數學思想與教育

趙雁

【摘 要】本文從數學哲學、數學知識系統結構、數學方法論和數學發展歷史分析的角度對數學思想進行了思考，提出了以基元與整體、轉化與整合、擴張與因襲作為數學思想的基本構成要素。并在此基礎上，探討了數學思想與數學教育的本質聯系?；c整體 轉化與整合 轉化與整合 數學思想與數學活動

【關鍵詞】基元與整體；轉化與整合；擴張與繼承；數學思想與數學活動

數學是一種人類活動，這種活動的外在形式是人類按照自身的需要逐步建立起來的一個知識系統。因此，它凝聚了人類的智慧，蘊涵了人類豐富而深刻的思想，體現著主體的信念、意向、目的、行為準則和思維方式，充分反映了人與自然和諧關系之中人的主體性特點。

數學研究常常表現為數學家們的個體行為，但又不可避免地要受到社會環境的制約和影響。數學家們的研究和討論必須使用“數學共同體”一致接受的語言（概念、符號體系等），運用“數學共同體”公認的方法，得出的定理或結論必須為“數學共同體”接受和認同。因而，數學研究又反映出社會性特點。

數學研究的社會性特點隱含了規范性成分，如核心思想、框架、合理性標準、準則、組織形式及推理方式等，這成為一種數學傳統和精神，為人們所共有，數學更多地關注普遍性、系統性、基礎性、不變性、程序性和滲透性。而數學化則是指數學地組織現實世界的過程和方式，即抽象化、符號化、模式化、形式化和系統化，這是數學思想的基本原則。數學要求概念具有單純性，論證具有確定性，分類具有徹底性和完備性，而拒絕非規律性的概括和反對未經驗證的類比。當我們論及數學思想的時候，不可以對此毫不論及。在學習數學時，它們客觀上成為一種背景或預設，制約并規范著我們的活動，人們對此交流無礙，這正反映了數學的文化特性。

一、基元與整體

“元”指某種獨立存在物，“基元”即指基本的獨立存在物，基元是構成整體的要素，也是認識整體的基礎，基元與整體有一種特殊的共生關系，是一組相輔相成的概念.

系統或結構中，主要有兩種類型的基元，一種是決定系統或結構本質屬性的初始基元或單位基元，另一種是決定系統或結構組織特征的構造基元。例如“1”是自然數的初始基元，“后繼的規則”是自然數的構造基元，由“1”及“后繼的規則”構造出全體自然數；三角形是多邊形的初始基元，多邊形的三角剖分是多邊形的構造基元；基本初等函數是初等函數的初始基元，基本初等函數的代數運算與復合運算是初等函數的構造基元；初始條件是遞推數列的初始基元，遞推關系則是它的構造基元等等，初始基元具有根基性、歸納性、特殊性和具體性，構造基元具有發展性、演繹性、一般性和抽象性，兩種類型的基元構成數學系統或結構的基本研究范式，體現出數學知識系統的結構性特點。

系統或結構的層次帶來了基元與整體的層次性或相對性.一個系統或結構對其自身的基元來說是整體，同時，它又可以是更高層次系統或結構的基元。這實際上決定了數學抽象的本質，由此，產生了數學抽象度分析理論。

基元與整體思想運用于數學教育，則是要求重視知識的組織方式或結構方式，即強調對數學知識系統的內在結構規律的認識，布魯納早在60年代就曾指出，學習任何學科，主要是要使學生掌握這一學科的基本結構，同時也要掌握研究這一學科的基本態度和方法?；c整體思想使這一觀點得到發展和完善。有助于廣大教師對數學知識系統結構特點的把握，更深刻地感受到數學對象之間、數學與大自然之間的和諧聯系，更加明確了具體教學內容在整個數學知識系統中的地位與作用，有利于合理地進行數學教學設計。

二、轉化與整合

轉化與整合是主體的一種認識方式與活動方式。轉化實際上是“語言轉換”，通過這種“轉換”，客體被放置在一個信息相對主體更加豐富的背景之中，從而得到對客體的“解釋”。在這一過程中“語言轉換”將客體與主體的意識世界聯系起來，主體得到對客體“解釋”的同時，主體的“信息”得到擴展，這即為整合，整合是一個綜合集成的過程，在整體上認識與把握知識的內在結構和規律，轉化是整合的基礎，而整合則更內在、更深刻。

數學家們“往往不是對問題實行正面的攻擊，而是將它不斷地變形，直至把它轉化成能夠得到解決的問題.”從認識論的角度看，數學家們利用轉化解決一個又一個問題的過程，也就是人類知識的視野不斷得到擴展的過程，轉化與整合成為認識發展的主要形式。

變換一求解一反演方法是數學家運用的最有效方法之一].這個方法的思想實質在于：為了解決一個困難的問題，首先：通過某種簡化程序把它變換為一個比較容易的等價問題，然后求解這個比較容易的問題，最后反演簡化程序，從而得到原問題的解，這正是對轉化與整合的程序性描述，而近代數學則更將這種思想發展到了極致.

轉化與整合思想體現在數學教育上，就是強調數學的聯系。聯系的觀點是轉化與整合的關鍵，由此，我們也可以把轉化與整合看成是聯系的兩個側面，.實際上，聯系的觀點已經成為數學教育的基本原則。

三、擴張與繼承

數學教師們領著學生走一條康莊大道：由整數走向分數，由正數走向負數.由有理數走向無理數，由實數走向虛數.這是在擴張數系，同時又希望整數的性質分數也有，正數的性質負數也有，有理數的性質無理數也有，實數的性質虛數也有，這是在擴張數性。

從數學發展的歷史來看，數系的每一次擴張都有一個艱難的歷程，負數的引入，無理數的發現以及虛數的使用，并不像現在人們看到的那樣順理成章，每一次認識的進步都是經歷了發展與繼承的矛盾斗爭之后才取得的，發展是必然，而繼承則是發展的基礎，只有不斷協調發展與繼承的關系，才能不斷地進步。數系的每一次擴張都有它的必然性，每一次擴張都繼承了擴張前數系的某些性質，擴張與繼承過程就是人類認識發展的過程，研究這一過程，從中可以得到許多有益的啟示。

作為認識發展的一般規律，擴張與繼承有其普遍地起著作用。除了數系發展的例子，數學發展史上的許多重大轉折無不反映出這種規律的作用，從“算術”到“代數”，從有限到無限，數學就是在擴張與繼承的矛盾斗爭當中得到發展。擴張是發展的基礎，而繼承則使這種發展有了理性的方向。在科學理論的更迭中，擴張打開了人們認識的視野，而繼承則反映了認識的連續性和傳承性。擴張有其必然的背景，而繼承則要遵循規律性、和諧原則。

四、數學思想與數學活動

數學作為一種人類活動，必然要受到人們的思想意識、思想觀念的影響。呈現在人們面前的數學，并不是一堆孤立的事實，而是一個井然有序的知識系統，數學知識系統的存在方式，反映出人們的認識活動方式和思維方式。知識的系統性，顯現出基元與整體的內在聯系與規律。我們的認識是從特殊到一般的過程，而知識的組織方式則是從一般到特殊地展開，從認識的過程看，它們的共同特征正是不斷地“基元化”、“一般化”、“系統化”的過程。

數學知識系統的對象呈現出基元與整體之間的內在聯系，基元化與整體化是通過轉化得以實現的。其次就是轉化與整合的過程。擴張與繼承是另一個重要方面。三者有機結合，規劃出數學思想的整體輪廓。進而推動數學思想教育的健康發展。

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