進率等。教學中，要豐富學生的感性積累，通過讓學生對長方形紙、米尺的認識，以及將米尺抽象成“數線圖”（數軸）進行平均分的操作，引導學生建立數學意義上的“整體”概念，進而溝通分數與小數的關聯，實現學生思維方式的轉變。

3. 學習：從封閉走向開放

當下兒童的數學學習呈現出一種封閉狀態，學生的學習被禁錮于課堂，課前缺少自主預習，課后缺少繼續研究、探究的興趣?！罢w教學”吁求給學生呈現一個開放的學習平臺，在這種開放的學習場域中，學生數學學習的潛能能夠得到最佳的發掘和弘揚。以《圓的周長》（蘇教版小數教材五年級下冊）學習為例，學生在課前通過預習能夠在課堂上自主進行數學實驗，產生了“滾圓法”“繞圓法”等圓的周長測量方法。課堂上，筆者通過一個重物繞一個定點旋轉而產生的“軌跡圓”激發學生的認知沖突，學生自然產生出探究圓的直徑、半徑與圓周長關系的內心驅動。然后筆者用多媒體課件出示一個圓，在圓的外面添上外切正方形和內接正六邊形，讓學生形成猜想：圓的周長是直徑的3倍多一些、4倍少一些，隨后讓學生展開數學實驗，通過數據得出“周三徑一”的結論。課后，筆者讓學生通過閱讀，了解了“割圓術”“圓周率”“約率”“密率”等關于圓的一系列數學史知識，開放的學習開闊了學生的數學視界。

二、整體教學：基于兒童數學“整體素養”生成的實踐建構

“整體教學”由于將數學知識上下貫通、左右相連，因而能夠讓學生感受、體驗到數學知識的“整體之美”“邏輯之美”。學生在數學“整體教學”中將數學知識連成線、形成片、織成網，導致學生數學化能力顯著提升。同時，數學知識本身也因為“整體教學”而更具有了匹配性、融合性、指向性。

1. 重組知識：追求學習的整體感悟

“只見樹木不見森林”的單一式教學無法讓學生獲得結構化、系統化的知識。在數學“整體教學”中，教師要克服那種零打碎敲、支離破碎的散點教學狀態，自覺對數學知識進行有機整合，可以是單元內的知識整合，也可以是單元間的知識整合。例如六年級《分數乘法》《分數除法》《樹葉中的比》三個單元是聯系緊密的三個單元，教材的安排卻將綜合實踐活動《樹葉中的比》的教學置后。教學時筆者瞻前顧后、左顧右盼，首先將《解決問題的策略》單元果斷置后，同時將《樹葉中的比》提前；其次在進行分數乘法和分數除法教學時，不僅將“求一個數的幾分之幾是多少”和“已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數”利用方程解法進行統一，更將“分數的意義”貫穿其中，讓學生始終抓住分數中分母和分子的意義，每一個分數是對哪個數量進行平均分的，哪個數量獲得多少份或者相當于多少份。如此，溝通知識間的有機關聯，讓學生對分數應用題中每個數量的份數有著清晰的認知，獲得對數學知識的整體透視與感悟。

2. 類化結構：凸顯知識的本質內涵

在兒童數學教學中，教師要從數學本體性知識和兒童的學情以及數學的整體課程視域出發，秉持“高觀點”，將教學聚焦于“核心知識”。教學《百分數的認識》中的“百分數單位”，筆者從“數的單位”的整體視域出發，引導學生復習自然數的計數單位、小數的計數單位、分數單位等，將百分數的計數單位“1%”自然融入學生的已有知識結構中。由此，學生對“數的單位”“有幾個這樣的計數單位”等知識有了本質的認識。又如，教學《分數的加減法》，筆者將其與“小數的加減法”“整數的加減法”等數的運算法則進行比對，凸顯“唯有計數單位相同才能直接相加減”這一蘊含數學本質的核心知識。不僅如此，在對計算法則的統一理解中，孩子們又深刻地理解了“計數單位”的內涵。這種數學內部的對知識“無邊界”的拓展與深化，開闊了兒童的數學視界，通過集約整合有效地放大了“知識點”的輻射。對數學知識進行整體集約，要求數學教師要善于對數學知識進行歸類分析，將相同或相似的數學知識的關鍵節點展示、整合、透析出來。

3. 敞亮思想：優化教學的整體效度

數學的思想與方法是貫穿數學知識之間內隱的綿綿紅線，不同數學知識的問題解決往往蘊含著相同的數學思想。因此，數學思想是數學知識的靈魂，具有較強的凝聚力，它能有效地統攝知識，對數學問題解決具有綱舉目張的作用?！罢w教學”要求教師在教學中要自覺顯化數學思想，讓數學思想能夠為數學問題解決提供好的猜想、好的思路、好的問題解決方案。例如，數學的“轉化”思想可以說孕育在許多數學知識的形成過程之中，教學時筆者有意識地將其顯化。教學《梯形的面積》（蘇教版小數教材四年級下冊），在學生具備將平行四邊形面積轉化成長方形面積、三角形面積轉化成平行四邊形面積的數學基本活動經驗之后，筆者啟發學生主動運用轉化的策略。于是有學生將梯形旋轉、平移、拼接，轉化成平行四邊形，有學生將梯形沿著對角線分割成兩個三角形，并且主動尋找梯形的上下底、高與平行四邊形、三角形的底和高之間的關系。在學生掌握了梯形面積計算方法后，筆者將小學階段“直線圖形”的面積推導用“箭頭圖”進行整合，學生清晰地看到，在“直線圖形”中，長方形的面積是基礎，平行四邊形的面積推導建基于長方形，而三角形、梯形的面積建基于平行四邊形。如此，圖形面積之間的層次脈絡、內在邏輯被清晰地展現出來，其推導的思想方法——“轉化”得以凸顯。不難看出，正是因為敞亮了數學的“轉化”思想，圖形面積教學的整體效度才得以優化。

“整體教學”從皮亞杰、布魯納和奧蘇伯爾等教育心理學家的“學科知識結構”思想、理論出發，通過對數學知識的重組、數學結構的類化和數學思想的敞亮，讓學生主動遷移、積極建構。學生獲得的知識不再是無意義的碎片，而是一個蘊含生活意義和生活圖景的有機體。由此，“整體教學”革新了學生的認知方式、思維方式乃至行動方式。