基于壓縮感知算法的圖像壓縮保密方法

宮麗美，張 旻，王方超

(1.解放軍電子工程學院，安徽 合肥 230037; 2.安徽省電子制約技術重點實驗室，安徽 合肥 230037)

基于壓縮感知算法的圖像壓縮保密方法

宮麗美1,2，張 旻1,2，王方超1,2

(1.解放軍電子工程學院，安徽 合肥 230037; 2.安徽省電子制約技術重點實驗室，安徽 合肥 230037)

針對目前加密方法經壓縮后對圖像進行加密處理，存在處理效率低、安全性低、算法復雜度高等缺點，提出基于壓縮感知算法的圖像壓縮保密方法。該方法首先對圖像進行分塊，并分析了分塊后的像素置亂加密效果，其次構造了壓縮感知觀測過程的加密模型，并論證了該模型具有計算保密性，最后通過圖像分塊的保密性分析和觀測矩陣的保密性分析，證實壓縮感知算法在壓縮時也具有良好加密效果。實驗結果表明，該方法魯棒性強，易于實現，具有一定的工程應用價值。

壓縮感知；圖像加密；分塊處理；觀測矩陣

0 引言

隨著衛星、無人機等升空平臺的大量涌現，如今獲取圖像信息的能力有了極大提高，尤其在軍事領域， 圖像偵察發揮著越來越重要的作用[1]。但因圖像數據量巨大，為減少存儲空間、提高傳輸效率，需對傳輸圖像進行壓縮處理。壓縮感知理論(Compressive Sensing, CS)突破了傳統的奈奎斯特采樣定理的限制，只需少量觀測數據，即可高精度重構原始信號，大大降低了對采樣編碼端硬件的要求，在圖像壓縮領域表現出巨大的研究價值。但由于所獲圖像在回傳中易被截獲、篡改。因此，對原圖像壓縮的同時，采取一定方式對圖像進行加密處理也很有必要。

目前，有學者提出基于圖像像素的置亂算法[2]、基于混沌的圖像加密技術[3-4]等加密方法對圖像進行加密處理，但存在保密性不強等缺點；也有學者將壓縮感知算法和傳統的圖像加密方法結合起來，形成新的圖像加密方法，如文獻[5]等提出了一種基于壓縮感知的光學數字圖像加密方案,借助雙隨機相位編碼技術,實現了對數字圖像的多重加密，但存在處理效率低、魯棒性不強等缺點；文獻[6]提出基于壓縮感知和變參數控制混沌映射的圖像加密算法，將CS理論運用到數字圖像加密中，通過采用混沌控制變參數混沌序列來產生測量矩陣，增大了密鑰空間，提高了加密系統安全性，但算法復雜度較高。本文針對上述問題，提出了基于壓縮感知算法的圖像保密方法。

1 壓縮感知基本理論

壓縮感知理論于2006年由Candès和Donoho正式提出[7-8]。壓縮感知的核心思想是用一個與變換基不相關的觀測矩陣將變換所得的高維信號，投影到一個低維空間上，然后從這些少量的投影中以高概率重構出原始信號，其理論框圖如圖1所示。

假設x=[x(1),x(2),…,x(N)]T，用一組標準正交基的線性組合可將其表示為：

(1)

式(1)中，ψ為基矩陣，ψ=[ψ1,ψ2,…,ψN],ψi為列向量，S為N×1維的列向量，是x在ψ的稀疏表示系數。如果S中只有K個非零(或絕對值較大)的系數，其余N-K個系數都為0(或絕對值很小)，則稱x具有稀疏性。

壓縮感知的觀測過程即利用觀測矩陣Φ∈RM×N對具有稀疏性的信號x進行線性測量，得到觀測值y的過程[9]，如式(2)所示，

y=Φx=ΦΨS=ΘS

(2)

式(2)中，Θ=ΦΨ是一個大小為M×N的矩陣。

壓縮感知的信號重構過程是一個求解線性方程的問題[10]，式(2)未知數的個數遠大于方程的個數，是一個不定方程，有無窮多解。但由于系數S是稀疏的，可以通過求解最小l0范數來重構信號，如果觀測矩陣Φ和稀疏變換矩陣Ψ滿足約束等距性(Restricted Isometry Property, RIP)條件，即若對于所有的x∈∑k，存在一個δk∈(0,1)，使得：

(3)

式(3)中，x是一個k階稀疏信號，δk稱為RIP常數，此時稱矩陣A∈RM×N滿足k階RIP條件。

可通過求解式(4)來精確重構信號。

(4)

式(4)中，‖?‖0為向量的l0范數，代表向量x中非零元素的個數。

2 圖像壓縮保密方法

2.1 圖像分塊

2.1.1 圖像分塊處理方法

由于無人機圖像維度較高，為了降低測量矩陣的存儲空間和解碼重構的復雜度，利用基于壓縮感知的圖像壓縮壓縮算法處理圖像時，首先對圖像進行分塊處理。

將大小為M×N的圖像分成n個大小為B×B的小圖像塊，并將每一個圖像塊轉換成列向量的形式進行表示，記xi(i=1,2,…,n)是第i塊的列向量表示，則相應的觀測值yi，可以表示成

yi=ΦBxi

(5)

式中，ΦB是一個大小為m×B2(0

(6)

2.1.2 像素置亂加密效果

圖像分塊的大小決定了觀測矩陣的維度，同時會影響重構速度和重構質量，因此在對圖像進行分塊處理時會結合圖像本身的大小和實際需求選擇圖像分塊大小，圖像分塊大小具有不確定性。

分塊處理獲得的圖像小塊需轉換成向量的形式進行測量，該步驟會打亂圖像原有的像素排列，實現像素置亂(像素置亂是一種重要的傳統圖像加密手段)。分塊大小的不同，會導致像素排列的完全不同，在分塊大小未知的情況下，即使獲得圖像全部的像素信息，也很難正確排列組合，恢復出原圖像。但由于分塊的情況相對有限，在其它條件均已知的情況下可以通過窮舉法獲得圖像分塊信息。因而圖像分塊處理具有一定的保密性。

為了進一步說明圖像分塊處理對保密性的影響，本文對圖像分塊過程進行演示，如圖2所示。圖2(a)為4×4的圖像示意圖，每一個小方框代表一個像素，小方框內的數值標記不同像素的位置。圖2(b)為2×2大小的圖像分塊示意圖，圖2(c)為分塊后的小塊圖像轉換成列向量的示意圖。

根據圖2(a)可得原始圖像矩陣X如式(7)所示，矩陣中的元素代表的是原始圖像中像素的位置；采用2×2的分塊獲得的待觀測矩陣X1如式(8)所示，采用3×3的分塊獲得的待觀測矩陣X2如式(9)所示。

(7)

(8)

(9)

經過對X,X1,X2中元素進行觀察，可以看到X1,X2與X的像素排列完全不同，這就是圖像分塊達到的像素置亂效果，也驗證了分塊處理具有一定的保密性。

2.2 觀測矩陣

2.2.1 觀測過程加密模型的構造

利用文獻[11]的對稱加密算法構造了壓縮感知觀測過程的加密模型，具體構造過程如下：

待加密明文：待觀測信號x∈X(X為明文文本);

加密函數：y=ΦKx；

加密后所得的密文：y∈Y(Y為密文文本)。

解密過程：由y求解x的過程。

以上即為壓縮感知觀測過程的加密模型，下面將進行觀測過程加密模型的保密性證明。

2.2.2 保密性證明

為了證明該模型的加密性能，在此之前，先說明下加密算法的加密過程和解密過程，分別如式(10)和式(11)所示。

eK:p→c

(10)

dK:c→p

(11)

p為待加密內容稱之為明文，且p∈P(P為明文文本)，c為加密后獲得的密文，且c∈C(C為密文文本)，K為加密密鑰，e和d分別為加密函數和解密函數。下面將引入完全保密性和計算保密性的概念。

定義1：完全保密性

若密文發生的概率獨立于明文發生的概率，即滿足式(12)，則稱該系統具有完全保密性。

P(C=c/P=p)=P(C=c)

(12)

定義2：計算保密性

若系統解密過程是一個N-hard問題，也就是說在一個多項式時間內無法推測出所有密鑰，則稱該系統具有計算保密性。

壓縮感知觀測過程加密模型是否可實現有效加密，下面詳細證明了壓縮感知不具有完全保密性，但具有計算保密性。

推論1：壓縮感知觀測過程加密模型不具有完全保密性。

證明：

X是明文文本，PX(x)>0,?x∈Rn,Φ為M×N維的矩陣，Y=ΦX。

根據式(12)可知要證明壓縮感知觀測模型作為加密系統是否具有完全保密性，只需證X與Y相互獨立，此時加密系統具有完全保密性。

情況1：當X=0時

∵Φ是線性的，

∴ 當x=0時，y=0，

即PY/X(Y=0/X=0)=1。

又∵y=Φx，

∴ 當y=0 時，x必在Φ的零空間上，

又∵PX(x)>0,?x∈Rn,

∴PY(Y=0)<1 ，

∴PY/X(Y=0/X=0)≠PY(Y=0)

∴ 即X和Y是非統計獨立的，

∴ 當X=0時，壓縮感知觀測過程加密模型不具有完全保密性。

情況2：當X≠0時

∵Φ滿足RIP準則，

∴

(13)

則由公式(13)可得,

PX/Y(x,/y)=0

又∵PX(x′)>0

∴PX/Y(x′/y)≠PX(x′)

∴ 即X和Y是非統計獨立的，

∴ 當X≠0時，壓縮感知觀測過程加密模型不具有完全保密性。

綜上所述，壓縮感知觀測過程加密模型不具有完全保密性。

推論2：

壓縮感知觀測過程加密模型具有計算保密性。

證明：

壓縮感知的重構問題是一個求解0范數最優化的問題，如式(14)所示。然而Candès證明這是一個NP難的問題，因而通常將該問題轉化成求解1范數最優化問題如式(14)所示。

(14)

引理：

Φ和Φ′是兩個M×N維的獨立同分布的高斯隨機矩陣，若對于K稀疏的向量x=ΨS有y=Φx；對于Φ′利用0范數或者1范數重構時y=Φ′x′，則所得x′=ΨS′必為M稀疏的向量，且M≥K+1。

根據上述引理可知若想重構原圖像必須保證使用相同的觀測矩陣即Φ′=Φ。若能根據觀測矩陣的維度推測出正確的觀測矩陣，則說明式(14)有解。然而，Candès證明了式(14)的求解是一個NP難問題，因而無法在多項式時間內恢復出正確的明文。即壓縮感知觀測過程加密模型具有計算保密性。

3 實驗結果與分析

為了驗證本文對保密性的分析，利用Matlab實驗仿真進行說明。實驗所用軟件為Matlab8.0，硬件條件為i7CPU，內存8 GB的計算機。實驗圖像為512×512的實測無人機圖像。用于壓縮感知觀測過程的觀測矩陣1、矩陣2、矩陣3均為隨機產生的高斯隨機矩陣，稀疏表示字典采用離散余弦字典，重構算法選取OMP重構算法[12]。

共設計了三組實驗，實驗1為對比實驗，用于仿真合作方重構圖像，為實驗2和實驗3的加密效果驗證提供對照；實驗2為圖像分塊處理加密效果驗證實驗；實驗3為壓縮感知觀測模型加密效果驗證實驗。三組實驗的采樣編碼端均采用32×32圖像分塊大小，并利用觀測矩陣1對分塊處理后的圖像數據進行觀測。

3.1 實驗1：對比實驗

重構端參數選擇：圖像分塊大小32×32，采用觀測矩陣1進行重構，實驗結果如圖3所示。

圖3(a)為原始無人機圖像，圖3(b)為模擬合作方在各參數已知的情況下獲得的重構圖像。由圖3(b)可以看出，根據正確的圖像分塊大小，利用和觀測過程相同的觀測矩陣進行重構時，獲得的重構圖像較原圖像失真較小，重構效果較好。

3.2 實驗2： 圖像分塊處理加密效果驗證實驗

重構端參數選擇：圖像分塊大小分別為16×16和64×64，采用觀測矩陣1進行重構，實驗結果如圖4所示。

圖4(a)為模擬非合作方在觀測矩陣已知，圖像分塊大小未知的情況下，利用小于編碼端分塊大小的16×16圖像分塊處理方法獲得的重構圖像。圖4(b)利用大于編碼端分塊大小的64×64圖像分塊處理方法獲得的重構圖像。明顯在圖像分塊大小未知的情況下獲得的重構圖像(圖4(a)、(b))與合作方重構圖像(圖3(b))效果存在較大差距，驗證了圖像分塊可以起到保密的效果。

3.3 實驗3：壓縮感知觀測模型加密效果驗證實驗

重構端參數選擇：圖像分塊大小32×32，采用觀測矩陣2和觀測矩陣3進行重構，實驗結果如圖5所示。

圖5(a)為模擬非合作方在圖像分塊大小已知，觀測矩陣未知的情況下，利用隨機產生的不同于編碼端觀測矩陣的觀測矩陣2進行圖像重構，獲得的重構圖像。圖5(b)為利用隨機產生的不同于編碼端觀測矩陣的觀測矩陣3進行圖像重構，獲得的重構圖像。明顯圖5(a)、(b)兩幅重構圖像與圖3(b)合作方重構圖像效果存在更大差距，驗證了壓縮感知觀測模型也可以起到保密的效果。

為了對本文各組實驗重構圖像質量進行定量分析，利用峰值信噪(PSNR)比對重構圖像效果進行比較，結果如表1所示。其中，PSNR計算表達式如式(14)所示。

(15)

式中，I0(i,j)為原圖像，IG(i,j)為重構后圖像。

表1 重構圖像峰值信噪比比較

從表1可以看出，實驗2、實驗3重構圖像的峰值信噪比要遠低于實驗1重構圖像的峰值信噪比，從三組實驗仿真結果可以得出，基于壓縮感知的圖像壓縮處理方法的圖像分塊處理過程和觀測過程確實可以達到加密的效果。

4 結論

本文提出了基于壓縮感知算法的圖像保密方法。該方法通過分析圖像分塊處理的像素置亂加密效果，然后針對算法本身保密性進行分析，構造了壓縮感知觀測過程加密模型，并論證了該模型雖然不具有完全保密性，但具有計算保密性，最后對圖像分塊處理、觀測模型的保密性進行了驗證。實驗結果表明，該方法魯棒性強，易于實現，具有一定的工程應用價值。

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Image Compression Confidentiality Based on Compression Sensing Algorithm

GONG Limei1,2, ZHANG Min1,2, WANG Fangchao1,2

(1.Electronic Engineering Institute, Hefei 230037,China; 2.Key Laboratory Electronic Restricting Technique, Hefei 230037, China;3.State Key Laboratory of Pulsed Power Laser Technology,Hefei 230037,China)

This paper studied several factors influencing the secrecy perception of the image compression based on compression sensing algorithm. Aiming at these problems, the confidentiality of image compression method based on compression sensing algorithm was proposed. First of all, the paper analyzed the image block processing could achieve pixel scrambling, and then build a encryption model about the compressed sensing observation process, at the same time, it was proved that the model although could not achieve perfect secrecy, but the calculating secrecy could not be achieved. The experiment results showed that this method had strong robustness and easy to implement for the further engineering application.

compressed sensing; image encryption; block processing; the observation matrix

2016-09-02

國家自然科學基金項目資助(61171170)；安徽省自然科學基金項目資助(1408085QF115)

宮麗美(1991—)，女，山東威海人，碩士研究生，研究方向：圖像處理與信息融合技術。E-mail:gong_li_mei@126.com。

TP751

A

1008-1194(2017)01-0106-05