基于報童模型的汽車租賃企業最優汽車訂購和服務定價策略

楊璐++經有國

[摘要]為了提高汽車租賃企業的效益，增強其競爭力，制定一個有效的汽車訂購和服務定價策略成為汽車租賃業的重點研究問題。文章利用經典報童模型，假設市場對汽車租賃的隨機需求是符合加性原理的，并且汽車租賃需求和租賃價格存在單調線性遞減關系，建立了汽車租賃企業的聯合訂購和定價決策模型。當汽車租賃企業的汽車訂購量和服務定價滿足最優策略時，企業的總利潤達到最大化。最后，通過算例分析驗證了模型的有效性和可靠性。

[關鍵詞]報童模型；汽車租賃；最優訂購；服務定價

[DOI]1013939/jcnkizgsc201704074

1引言

在我國，汽車租賃業作為“朝陽產業”，近年來得到了快速發展，具有很大的發展空間和潛力。汽車租賃公司負責汽車的購買、保養和修理工作，為企業和個人提供了很多便利，這種模式越來越受到人們青睞。目前，我國已經擁有近500家汽車租賃企業，但是大多規模較小，市場份額也很少，具有較弱的風險抵御能力，并且尚未在全國鋪開廣泛的經營網絡。因此，我國的汽車租賃業在很多方面還有待完善。為提高我國汽車租賃企業的效益，制定一個最優的汽車訂購和服務定價策略顯得尤為重要，可以減少庫存成本和缺貨損失，同時增加期望銷售，最終獲得最大利潤。

本文從全新的視角，將報童模型應用到汽車服務領域，研究了在不確定需求下汽車租賃企業的聯合最優訂購和服務定價策略，來減少企業的缺貨損失和剩余庫存成本，來實現企業利潤的最大化。

2問題描述與基本假設

一家汽車租賃企業一次性訂購一定數量的汽車，來提供租賃服務。然后將汽車租賃給個人和企業消費者，從中收取一定的租賃費用作為收益，每輛汽車每天的租賃價格為p元。汽車在租賃服務過程中，存在維護費用和服務成本，以及燃油和汽車損耗等費用。每輛汽車可以使用n年，平均每年使用m天。在汽車使用壽命結束后，直接報廢掉，不考慮殘值。本文把汽車訂購量和服務價格作為決策變量，利用報童模型，來研究汽車租賃企業的最優汽車訂購和服務定價策略。

假設1：年需求函數是加性的，D（p，ε）=d（p）+ε，其中ε是一個隨機變量，假設其分布函數為F（ε），密度函數為f（ε）。并且確定性需求d（p）和汽車租賃價格p存在線性單調遞減關系，即d（p）=a-bp，a和b為大于零的常數。

假設2：每輛汽車的平均使用壽命周期為n年，平均每年可租用m天。

假設3：由于現實中存在通貨膨脹，因此考慮現金折現，假設每年的現金折現率相等。

隨機變量ε代表一年內汽車租賃的不確定需求，期望用μ表示，即E[ε]=μ；p是單位汽車每天的租賃價格；s是單位汽車每天的缺貨懲罰，即單位機會成本；q是汽車租賃企業的新車訂購量；c是單位新車的購買價格；w是單位汽車的終身維護費用；e是單位汽車租賃的服務成本和燃油及汽車損耗等費用；r代表每年的折現率；π表示汽車租賃企業每年的期望收益；為汽車租賃企業n年的總利潤。

3模型建立與求解

我們用S（q）來表示汽車租賃企業的年期望銷售，它為每年汽車租賃企業可提供的租賃量與市場需求的極小值，即S（q）=E[min（mq，D）]。因為汽車租賃企業總共訂購q輛汽車，平均每輛汽車每年可租賃m天，所以企業可提供的年租賃量為mq。當市場需求D大于汽車租賃企業所能提供的租賃量mq時，期望銷售為∫+∞mq-d（p）mqf（x）dx；當市場需求D小于汽車租賃企業所能提供的租賃量mq時，期望銷售為∫mq-d（p）0[d（p）+x]f（x）dx。因此，兩種情況合二為一，得到企業的年期望銷售S（q）如式（1）所示。

由于汽車租賃企業在訂購汽車時并不知道市場的汽車租賃需求，因此當市場對汽車的租賃需求大于汽車租賃企業能提供的汽車訂購量時，就會出現缺貨損失，帶來一定的機會成本，我們用L（q）表示汽車租賃企業的缺貨損失，如式（2）所示。

汽車在租賃過程中，會產生一定的汽車租賃管理費用、能耗費用，同時市場需求未知時會產生缺貨損失，我們用π表示汽車租賃企業每年的期望租賃收益，為租賃總收入減去租賃管理費用、能耗費用和期望銷售損失的差額，如式（3）所示：則汽車租賃企業的n年期望總利潤為企業n年的期望租賃收益總和減去購買成本和維護費用的差額，如式（4）所示。

=ni=1πi-（c+w）q（4）

因為現實中存在一定的通貨膨脹貨幣貶值問題，所以需要考慮現金折現問題。我們假設汽車租賃企業每年的期望收益相等，并且現金折現率也相等，折現率為r。因此π2=π11+r，π3=π21+r， …， πn=πn-11+r，形成等比數列。第一年的期望收益為π，即π=π1，代入公式（4），化簡后得到企業的總利潤函數如式（5）所示。

=（r+1）n-1r（r+1）n-1π-（c+w）q（5）

然后將（3）式代入（5）式，化簡得到最終的企業總利潤函數如（6）式所示。=（r+1）n-1r（r+1）n-1{（p+s-e）[mq-∫mq-d（p）0F（x）dx]-s[d（p）+μ]}-（c+w）q（6）

價格p和訂購量q為汽車租賃企業總利潤函數的決策變量，對總利潤函數（6）式求關于p和q的一階偏導數，得到（7）式和（8）式。

p=[（r+1）n-1][bs+mq-∫bp-a+mq0F（x）dx-bF（bp-a+mq）（p+s-e）]（r+1）n-1r（7）

q=[m-mF（bp-a+mq）][（r+1）n-1]（p+s-e）（r+1）n-1r-w-c（8）

根據海塞矩陣和二元函數凹凸性的判別原理，

令A=2p2=-[（r+1）n-1]（p+s-e）b2f（bp-a+mq）+2bF（bp-a+mq）r（r+1）n-1

B=2pq=-[（r+1）n-1][（p+s-e）bmf（bp-a+mq）+mF（bp-a+mq）-m]r（r+1）n-1

C=2q2=-[（r+1）n-1]（p+s-e）m2f（bp-a+mq）r（r+1）n-1

則AC-B2=σ3σ4m2σ1[2bσ1（p+s-e）-（σ2-1）2]r2

其中，σ1=f（bp-a+mq）， σ2=F（bp-a+mq）

σ3=（r+1）2-2n， σ4=[（r+1）n-1]2。

命題1：當滿足2（x）f（x）<2b（p+s-e）時，利潤函數有唯一極大值，企業有唯一最優訂購和定價策略。

證明：由2（x）f（x）<2b（p+s-e）得，AC-B2>0。又因為A<0，所以是關于p和q的二元凹函數，因此有唯一極大值，企業可得到唯一最優訂購和定價決策。

然后分別令（7）式、（8）式等于零，即總利潤函數關于服務價格p和訂購量q的一階偏導分別等于零，可得到企業的最優訂購量和服務價格，此時企業的總利潤達到最大化，得到企業的最優決策。

4算例分析

下面將進一步通過數值分析來驗證以上所提出模型的有效性：

有一家汽車租賃企業一次性訂購一定數量的汽車，來提供汽車租賃服務，從中獲取利潤。假設每輛汽車的平均使用壽命周期n 為10年，平均每年可使用天數m為300天。單位汽車每天的服務成本和燃油損耗費用e為20元，單位汽車每天的缺貨成本s為10元。平均每輛新車的購買成本c是8萬元，單位汽車的終身維護費用w是2萬元。同時考慮通貨膨脹，假設每年的折現率r為3%。并且隨機需求在（50000，100000）上服從均勻分布，確定性需求d（p）和價格p之間滿足加性關系：d（p）=100000-170p。

將上述數據同時代入（7）式和（8）式，令總利潤函數關于服務價格p和訂購量q的一階偏導分別等于零，得到汽車租賃企業的最優訂購量q為277輛，最優服務價格p為671元/輛·天，然后根據企業的總利潤函數式（6），得到此時企業的最大利潤為4539013萬元，是假定條件下企業的最優決策。

下面我們用MATLAB軟件進行仿真模擬，驗證最優模型的合理性。我們觀察當其他參數不變，訂購量q和服務價格p在最優決策周圍變動時，企業總利潤的變動。其他參數值不變，訂購量q取250～400，服務價格p取550～700分別對應總利潤的值如三維立體圖所示。

如下圖所示，企業的總利潤值在訂購量q取277，服務價格p取671時達到最高點，此時的結果正是模型得到的最優決策，企業的利潤達到最大化。如果企業追求高利潤，一味提高服務價格，會導致市場需求降低，從而總收益減少；如果企業追求高汽車租賃量，選擇降低服務價格，同樣會導致總收益的減少。只有選擇最優汽車訂購和服務定價決策，平衡汽車訂購量和租賃價格的關系，才能使企業總收益達到最大化，促使企業在全球汽車租賃業的市場浪潮中立于不敗之地。

5結論

作為我國的“朝陽產業”，汽車租賃業有不同訂購量q和服務價格p下的利潤值

很大的發展空間和潛力。同時在很多方面還有待完善，因此制定一個最優的汽車訂購和服務定價策略對于提高企業的經濟效益顯得尤為重要。本文利用經典報童模型，假設市場對汽車租賃的隨機需求是符合加性原理，并且汽車租賃需求和租賃價格存在線性單調遞減關系，建立了汽車租賃企業的聯合汽車訂購和定價決策模型。當企業的總利潤函數關于服務價格p和訂購量q的一階偏導分別等于零，可得到企業的最優訂購量和服務價格，企業的總利潤達到最大化。

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